3.1.3　两个向量的数量积

学习目标　1.掌握空间向量夹角概念及表示方法.2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律.3.掌握两个向量的数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直．

知识点一　两个向量的夹角

1．定义：已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．

2．范围：〈a，b〉∈[0，π]．特别地：当〈a，b〉＝时，a⊥b.

知识点二　两个向量的数量积

1．定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积(或内积)，记作a·b.

规定：零向量与任何向量的数量积都是0.

2．数量积的运算律

注意：空间向量的数量积不满足结合律。

知识点三　两个向量的数量积的性质

1．向量与的夹角等于向量与的夹角．(　×　)

2．对于非零向量b，由a·b＝b·c，可得a＝c.(　×　)

3．对于向量a，b，c，有(a·b)·c＝a·(b·c)．(　×　)

4．若非零向量a，b为共线且同向的向量，则a·b＝|a||b|.(　√　)

5．对任意向量a，b，满足|a·b|≤|a||b|.(　√　)

题型一　数量积的计算

例1　如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：

(1) ·；

(2) ·；

(3) ·；

(4) ·.

考点　空间向量数量积的概念与性质

题点　用定义求数量积

解　(1) ·＝·

＝||||·cos〈，〉

＝cos60°＝.

(2) ·＝·＝||2＝.

(3) ·＝·

＝||·||cos〈，〉

＝cos120°＝－.

(4) ·＝·(－)

＝·－·

＝||||cos〈，〉－||||cos〈，〉

＝cos60°－cos60°＝0.

反思感悟　(1)已知a，b的模及a与b的夹角，直接代入数量积公式计算．

(2)如果要求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用a·a＝|a|2及数量积公式进行计算．

跟踪训练1　已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点．试计算：

(1) ·；(2) ·；(3) ·.

考点　空间向量数量积的概念与性质

题点　用定义求数量积

解　如图，设＝a，＝b，

＝c，则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，

a·b＝b·c＝c·a＝0.

(1) ·

＝b·＝|b|2＝42＝16.

(2) ·＝·(a＋c)＝|c|2－|a|2

＝22－22＝0.

(3) ·＝·

＝ (－a＋b＋c)·＝－|a|2＋|b|2＝2.

题型二　利用数量积证明垂直问题

例2　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.

求证：PA⊥BD.

考点　空间向量数量积的应用

题点　数量积的综合应用

证明　由底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，知DA⊥BD，则·＝0.

由PD⊥底面ABCD，知PD⊥BD，则·＝0.

又＝＋，

所以·＝(＋)·＝·＋·＝0，即PA⊥BD.

反思感悟　(1)由数量积的性质a⊥b⇔a·b＝0可知，要证两直线垂直，可构造与两直线分别平行的向量(a，b是非零向量)，只要证明这两个向量的数量积为0即可．

(2)用向量法证明线面(面面)垂直，离不开线面(面面)垂直的判定定理，需将线面(面面)垂直转化为线线垂直，然后利用向量法证明线线垂直即可．

跟踪训练2　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD.

考点　空间向量数量积的应用

题点　数量积的综合应用

证明　设＝a，＝b，＝c，

则a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0，|a|＝|b|＝|c|.

∵＝＋＝＋ (＋)

＝c＋a＋b，

＝－＝b－a，

＝＋＝ (＋)＋

＝a＋b－c，

∴·＝·(b－a)

＝c·b－c·a＋a·b－a2＋b2－b·a

＝ (b2－a2)

＝ (|b|2－|a|2)＝0.

于是⊥，即A1O⊥BD.

同理可证⊥，即A1O⊥OG.

又∵OG∩BD＝O，OG⊂平面GBD，BD⊂平面GBD，

∴A1O⊥平面GBD.

题型三　数量积求解空间角与距离

命题角度1　求解角度问题

例3　在空间四边形OABC中，连接AC，OB，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求向量与所成角的余弦值．

考点　空间向量数量积的应用

题点　利用数量积求角

解　∵＝－，

∴·＝·－·

＝||||·cos〈，〉－||||·cos〈，〉

＝8×4×cos135°－8×6×cos120°＝24－16，

∴cos〈，〉＝

＝＝.

反思感悟　求两个空间向量a，b夹角的方法类同平面内两向量夹角的求法，利用公式cos〈a，b〉＝，在具体的几何体中求两向量的夹角时，可把其中一个向量的起点平移至与另一个向量的起点重合，转化为求平面中的角度大小问题．

跟踪训练3　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求异面直线A1B与AC所成的角．

考点　空间向量数量积的应用

题点　利用数量积求角

解　不妨设正方体的棱长为1，

设＝a，＝b，＝c，

则|a|＝|b|＝|c|＝1，

a·b＝b·c＝c·a＝0，

＝a－c，＝a＋b.

∴·＝(a－c)·(a＋b)

＝|a|2＋a·b－a·c－b·c＝1，

而||＝||＝，

∴cos〈，〉＝＝，

∵〈，〉∈(0°，180°)，

∴〈，〉＝60°.

∴异面直线A1B与AC所成的角为60°.

命题角度2　求解距离或长度

例4　平行四边形ABCD中，AB＝2AC＝2且∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B，D间的距离．

考点　空间向量数量积的应用

题点　利用数量积求线段长

解　由已知得AC⊥CD，AC⊥AB，折叠后AB与CD所成角为60°，于是，·＝0，·＝0，

且〈，〉＝60°或120°.

||2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝22＋12＋22＋2×2×2cos〈，〉，故||2＝13或5，

解得||＝或，

即B，D间的距离为或.

反思感悟　利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|＝求解即可．

跟踪训练4　在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长．

考点　空间向量数量积的应用

题点　利用数量积求线段长

解　因为＝＋＋，

所以＝(＋＋)2

＝2＋2＋＋2(·＋·＋·)．

因为∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，

所以＝1＋4＋9＋2×(1×3×cos 60°＋2×3×cos 60°)＝23.

因为＝||2，所以||2＝23，

则||＝，即AC1＝.

利用数量积探究垂直问题

典例　如图所示，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD(点P位于平面ABCD的上方)，则边BC上是否存在点Q，使⊥？

考点　空间向量数量积的应用

题点　数量积的综合应用

解　假设存在点Q(点Q在边BC上)，使⊥，

即PQ⊥QD.

连接AQ，因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥QD.

又＝＋，

所以·＝·＋·＝0.

又·＝0，所以·＝0，所以⊥.

即点Q在以边AD为直径的圆上，圆的半径为.

又AB＝1，

所以当＝1，即a＝2时，该圆与边BC相切，存在1个点Q满足题意；

当>1，即a>2时，该圆与边BC相交，存在2个点Q满足题意；

当<1，即a<2时，该圆与边BC相离，不存在点Q满足题意．

综上所述，当a≥2时，存在点Q，使⊥；

当0<a<2时，不存在点Q，使⊥.

[素养评析]　本例由条件⊥，利用向量的数量积推知Q点轨迹，从而转化为平面几何问题，解答此题，应具有较强的逻辑推理能力．

1．对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中的真命题是(　　)

A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0

B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0

C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b

D．若a·b＝a·c，则b＝c

答案　B

解析　对于A，可举反例：当a⊥b时，a·b＝0；对于C，

a2＝b2，只能推出|a|＝|b|，而不能推出a＝±b；

对于D，当a＝0时，不能推出b＝c.

2．已知a，b，c是两两垂直的单位向量，则|a－2b＋3c|等于(　　)

A．14B. C．4D．2

答案　B

解析　|a－2b＋3c|2＝|a|2＋4|b|2＋9|c|2－4a·b＋6a·c－12b·c＝14.

3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，有下列命题：

①(＋＋)2＝32；

②·(－)＝0；

③与的夹角为60°.

其中真命题的个数为(　　)

A．1B．2C．3D．0

答案　B

解析　易知①②正确；与的夹角为120°，

∴③不正确．故选B.

4．已知a，b为两个非零空间向量，若|a|＝2，|b|＝，a·b＝－，则〈a，b〉＝________.

答案　

解析　cos〈a，b〉＝＝－，∴〈a，b〉＝.

5．已知正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为________．

答案　

解析　||2＝2＝(＋＋)2

＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)

＝12＋22＋12＋2×(1×2×cos120°＋0＋2×1×cos120°)＝2，

∴||＝，∴EF的长为.

1．空间向量数量积性质的应用(a，b为非零向量)

(1)a⊥b⇔a·b＝0，此结论用于证明空间中的垂直关系．

(2)|a|2＝a2，此结论用于求空间中线段的长度．

(3)cos〈a，b〉＝，此结论用于求有关空间角的问题．

(4)|b|cos〈a，b〉＝，此结论用于求空间中的距离问题．

2．空间向量的数量积的三点注意

(1)数量积的符号由夹角的余弦值决定．

(2)当a≠0，由a·b＝0可得a⊥b或b＝0.

(3)空间向量没有除法运算：即若a·b＝k，没有a＝.

一、选择题

1．已知非零向量a，b不平行，并且其模相等，则a＋b与a－b之间的关系是(　　)

A．垂直 B．共线

C．不垂直 D．以上都可能

考点　空间向量数量积的概念与性质

题点　数量积的性质

答案　A

解析　由题意知|a|＝|b|，

∵(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝0，

∴(a＋b)⊥(a－b)．

2．已知|a|＝1，|b|＝，且a－b与a垂直，则a与b的夹角为(　　)

A．60°B．30°C．135°D．45°

答案　D

解析　∵a－b与a垂直，∴(a－b)·a＝0，

∴a·a－a·b＝|a|2－|a||b|cos〈a，b〉

＝1－1··cos〈a，b〉＝0，

∴cos〈a，b〉＝.

∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝45°.

3．已知空间向量a，b，c两两夹角为60°，其模都为1，则|a－b＋2c|等于(　　)

A. B．5C．6D.

答案　A

解析　∵|a－b＋2c|2

＝|a|2＋|b|2＋4|c|2－2a·b＋4a·c－4b·c

＝12＋12＋4×12－2·1·1·cos60°＋4·1·1·cos60°－4·1·1·cos60°＝5，

∴|a－b＋2c|＝.

4.如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是(　　)

A．2·　　 B．2·

C．2·　　 D．2·

答案　C

解析　2·＝－a2，故A错；2·＝－a2，故B错；2·＝－a2，故D错，只有C正确．

5．已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是(　　)

A．30°B．45°C．60°D．90°

答案　C

解析　∵＝＋＋，

∴·＝(＋＋)·＝·＋2＋·＝0＋12＋0＝1，

又||＝2，||＝1.

∴cos〈，〉＝＝＝.

∵异面直线所成的角是锐角或直角，

∴a与b所成的角是60°.

6．已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a等于(　　)

A．12B．8＋C．4D．13

答案　D

解析　(2a－b)·a＝2a2－b·a＝2|a|2－|a||b|cos120°＝2×4－2×5×＝13.

7．已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°，则此平行六面体的对角线AC1的长为(　　)

A. B．2C. D.

答案　D

解析　∵＝＋＋，

∴2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋2(cos60°＋cos60°＋cos60°)＝6，∴||＝.

8.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝，AB＝AC＝AA1，则异面直线A1B与C1A所成的角等于(　　)

A. B.

C. D.

答案　C

解析　设＝a，＝b，＝c，

则＝a－c，＝－b－c，

∴·＝(a－c)·(－b－c)＝－a·b＋b·c－a·c＋c2＝|c|2，

∴cos〈，〉＝＝＝.

∴A1B与C1A所成的角为.

二、填空题

9．已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________．

答案　－13

解析　∵a＋b＋c＝0，

∴(a＋b＋c)2＝0，

∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，

∴a·b＋b·c＋c·a＝－＝－13.

10．已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则〈a，b〉＝________.

考点　空间向量数量积的应用

题点　利用数量积求角

答案　60°

解析　由条件知(a＋3b)·(7a－5b)＝7|a|2－15|b|2＋16a·b＝0，

(a－4b)·(7a－2b)＝7|a|2＋8|b|2－30a·b＝0，两式相减得46a·b＝23|b|2，所以a·b＝|b|2，代入上面两个式子中的任意一个，得|a|＝|b|，

所以cos〈a，b〉＝＝＝，所以〈a，b〉＝60°.

11．(2018·大连高二检测)如图，平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝AD＝1，AA′＝2，∠BAD＝∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则AC′的长为________．

考点　空间向量数量积的应用

题点　利用数量积求线段长

答案　

解析　||2＝|＋＋|2

＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·

＝12＋12＋22＋2×1×1×cos60°＋2×1×2×cos60°＋2×1×2×cos60°＝11，

则||＝.

三、解答题

12.如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，若AB＝CD，AC＝BD，E，F分别是AD，BC的中点，试用向量方法证明EF⊥AD且EF⊥BC.

证明　连接AF，∵点F是BC的中点，

∴A＝ (＋)，

∴＝－

＝ (＋)－

＝ (＋－)，

又||＝||＝|－|，

∴AC2＝AD2－2·＋AB2，①

同理AB2＝CD2＝AD2－2·＋AC2，②

将①代入②可得AB2＝AD2－2·＋AD2

－2·＋AB2，

∴2AD2－2·(＋)＝0，

∴·(＋－)＝0，

∴· (＋－)＝0，

∴·＝0，∴⊥.

同理可得⊥.

∴EF⊥AD且EF⊥BC.

13.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，AB⊥AD，且PA＝AB＝BC＝AD＝1，求PB与CD所成的角．

解　由题意知||＝，||＝，

＝＋，＝＋＋，

∵PA⊥平面ABCD，

∴·＝·＝·＝0.

∵AB⊥AD，

∴·＝0，

∵AB⊥BC，

∴·＝0，

∴·＝(＋)·(＋＋)

＝2＝||2＝1，

又∵||＝，||＝，

∴cos〈，〉＝＝＝，

∵〈，〉∈[0，π]，

∴〈，〉＝，

∵异面直线所成的角为锐角或直角，

∴PB与CD所成的角为.

14．已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝，若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为________．

答案　－4

解析　∵n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝0，即t·m·n＋n2＝0，∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0，由已知得t×|n|2×＋|n|2＝0，解得t＝－4.

15.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长为.

(1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；

(2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长．

(1)证明　＝＋，

＝＋.

∵BB1⊥平面ABC，

∴·＝0，·＝0.

又△ABC为正三角形，

∴〈，〉＝π－〈，〉＝π－＝.

∵·＝(＋)·(＋)

＝·＋·＋2＋·

＝||·||·cos〈，〉＋2＝－1＋1＝0，

∴AB1⊥BC1.

(2)解　结合(1)知·＝||·||·cos〈，〉＋2＝2－1.

又||＝＝＝||，

∴cos〈，〉＝＝，

∴||＝2，即侧棱长为2.

2020版高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.3两个向量的数量积学案新人教B版选修