解直角三角形

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一.选择题

1,（2015威海,第2题4分）

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【答案】D[来源:zzs^@tep#*.c~om]

【解析】根据三角函数的定义，边AC=BCtan26其按键顺序正确的是[来源:*&^中教%网#]

【备考指导】[中国教育&%出@版网*#][中~国@%教*^育出版网]

本题考查了解直角三角形的知识，解答本题的关键是利用三角函数的知识解直角三角形，求解相关线段的长度，难度一般．　

2．（2015·湖南省衡阳市，第12题3分）如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔

顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（ ）．[来源:zzstep.%c@#o*&m]

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A． 　 B．51 C． D．101

3．(2015•江苏苏州,第10题3分)如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB=2km，从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离(即CD的长)为( )

A．错误!不能通过编辑域代码创建对象。km B．错误!不能通过编辑域代码创建对象。km C．错误!不能通过编辑域代码创建对象。km D．错误!不能通过编辑域代码创建对象。km

【难度】★★★

【考点分析】考察解直角三角形的应用。中考必考考点，近两年这种题型开始放到选择题

考查，前几年是放到解答题考查。

【解析】过点B 作BE⊥AC 交AC 于点E。由∠CAB=45°，AB=2km，得BE= 2 km，易得：

∠BCD=∠BCA=22.5°，所以BD=BE= km，所以BD=BE=AB＋BD=(2＋ )km.

故选B

【提示】此题关键在于要会添加辅助线(作垂直)和发现BD=BE 与BD=BE。

4. （2015•浙江滨州,第12题3分）如图,在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转.若∠BOA的两边分别与函数、的图象交于B、A两点，则∠OAB大小的变化趋势为( )[来#^源@:中国教育出版~网*][来^源#:%中教&@网]

A.逐渐变小 B.逐渐变大 C.时大时小 D.保持不变

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【答案】D

考点：反比例函数，三角形相似，解直角三角形[来#%源:中国教育^&出版网@][中^国教育@出版~网&*]

5. （2015•绵阳第10题，3分）如图，要在宽为22米的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为（　　）[来源:中%@国#教育出~版网&]

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6.（2015•山东日照 ，第10题4分）如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=BD，连接AC，若tanB=，则tan∠CAD的值（　　）

7.（2015•山东聊城,第10题3分）湖南路大桥于今年5月1日竣工，为徒骇河景区增添了一道亮丽的风景线．某校数学兴趣小组用测量仪器测量该大桥的桥塔高度，在距桥塔AB底部50米的C处，测得桥塔顶部A的仰角为41.5°（如图）．已知测量仪器CD的高度为1米，则桥塔AB的高度约为（　　）

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8（2015山东济宁，9，3分）如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1:2，AC=米，坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连，若AB=10米，则旗杆BC的高度为( )

A.5米 　　B.6米 　　　　 C. 8米 　　　　 D. 米[中国#教*&育出版^网~]

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【答案】A

考点：解直角三角形[来%^~&源:中#教网]

二.填空题

1. （2015•浙江滨州,第14题4分）如图，菱形ABCD的边长为15，sin∠BAC=，则对角线AC的长为 .

【答案】24[来源:#*~zzste@p.^com]

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考点：菱形的性质，解直角三角形

2. （2015•绵阳第18题，3分）如图，在等边△ABC内有一点D，AD=5，BD=6，CD=4，将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，则∠CDE的正切值为　3　．

3．（2015•广东广州,第15题3分）如图，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE．若BE=9，BC=12，则cosC= ．

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4. （2015•四川省内江市，第22题，6分）在△ABC中，∠B=30°，AB=12，AC=6，则BC=　6　．

5.（2015•山东东营,第14题3分）4月26日，2015黄河口（东营）国际马拉松比赛拉开帷幕，中央电视台体育频道用直升机航拍技术全程直播．如图，在直升机的镜头下，观测马拉松景观大道A处的俯角为，B处的俯角为．如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是 米．

【答案】200(+1)

【解析】

试题分析：∵∠CDA=∠CDB=90°，∠A=30°，∠B=45°，∴AD=CD=200，BD=CD=200，∴AB=AD+BD=200(+1)（米）；

考点：解直角三角形的应用.

6.（2015湖南邵阳第17题3分）如图，某登山运动员从营地A沿坡角为30°的斜坡AB到达山顶B，如果AB=2000米，则他实际上升了　1000　米．

7.（2015湖北荆州第15题3分）15．如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行100米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，那么山高AD为　137　米（结果保留整数，测角仪忽略不计，≈1.414，，1.732）[来源%:z#~z&s@tep.com]

考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

专题： 计算题．

分析： 根据仰角和俯角的定义得到∠ABD=30°，∠ACD=45°，设AD=xm，先在Rt△ACD中，利用∠ACD的正切可得CD=AD=x，则BD=BC+CD=x+100，然后在Rt△ABD中，利用∠ABD的正切得到x=（x+100），解得x=50（+1），再进行近似计算即可．[中国教*育&#@^出版网]

解答： 解：如图，∠ABD=30°，∠ACD=45°，BC=100m，[来源:中%^教&网@#]

设AD=xm，[www.%zzs@t&ep#.com*]

在Rt△ACD中，∵tan∠ACD=，

∴CD=AD=x，

∴BD=BC+CD=x+100，[ww^w#.~zzste&p.co*m]

在Rt△ABD中，∵tan∠ABD=，[来源:zzs%t&ep^.c@om#]

∴x=（x+100），

∴x=50（+1）≈137，

即山高AD为137米．

故答案为137．

点评： 本题考查了解直角三角形﹣的应用﹣仰角俯角：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．

8．(2015•江苏南昌,第13题3分)如图1是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图2所示的几何图形，已知BC=BD=15cm, ∠CBD=40°,则点B到CD的距离为 cm(参考数据：sin20°≈ 0.342, com20°≈0.940, sin40°≈ 0.643, com40°≈ 0.766.精确到0.1cm,可用科学计算器).

[来源^:z&zstep.c@~o%m]

答案：解析：如右图，作BE⊥CD于点E.

∵BC=BD, BE⊥CD, ∴∠CBE=∠DBE=20°,[中国教&^~育出#*版网]

在Rt△BCD中， ∴，

∴BE≈15×0.940=14.1

9．(2015•江苏南昌,第14题3分)如图，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO,P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°,则当△PAB为直角三角形时，AP的长为 .

[中国#&教育出*版网@~]

答案：解析：如图，分三种情况讨论：

图(1)中，∠APB=90°，

∵AO=BO, ∠APB=90°，∴PO=AO=BO=2,[中国&教%育*出版#网@]

又∠AOC=60°, ∴△APO是等边三角形，

∴AP=2；

图(2)中，∠APB=90°，

∵AO=BO, ∠APB=90°，∴PO=AO=BO=2,[中国教^&%育*出版网@]

又∠AOC=60°, ∴∠BAP=30°,

在Rt△ABP中，AP=cos30°×4= .

图(3)中，∠ABP=90°, ∵BO=AO=2 , ∠BOP=∠AOC=60°,

∴PB=, ∴AP=

∴AP的长为2，或

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10. （2015•浙江金华，第16题4分）图1是一张可以折叠的小床展开后支撑起来放在地面的示意图，此时，点A，B，C在同一直线上，且∠ACD=90°.图2是小床支撑脚CD折叠的示意图，在折叠过程中，ΔACD变形为四边形，最后折叠形成一条线段.[来#源:中国教~^育出版*网@]

（1）小床这样设计应用的数学原理是 ▲

（2）若AB：BC=1：4，则tan∠CAD的值是 ▲

【答案】（1）三角形的稳定性和四边形的不稳定性；（2）.

【考点】线动旋转问题；三角形的稳定性；旋转的性质；勾股定理；锐角三角函数定义.

【分析】（1）在折叠过程中，由稳定的ΔACD变形为不稳定四边形，最后折叠形成一条线段，小床这样设计应用的数学原理是：三角形的稳定性和四边形的不稳定性。

（2）∵AB：BC=1：4，∴设，则.

由旋转的性质知，

∴.[来*源%:z#zstep&.c^om]

在中，根据勾股定理得，[ww~w.z%^zst&ep.c@om]

∴.

∴.[www.~z#zste&*p%.com]

11. （2015•浙江宁波，第16题4分）如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB的高度，站在教学楼的C处测得旗杆底端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°，若旗杆与教学楼的距离为9m，则旗杆AB的高度是 ▲ m（结果保留根号）

[中国教育出&版^@*网%]

【答案】+9.

【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题）；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值.

【分析】根据在Rt△ACD中，，求出AD的值，再根据在Rt△BCD中，，求出BD的值，最后根据AB=AD+BD，即可求出答案：[来%@#源:&~中教网]

在Rt△ACD中，∵，∴.[来源&*#:~中国教育@出版网]

在Rt△BCD中，∵，∴.[w@ww.zzste*p.#%co&m]

∴AB=AD+BD=+9（m）.

12. （2015山东省德州市，16，4分）如图，某建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距38m的D处观测旗杆顶部A的仰角为50°，观测旗杆底部B的仰角为45°.则旗杆的高度约为 m.（结果精确到0.1m,参考数据：sin50°≈0.77， cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）

【答案】7.2

考点：解直角三角形[来%源#:@中教&^网]

13. （2015呼和浩特，19，6分）(6分)如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋高楼顶部B的仰角为30°，看这栋高楼底部C的俯角为65°，热气球与高楼的水平距离AD为120m.求这栋高楼的高度. （结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可）

考点分析：锐角三角函数 解直角三角形 建模能力

解析：

什么是建模能力？因为这类题目是应用题，即用数学手段来解决实际问题。三角函数是一种数学思想，等到高中阶段会有更多的题型及更多的变化。目前此类题目的核心，是共直角边、或者部分共直角边，要嘛就是等直角边，反正是以直角边为媒介来构建等量关系。本题的核心是共直角边，即共线段AD。还要注意，是应用题最后要有答。

对于实际问题而言，首先是将实际问题数量化，你现在理解为建模就可以。本题中就是给出解得第一行叙述（在《2016年呼和浩特中考数学砍题指南》中会有比较详细的叙述，如果你有兴趣的话可以期待一下。）

另外，有个习惯希望同学们可以按照的方式来，因为你们初学三角函数，所以建议你们先按照三角函数原始定义列出三角函数值等于两个边的比值后，再进行等号两边的乘除变化，这样不容易出错。[来源:*~&%中^教网]

解：

依据题意有：AD⊥BC, ∠BAD=30°，∠CAD=65°，AD=120m.

∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°.

在Rt△ABD中，∵tan30°=，∴BD = AD·tan30°=120×= 40

在Rt△ACD中，∵tan65°=，∴CD =120·tan65°

∴BC =BD+CD =40+120·tan65° [ww&^w.zzstep*#.co@m]

答：这栋高楼的高度为（40+120·tan65°）米

注意：上述类型题目在《考前重点突破》中有完整的解法。[www.#zzst&*e~p.c@om]

14.（2015•山东临沂,第22题7分）

小强从自己家的阳台上，看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，小强家与这栋楼的水平距离为42m，这栋楼有多高？

【答案】56m

∴BD = AD·tanα = 42×tan30°

= 42×= 14.

CD＝AD tanβ＝42×tan60°

＝42.

∴BC＝BD＋CD＝14＋42

＝56(m).

因此，这栋楼高为56m.

考点：解直角三角形

15. （2015辽宁大连，15，3分）如图，从一个建筑物的A处测得对面楼BC的顶部B的仰角为32°，底部C的俯角为45°，观测点与楼的水平距离AD为31cm，则楼BC的高度约为_______m(结果取整数）。（参考数据：sin32°≈0.5,cos32°≈0.8,tan32°≈0.6）[来源:@中教网*&^#]

（第15题）[来~源:中国教育出^版&%网#]

【答案】50[来@源:%*中教^网~]

【解析】解：BC=BD+CD=AD×tan32°+AD×tan45°≈31×0.6+31×1=49.6≈50，故答案为50m.

16. （2015山东菏泽，16，6分）（1）如图，M、N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞．工程人员为了计算工程量，必须计算M、N两点之间的直线距离，选择测量点A、B、C，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM=1千米、AN=1.8千米，AB=54米、BC=45米、AC=30米，求M、N两点之间的直线距离．

17．（2015•广东梅州,第20题，9分）如图，已知△ABC．按如下步骤作图：①以A为圆心，AB长为半径画弧；②以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；③连结BD，与AC交于点E，连结AD，CD．[来%源:&~中*^教网]

（1）求证：△ABC≌△ADC；[来源@:^zz&st*ep#.com]

（2）若∠BAC=30°，∠BCA=45°，AC=4，求BE的长．[来源^~&:中教网@%]

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考点：全等三角形的判定与性质；作图—复杂作图．.

分析：（1）利用SSS定理证得结论；

（2）设BE=x，利用特殊角的三角函数易得AE的长，由∠BCA=45°易得CE=BE=x，解得x，得CE的长．

解答：（1）证明：在△ABC与△ADC中，

，[来源:z#z@step.&co%m*]

∴△ABC≌△ADC（SSS）；

[来源:^@中教网&~%]

（2）解：设BE=x，

∵∠BAC=30°，

∴∠ABE=60°，[来@*^源:%zzstep.&com]

∴AE=tan60°•x=x，

∵△ABC≌△ADC，

∴CB=CD，∠BCA=∠DCA，[来源:zzst@e%p.#co*&m]

∵∠BCA=45°，

∴∠BCA=∠DCA=90°，

∴∠CBD=∠CDB=45°，

∴CE=BE=x，

∴x+x=4，[中国#&@教育出^版*网]

∴x=2﹣2，[来~%源#:中国教育出版*&网]

∴BE=2﹣2．

点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质，特殊角的三角函数，利用方程思想，综合运用全等三角形的性质和判定定理是解答此题的关键．

18．（2015•安徽省,第18题，8分）如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度(＝1.7)．

[www.zzs&te~@p.^co%m]

考点：解直角三角形的应用－仰角俯角问题．.[来源:中&@国教育出版%^*网]

分析：首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解．

解答：解：如图，过点B作BE⊥CD于点E，

根据题意，∠DBE=45°，∠CBE=30°．

∵AB⊥AC，CD⊥AC，

∴四边形ABEC为矩形．

∴CE=AB=12m．

在Rt△CBE中，cot∠CBE=，

∴BE=CE•cot30°=12×=12．

在Rt△BDE中，由∠DBE=45°，

得DE=BE=12．[来源:^中%国教育&出版~网#]

∴CD=CE+DE=12（+1）≈32.4．

答：楼房CD的高度约为32.4m．

点评：考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，本题要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．

19．（2015•山东潍坊第16 题3分）观光塔是潍坊市区的标志性建筑，为测量其高度，如图，一人先在附近一楼房的底端A点处观测观光塔顶端C处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶端B点处观测观光塔底部D处的俯角是30°．已知楼房高AB约是45m，根据以上观测数据可求观光塔的高CD是　135　m．[来源:z@~z^step.#*com]

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三 解答题

1. （2015•四川广安，第23题8分）数学活动课上，老师和学生一起去测量学校升旗台上旗杆AB的高度，如图，老师测得升旗台前斜坡FC的坡比为iFC=1：10（即EF：CE=1：10），学生小明站在离升旗台水平距离为35m（即CE=35m）处的C点，测得旗杆顶端B的仰角为α，已知tanα=，升旗台高AF=1m，小明身高CD=1.6m，请帮小明计算出旗杆AB的高度．[来*源:&@#^中教网]

[中~国教#育出&^版网@]

[来源%:^中教网~@*]

2. （2015•四川甘孜、阿坝，第18题7分）如图，某中学九年级数学兴趣小组测量校内旗杆AB的高度，在C点测得旗杆顶端A的仰角∠BCA=30°，向前走了20米到达D点，在D点测得旗杆顶端A的仰角∠BDA=60°，求旗杆AB的高度．（结果保留根号）

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3．(2015·深圳，第20题 分)小丽为了测旗杆AB的高度，小丽眼睛距地图1.5米，小丽站在C点，测出旗杆A的仰角为30o，小丽向前走了10米到达点E，此时的仰角为60o，求旗杆的高度。

【解析】

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4．(2015·贵州六盘水，第25题12分)如图13，已知Rt△ACB中，∠C＝90°，∠BAC＝45°．

（1）（4分）用尺规作图，：在CA的延长线上截取AD＝AB，并连接

BD（不写作法，保留作图痕迹）[中&国#教^育@*出版网]

（2）（4分）求∠BDC的度数．

（3）（4分）定义：在直角三角形中，一个锐角A的邻边与对边的比叫

做∠A的余切，记作cotA，即，根据定义，利

用图形求cot22.5°的值．[来%源:&~中*^教网]

考点：作图—复杂作图；解直角三角形．.

专题：新定义．

分析：（1）以点A为圆心，AB为半径作弧交CA的延长线于D，然后连结BD；

（2）根据等腰三角形的性质，由AD=AB得∠ADB=∠ABD，然后利用三角形外角性质可求出∠ADB=22.5°；

（3）设AC=x，根据题意得△ACB为等腰直角三角形，则BC=AC=x，AB=AC=x，所以AD=AB=x，CD=（+1）x，然后在Rt△BCD中，根据余切的定义求解．[来#^源@:中国教育出版~网*]

解答：解：（1）如图，

（2）∵AD=AB，[来*源%:z#zstep&.co^m]

∴∠ADB=∠ABD，[中&国教育出版@*#%网]

而∠BAC=∠ADB+∠ABD，[www.z@zs^te%~p.com#]

∴∠ADB=∠BAC=×45°=22.5°，

即∠BDC的度数为22.5°；

（3）设AC=x，

∵∠C=90°，∠BAC=45°，

∴△ACB为等腰直角三角形，

∴BC=AC=x，AB=AC=x，

∴AD=AB=x，[来@源:中教~#&网%]

∴CD=x+x=（+1）x，

在Rt△BCD中，cot∠BDC===+1，[中~国%&*教育出^版网][来*源:zzst@ep.^&#com]

即cot22.5°=+1．[来源:中@&%国*教育出版网^]

点评：本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法；解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了解直角三角形．

[来源@#:^%中*教网]

5． (2015·河南，第20题9分)如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D出测得大树顶端B的仰角是48°. 若坡角∠FAE=30°，求大树的高度. （结果保留整数，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，≈1.73）

[中国教育出%~&版#网*] [来源:zzs~t#&ep.@com^]

[【分析】通过观察图形，要求大树的高度，需要构造直角三角形，将所求线段联系起来.结合题目中的信息，即要延长BD交AE于点G，并过点D作DH⊥AE于点H，分别在Rt△GBC和Rt△ABC中表示出CG和AC的长即可求解.[www.%z@&zste^#p.com][w~#ww.zz*step.com@^]

解：[来%源:@~z&zstep#.com]

[来源:中国教&育~出版网@%#]

第20题解图

6. （2015•四川泸州,第22题8分）如图，海中一小岛上有一个观测点A，某天上午9：00观测到某渔船在观测点A的西南方向上的B处跟踪鱼群由南向北匀速航行。当天上午9：30观测到该渔船在观测点A的北偏西60°方向上的C处。若该渔船的速度为每小时30海里，在此航行过程中，问该渔船从B处开始航行多少小时，离观测点A的距离最近?(计算结果用根号表示，不取近似值)。

考点：解直角三角形的应用-方向角问题．.

分析：首先根据题意可得PC⊥AB，然后设PC=x海里，分别在Rt△APC中与Rt△APB中，利用正切函数求得出PC与BP的长，由PC+BP=BC=30×，即可得方程，解此方程求得x的值，再计算出BP，然后根据时间=路程÷速度即可求解．[来@源:中教^%#网~]

解答：解：过点A作AP⊥BC，垂足为P，设AP=x海里．

在Rt△APC中，∵∠APC=90°，∠PAC=30°，[ww@w.zzs%t^ep&.#com]∴tan∠PAC=，∴CP=AP•tan∠PAC=x．[来源:*zzste^p@.~co%m]

在Rt△APB中，∵∠APB=90°，∠PAB=45°，[来#源:中*国教育出版^网%~]∴BP=AP=x．

∵PC+BP=BC=30×，∴x+x=15，[中国教@育出版~%#&网]解得x=，[来源&*#:~中国教育@出版网]

∴PB=x=，

∴航行时间：÷30=（小时）．[来源:中~^&国#教育出版网@]

答：该渔船从B处开始航行小时，离观测点A的距离最近．

[中国#教&@育出^版*网]

点评：此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，锐角三角函数的定义，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，注意数形结合思想的应用．

7. （2015•四川凉山州,第20题8分）如图，在楼房AB和塔CD之间有一棵树EF，从楼顶A处经过树顶E点恰好看到塔的底部D点，且俯角α为45°．从距离楼底B点1米的P点处经过树顶E点恰好看到塔的顶部C点，且仰角β为30°．已知树高EF=6米，求塔CD的高度．（结果保留根号）[中国^*教育#&~出版网]

【答案】．

【解析】

试题分析：根据题意求出∠BAD=∠ADB=45°，进而根据等腰直角三角形的性质求得FD，在Rt△PEH中，利用特殊角的三角函数值分别求出BF，即可求得PG，在Rt△PCG中，继而可求出CG的长度．

试题解析：由题意可知∠BAD=∠ADB=45°，∴FD=EF=6米，在Rt△PEH中，∵tanβ=，∴BF=，∴PG=BD=BF+FD=，在RT△PCG中，∵tanβ=，∴CG=，∴CD=（）米．

考点：解直角三角形的应用－仰角俯角问题．

8. （2015•四川成都,第17题8分）

如图，登山缆车从点A出发，途经点B后到达终点C.其中AB段与BC段的运行路程均为200m，且AB段的运行路线与水平面的夹角为30°，BC段的运行路线与水平面的夹角为42°，求缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离.（参考数据：sin42°≈0.67 ，cos42°≈0.74 ， tan42°≈0.90）

【答案】：234m

【解析】：如图所示，缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离为，

又∵和均为直角三角形，

∴ [中~@国%*教^育出版网]

9. （2015•四川眉山，第22题8分）如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个码头，A在B的正东方向，一艘小船从A码头沿它的北偏西60°的方向行驶了20海里到达点P处，此时从B码头测得小船在它的北偏东45°的方向．求此时小船到B码头的距离（即BP的长）和A、B两个码头间的距离（结果都保留根号）．[ww^w#.~zzste&p.co*m]

[中国~教育出@*版&网%]

10. （2015•四川省内江市，第20题，9分）我市准备在相距2千米的M，N两工厂间修一条笔直的公路，但在M地北偏东45°方向、N地北偏西60°方向的P处，有一个半径为0.6千米的住宅小区（如图），问修筑公路时，这个小区是否有居民需要搬迁？（参考数据：≈1.41，≈1.73）[来源%:&中国~*教育#出版网]

11. （2015•四川省宜宾市，第21题，8分）(注意：在试题卷上作答无效)[中~@国&教育出#*版网]

如图，某市对位于笔直公路AC上两个小区A、B的供水路线进行优化改造，供水站M在笔直公路AD上，测得供水站M在小区A的南偏东60°方向，在小区B的西南方向，小区A、B之间的距离为300(+1)米，求供水站M分别到小区A、B的距离。（结果可保留根号）21·世纪*教育网[来源^:zz&step.co@~m%]

12. （2015•浙江省绍兴市，第20题，8分）如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°。

（1）求∠BPQ的度数；

（2）求该电线杆PQ的高度（结果精确到1m）。

备用数据：，

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[来~源#:中国教育&出版*网%]

考点：解直角三角形的应用－仰角俯角问题．.

分析：（1）延长PQ交直线AB于点E，根据直角三角形两锐角互余求得即可；

92）设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB=AE﹣BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解．

解答：解：延长PQ交直线AB于点E，

（1）∠BPQ=90°﹣60°=30°；

（2）设PE=x米．

在直角△APE中，∠A=45°，[来%^~&源:中#教网]

则AE=PE=x米；[来源:中国%教育出版@#~*网]

∵∠PBE=60°

∴∠BPE=30°[来源:^中%国教育&出版~网#]

在直角△BPE中，BE=PE=x米，

∵AB=AE﹣BE=6米，[来源:&^*中~国教育出版网#]

则x﹣x=6，[中国教育%出版网@~#*]

解得：x=9+3．

则BE=（3+3）米．

在直角△BEQ中，QE=BE=（3+3）=（3+）米．

∴PQ=PE﹣QE=9+3﹣（3+）=6+2≈9（米）．[来%@源&:^中~教网]

答：电线杆PQ的高度约9米．

点评：本题考查了仰角的定义，以及三角函数，正确求得PE的长度是关键．

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13. （2015•浙江省台州市，第19题）如图，这是一把可调节座椅的侧面示意图，已知头枕上的点到调节器点O处的距离为80cm,AO与地面垂直，现调整靠背，把OA绕点O旋转35°到OA’处，求调整后点A’比调整前点A的高度降低了多少cm?（结果取整数）？

（参考数据：sin35°0.57，cos35°0.82，tan35°0.70）[中~国教%@育*出版网&]

[来源:zzs@t#e^*%p.com]

14. （2015•浙江嘉兴，第22题12分）小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，她在底板下面垫入散热架ACO＇后，电脑转到AO＇B＇位置（如图3），侧面示意图为图4.已知OA=OB=24cm，O＇C⊥OA于点C，O＇C=12cm.

（1）求∠CAO＇的度数.

（2）显示屏的顶部B＇比原来升高了多少？[来@^%~源:中国教#育出版网]

（3）如图4，垫入散热架后，要使显示屏O＇B＇与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O＇B＇应绕点O＇按顺时针方向旋转多少度？

考点：解直角三角形的应用；旋转的性质．.

分析：（1）通过解直角三角形即可得到结果；[中~国教#育出&%版网@]

（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，通过解直角三角形求得BD=OB•sin∠BOD=24×=12，由C、O′、B′三点共线可得结果；

（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，求得∠EO′B′=∠FO′A=30°，既是显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．

解答：解：（1）∵O′C⊥OA于C，OA=OB=24cm，[来源:zzst%^ep#*.c~om]

∴sin∠CAO′=，

∴∠CAO′=30°；

（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，

∵sin∠BOD=，[中%国教育出&*版网#~]

∴BD=OB•sin∠BOD，[中%国教育^@*出版网#]

∵∠AOB=120°，[来源:zzste%p@~.c*&om]

∴∠BOD=60°，

∴BD=OB•sin∠BOD=24×=12，

∵O′C⊥OA，∠CAO′=30°，[来@*源:中%^教网&]

∴∠AO′C=60°，

∵∠AO′B′=120°，

∴∠AO′B′+∠AO′C=180°，

∴O′B′+O′C﹣BD=24+12﹣12=3﹣12，

∴显示屏的顶部B′比原来升高了（36﹣12）cm；

（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，

理由；∵显示屏O′B与水平线的夹角仍保持120°，[来*@#&源:^中教网]

∴∠EO′F=120°，

∴∠FO′A=∠CAO′=30°，

∵∠AO′B′=120°，[中^#国教%育出&@版网][来源:zzste&p%#.c^o@m]

∴∠EO′B′=∠FO′A=30°，[来源@:zzs*te%#^p.com]

∴显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．

点评：本题考查了解直角三角形的应用，旋转的性质，正确的画出图形是解题的关键．

[来#@^源&:中教网~]

15．（2015•四川资阳,第20题8分）北京时间2015年04月25日14时11分，尼泊尔发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作．如图9，某探测队在地面A、B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB=4米，求该生命迹象所在位置C的深度．（结果精确到1米．参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，≈1.7）

考点：解直角三角形的应用．.

分析：过C点作AB的垂线交AB的延长线于点D，通过解Rt△ADC得到AD=2CD=2x，在Rt△BDC中利用锐角三角函数的定义即可求出CD的值．

解答：解：作CD⊥AB交AB延长线于D，设CD=x 米．

Rt△ADC中，∠DAC=25°，

所以tan25°==0.5，

所以AD==2x．

Rt△BDC中，∠DBC=60°，

由tan 60°==，

解得：x≈3米．[来~#源:中国教育出版^&%网]

所以生命迹象所在位置C的深度约为3米．

点评：本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

16．（2015•四川自贡,第18题8分）如图所示，我市某中学课外活动小组的同学利用所学

知识去测釜溪河沙湾段的宽度.小宇同学在处观测对岸[来源:zzs%t&ep^.c@om#]

点，测得,小英同学在处50米远的处[来源~:zzs*^te@%p.com]

测得,请你根据这些数据算出河宽.

（精确到0.01米，）

考点：直角三角形的性质、三角函数、方程思想、分母有理化等.[来^&源%:中教*网#]

分析：本题所求得如图所示的河宽，若直接放在一个三角形求缺少条件，但表示河宽的同时是△和△的公共边，利用△和△的特殊角关系可以转移到边来求，通过米建立方程可获得解决.

[来#源:z~zstep*.co&m%]

略解：

过点作于,设米.

在△中：

在△中：

∴ 解得：

答：河宽为67.30米.

17．（2015•广东佛山,第20题6分）如图，在水平地面上竖立着一面墙AB，墙外有一盏路灯D．光线DC恰好通过墙的最高点B，且与地面形成37°角．墙在灯光下的影子为线段AC，并测得AC=5.5米．

（1）求墙AB的高度（结果精确到0.1米）；（参考数据：tan37°≈0.75，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）[来源:%&z~z^s@tep.com]

（2）如果要缩短影子AC的长度，同时不能改变墙的高度和位置，请你写出两种不同的方法．

[来*源:zzs@tep^.&~com]

18．（2015•甘肃武威,第22题6分）如图①所示，将直尺摆放在三角板上，使直尺与三角板的边分别交于点D，E，F，G，已知∠CGD=42°

（1）求∠CEF的度数；

（2）将直尺向下平移，使直尺的边缘通过三角板的顶点B，交AC边于点H，如图②所示，点H，B在直尺上的度数分别为4，13.4，求BC的长（结果保留两位小数）．

（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）

[来*%源:中教^网&~]

19.（2015•福建泉州第23题9分）如图，在平面直角坐标系中，点A（，1）、B（2，0）、O（0，0），反比例函数y=图象经过点A．

（1）求k的值；

（2）将△AOB绕点O逆时针旋转60°，得到△COD，其中点A与点C对应，试判断点D是否在该反比例函数的图象上？

解：（1）∵函数y=的图象过点A（，1），

∴k=xy=×1=；

（2）∵B（2，0），

∴OB=2，

∵△AOB绕点O逆时针旋转60°得到△COD，

∴OD=OB=2，∠BOD=60°，

如图，过点D作DE⊥x轴于点E，

DE=OE•sin60°=2×=，

OE=OD•cos60°=2×=1，[来^*源:中教%网&~]

∴D（1，），[来源:zz&step*~.@^com]

由（1）可知y=，

∴当x=1时，y==，

∴D（1，）在反比例函数y=的图象上．

20.（2015湖北鄂州第21题9分）如图，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆的高度．已知小亮站着测量 ，眼睛与地面的距离（AB）是1.7米，看旗杆顶部E的仰角为30°；小敏蹲着测量，眼睛与地面的距离（CD）是0.7米，看旗杆顶部E的仰角为45°. 两人相距5米且位于旗杆同侧（点B、D、F在同一直线上）．

（1）（6分）求小敏到旗杆的距离DF．（结果保留根号）

（2）（3分）求旗杆EF的高度．（结果保留整数.参考数据：，）[来源:中国%教育出版@~#&网]

【答案】（1）4+米.(2)10米.

考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

21.（2015湖南邵阳第24题8分）如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目测点D到地面的距离DG=1.5米，到旗杆的水平距离DC=20米，求旗杆的高度．

22.（2015·湖南省常德市，第23题8分）如图3图4，分别是吊车在吊一物品时的实物图与示意图，已知吊车底盘CD的高度为2米，支架BC的长为4米，且与地面成30°角，吊绳AB与支架BC的夹角为80°，吊臂AC与地面成70°角，求吊车的吊臂顶端A点距地面的高度是多少米？（精确到0.1米）？

（参考数据：sin10°＝cos80°＝0.17,cos10°＝sin80°＝0.98,sin20°＝cos70°＝0.34

,tan70°＝2.75,sin70°＝0.94）

【解答与分析】这是一个解直角三角形的题，但此题要求看出

AB=AC，然后利用解直接三角形的方法求出AC，再在Rt△AEC中

解出AE的长，从而求出A到地面的高度为AE+2

解：由题可知：如图，BH⊥HE，AE⊥HE，CD=2，BC=4

∠BCH =30°，∠ABC=,80°，∠ACE=70°[来源@*:中国~教育出#&版网]

∵∠BCH+∠ACB+∠ACE=180°

∴∠ACB=80°

∵∠ABC=80°

∴∠ABC=∠ACB[来源:zzst&ep~@.c^o%m]

∴AC=BC=4

过点A作AM⊥BC于M，

∴CM=BM=2[中国教育出*@&%^版网]

∵在Rt△ACM中，CM=2，∠ACB=80°

∴∠ACB=

∴AC＝

∵在Rt△ACE中，AC＝，∠ACE=70°

∴∠ACE=

∴AE＝≈11.1

故可得点A到地面的距离为13.1米

23.（2015湖南岳阳第20题8分）如图是放在水平地面上的一把椅子的侧面图，椅子高为AC，椅面宽为BE，椅脚高为ED，且AC⊥BE，AC⊥CD，AC∥ED．从点A测得点D、E的俯角分别为64°和53°．已知ED=35cm，求椅子高AC约为多少？[来#源:%中&教*网^]

（参考数据：tan53°≈，sin53°≈，tan64°≈2，sin64°≈）

24．(2015•江苏南京,第23题8分)如图，轮船甲位于码头O的正西方向A处，轮船乙位于码头O的正北方向C处，测得∠CAO=45°，轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为45km/h和36km/h，经过0.1h，轮船甲行驶至B处，轮船乙行驶至D处，测得∠DBO=58°，此时B处距离码头O多远？（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1，60）

【答案】13.5km．

【解析】

试题分析：设B处距离码头Oxkm，分别在Rt△CAO和Rt△DBO中，根据三角函数求得CO和DO，再利用DC=DO﹣CO，得出x的值即可．[来*源:中&国^教育出~版网@]

试题解析：设B处距离码头Oxkm，在Rt△CAO中，∠CAO=45°，∵tan∠CAO=，∴CO=AO•tan∠CAO=（45×0.1+x）•tan45°=4.5+x，在Rt△DBO中，∠DBO=58°，∵tan∠DBO=，∴DO=BO•tan∠DBO=x•tan58°，∵DC=DO﹣CO，∴36×0.1=x•tan58°﹣（4.5+x），

∴x=．

因此，B处距离码头O大约13.5km．[来*@#&源:^中教网]

考点：解直角三角形的应用．

如图，MN表示一段笔直的高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼．已知点A到MN的距离为15米，BA的延长线与MN相交于点D，且∠BDN＝30°，假设汽车在高速道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音的影响．

(1)过点A作MN的垂线，垂足为点H．如果汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶，当汽车到达点P处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H的距离为多少米？

(2)降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板．当汽车行驶到点Q时，它与这一排居民楼的距离QC为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？(精确到1米) (参考数据：≈1.7)[来~#源:中国教&育出^版%网]

【解析】

25.（2015•山东莱芜,第20题9分）

2009年首届中国国际航空体育节在莱芜雪野举办，期间在市政府广场进行了热气球飞行表演.如图，有一热气球到达离地面高度为36米的A处时，仪器显示正前方一高楼顶部B的仰角是37°，底部C的俯角是60°.为了安全飞越高楼，气球应至少再上升多少米？（结果精确到0.1米）

（参考数据：）[来^%@源#*:中教网]

【答案】15.6米

【解析】

试题分析：过A作BC的垂线，设垂足为D．BD即为所求的高度．在Rt△ADC中，运用三角函数定义求出AD的值；进而可在Rt△ABD中，求出BD的值．[来源#:z~zstep.*co&m%]

试题解析：解：过A作AD⊥CB，垂足为点D．

在Rt△ADC中，∵CD=36，∠CAD=60°．[来源:#z~zste&p.%co*m]

∴AD=≈20.76．

在Rt△ADB中，∵AD≈20.76，∠BAD=37°．

∴BD=≈20.76×0.75=15.57≈15.6（米）．

答：气球应至少再上升15.6米．

考点：仰角俯角的定义，解直角三角形

26 ，(2015山东青岛，第19题,3分)

小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为45°和35°，已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m。请求出热气球离地面的高度。（结果保留整数，参考数据：， ，

【答案】233m

【解析】

试题分析：作AD⊥CB延长线于点D，根据Rt△ACD中∠ABD的正切值得出CD=AD；根据Rt△ABD中∠ABD的正切值得出BD=AD，根据BC=CD－DB=100求出AD的长度.[来源:中^&国%*教育出版网@]

试题解析：如图，作AD⊥CB延长线于点D[来#@~源&:zzst*ep.com]

由题知：∠ACD=35°、∠ABD=45° 在Rt△ACD中，∠ACD=35° 所以

在Rt△ABD中，∠ABD=45° 所以[来源:~@中国教^育#*出版网]

由题 所以 解得m

答：热气球到地面的距离约为233米

考点：三角函数的应用.[中国#教~^@育%出版网]

27 ,（2015•淄博第22题,10分）如图1是一把折叠椅子，图2是椅子完全打开支稳后的侧面示意图，其中AD和BC表示两根较粗的钢管，EG表示座板平面，EG和BC相交于点F，MN表示地面所在的直线，EG∥MN，EG距MN的高度为42cm，AB=43cm，CF=42cm，∠DBA=60°，∠DAB=80°．求两根较粗钢管AD和BC的长．（结果精确到0.1cm．参考数据：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67，sin60°≈0.87，cos60°≈0.5，tan60°≈1.73）

[来源:zzste@*p.%^c~om]

[中&国教育^*~出@版网]

28.（2015•江苏泰州,第23题10分）如图，某仓储中心有一斜坡AB，其坡度为，顶部A处的高AC为4m，B、C在同一水平地面上。

（1）求斜坡AB的水平宽度BC；

（2）矩形DEFG为长方形货柜的侧面图，其中DE=2.5m，EF=2m.将该货柜沿斜坡向上运送，当BF=3.5m时，求点D离地面的高。（，结果精确到0.1m）

【答案】(1) 8m．(2) 4.5m．

【解析】

试题分析：（1）根据坡度定义直接解答即可；

（2）作DS⊥BC，垂足为S，且与AB相交于H．证出∠GDH=∠SBH，根据，得到GH=1m，利用勾股定理求出DH的长，然后求出BH=5m，进而求出HS，然后得到DS．[来源:中国教%*育出^#@版网]

试题解析：（1）∵坡度为i=1：2，AC=4m， [www.zz#~s@tep^.com%]

∴BC=4×2=8m．

（2）作DS⊥BC，垂足为S，且与AB相交于H．

∵∠DGH=∠BSH，∠DHG=∠BHS，

∴∠GDH=∠SBH，

∵DG=EF=2m，

∴GH=1m，

∴DH=m，BH=BF+FH=3.5+（2.5-1）=5m，

设HS=xm，则BS=2xm， [w*ww.~z@zs%tep.co#m]

∴x2+（2x）2=52，

∴x=m， [中~国教#育出&%版网@]

∴DS=+=2m≈4.5m．

考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．

29.（2015•江苏泰州,第24题10分）如图，△ABC 中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F。

（1）试说明DF是⊙O的切线；

（2）若 AC=3AE，求。

【答案】(1)证明见解析；（2）.

【解析】[来源:@^中教&%网#]

试题分析：（1）连接OD，根据等边对等角得出∠B=∠ODB，∠B=∠C，得出∠ODB=∠C，证得OD∥AC，证得OD⊥DF，从而证得DF是⊙O的切线；

（2）连接BE，AB是直径，∠AEB=90°，根据勾股定理得出BE=2AE，CE=4AE，然后在Rt△BEC中，即可求得tanC的

试题解析：（1）证明：连接OD， [来~源:中国教育出^版&%网#]

∵OB=OD，

∴∠B=∠ODB，

∵AB=AC， [来源:中国#%&教育出*@版网]

∴∠B=∠C， [w~ww.zz&ste%p.#com@]

∴∠ODB=∠C，

∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，

∴OD⊥DF， [来^%@源#*:中教网]

∴DF是⊙O的切线；

（2）解：连接BE，

∵AB是直径，

∴∠AEB=90°，

∵AB=AC，AC=3AE，[来源:%@中~^*教网]

∴AB=3AE，CE=4AE，

∴BE=，

在Rt△BEC中，tanC=.

考点：切线的判定．

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2015年全国中考数学试卷解析分类汇编 专题28 解直角三角形（第一期）