2013年高考数学总复习 3-4 定积分与微积分基本定理(理)但因为测试 新人教B版

1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y＝x2与y＝x所围成图形的面积，其中正确的是(　　)

A．S＝5385f3c29fd829b2df4086b382cd7784.png(x2－x)dx　　　　 B．S＝27a2943591db0bf401b3ea52a69ebfda.png(x－x2)dx

C．S＝5385f3c29fd829b2df4086b382cd7784.png(y2－y)dy D．S＝27a2943591db0bf401b3ea52a69ebfda.png(y－4c7e24f4482ad9d969c62785e45eaadd.png)dy

[答案]　B

[分析]　根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数．

[解析]　两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x≥x2，故函数y＝x2与y＝x所围成图形的面积S＝27a2943591db0bf401b3ea52a69ebfda.png(x－x2)dx.

2．(2010·辽宁锦州模拟)如图，阴影部分面积等于(　　)

A．29097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png B．2－9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png

C.22704791c2afbe764f0ddcbad1452f68.png D.899e9f91dc676169cb5c3f42bcec2044.png

[答案]　C

[解析]　图中阴影部分面积为

3．(2010·山东烟台模拟)305d494b1de33dfe936d7d68f5168cc6.png12629c3803a37ed20ebd28aaae4623a6.pngdx＝(　　)

A．4π B．2π

C．π D.cf2f35d54ae29874f3f2252ef142701d.png

[答案]　C

[解析]　令y＝12629c3803a37ed20ebd28aaae4623a6.png，则x2＋y2＝4(y≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，

∴S＝70e7efdd0b858341812e625a071abd09.png×π×22＝π.

4．已知函数y＝x2与y＝kx(k>0)的图象所围成的封闭区域的面积为9da1a8157a5f10ce824f2efd3e3f37a6.png，则k等于(　　)

A．2　　　　B．1　　　　C．3　　　　D．4

[答案]　C

[解析]　由d32dde6abaf149392c96b6b79d39c95b.png消去y得x2－kx＝0，

所以x＝0或x＝k，

则所求区域的面积为

afe0fe440c4e688bf759d1b21c03c4c2.png(kx－x2)dx＝(59faca5ab5b04cd1bc89ee3399948327.pngkx2－f44081a847877499ce84f969295fb5e7.pngx3)|7974c97397ad839f5152dbdfc48d8553.png＝04bbd3c2505d0a826aba4a8d5f2e29a9.png.

即df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.pngk3－f44081a847877499ce84f969295fb5e7.pngk3＝9da1a8157a5f10ce824f2efd3e3f37a6.png，解得k＝3.故选C.

5．(2011·汕头模拟)设f(x)＝55dc9624b7d4c31b9bca494747575943.png，则305d494b1de33dfe936d7d68f5168cc6.pngf(x)dx等于(　　)

A.265e19a4ae0afb453ff050334cc577b1.png　　　B.328a3b93f04d7060c617a203f2e833c5.png　　　C.dce86acf8e7cbf373b1b85b330778472.png　　　D．不存在

[答案]　C

[解析]　305d494b1de33dfe936d7d68f5168cc6.pngf(x)dx＝5385f3c29fd829b2df4086b382cd7784.pngx2dx＋438061101553bbe51617e256053db9b9.png(2－x)dx

6． (　　)

A．0 B.6e39d14a87b7a35bb9cf5152ecd1ae21.png C．2 D．－2

[答案]　D

[解析]　

7．(2010·惠州模拟)305d494b1de33dfe936d7d68f5168cc6.png(2－|1－x|)dx＝________.

[答案]　3

[解析]　∵y＝5390b1d670454ce4dabb0fbbeed4c338.png，

∴305d494b1de33dfe936d7d68f5168cc6.png(2－|1－x|)dx＝5385f3c29fd829b2df4086b382cd7784.png(1＋x)dx＋d3953af4a2514e9910e140e1c60fbc79.png(3－x)dx

＝(x＋df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.pngx2)|cbc2a27016a521406da5727c3bc43cb9.png＋(3x－df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.pngx2)|eaf582c901b8586c8eee1bee8869f0b9.png＝003c1a2d00a8d7f1207749755fdc5c69.png＋003c1a2d00a8d7f1207749755fdc5c69.png＝3.

8．(2010·芜湖十二中)已知函数f(x)＝3x2＋2x＋1，若成立，则a＝________.

[答案]　－1或7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png

[解析]　∵＝(3x2＋2x＋1)dx＝(x3＋x2＋x)|eb65de414644bd21ebfaf0f30cf1e7a4.png＝4，f(x)dx＝2f(a)，∴6a2＋4a＋2＝4，

∴a＝－1或7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png.

9．已知则二项式(a66f0d9f19c1b01cf4ea57afa77b0b856.png－b84535afbc764ead583db5cb8cf0b808.png)6的展开式中含x2项的系数是________．

[答案]　－192

[解析]　由已知得＝(－cosx＋sinx) ＝(sincf2f35d54ae29874f3f2252ef142701d.png－coscf2f35d54ae29874f3f2252ef142701d.png)－(sin0－cos0)＝2，

(266f0d9f19c1b01cf4ea57afa77b0b856.png－b84535afbc764ead583db5cb8cf0b808.png)6的展开式中第r＋1项是Tr＋1＝(－1)r×Cd9de2922ee6e68e3e2d840dff4c7e4b9.png×26－r×x3－r，令3－r＝2得，r＝1，故其系数为(－1)1×Cab580bd359a3b0eb3fb012daae044ef7.png×25＝－192.

10．有一条直线与抛物线y＝x2相交于A、B两点，线段AB与抛物线所围成图形的面积恒等于f77fd163c2e25b2be3174c1d16df560e.png，求线段AB的中点P的轨迹方程．

[解析]　设直线与抛物线的两个交点分别为A(a，a2)，B(b，b2)，不妨设a<b，

则直线AB的方程为y－a2＝ec41664cd3bdcf8927d30931d52cf494.png(x－a)，

即y＝(a＋b)x－ab.

则直线AB与抛物线围成图形的面积为S＝69bf45bd0ca31dc8efe3d3213f6b03db.png[(a＋b)x－ab－x2]dx＝(145d09823044f31cec0bd97616e6ed96.pngx2－abx－c803a61717c848208a1347bc3f4930e8.png)|832f2f87c91433eed4f7066c7d8e0628.png＝fdfdd2aaaa125d4b9b3386103d4c44a3.png(b－a)3，

∴fdfdd2aaaa125d4b9b3386103d4c44a3.png(b－a)3＝f77fd163c2e25b2be3174c1d16df560e.png，

解得b－a＝2.设线段AB的中点坐标为P(x，y)，

其中e0b8e9192da51df4a67793c4458a0f29.png，将b－a＝2代入得6710340d3f7bd96214ecb7864e969b1d.png，

消去a得y＝x2＋1.

∴线段AB的中点P的轨迹方程为y＝x2＋1.

word/media/image16.gif

11.(2010·福建莆田市质检)如图，D是边长为4的正方形区域，E是区域D内函数y＝x2图象下方的点构成的区域，向区域D中随机投一点，则该点落入区域E中的概率为(　　)

A.126f8d196d9a1d04aab0b871fe021416.png B.70e7efdd0b858341812e625a071abd09.png C.7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png D.df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png

[答案]　C

[解析]　阴影部分面积S＝2305d494b1de33dfe936d7d68f5168cc6.pngx2dx＝2×f44081a847877499ce84f969295fb5e7.pngx3|c0c86dc1f66d10460204db189097f567.png＝3235a618ff9c26464735f8c023458a61.png，又正方形面积S′＝42＝16，∴所求概率P＝428509cb9010024f61a1621e311dd918.png＝7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png.

12．(2010·江苏盐城调研)甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规则如下：甲从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为b，乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为c(b、c可以相等)，若关于x的方程x2＋2bx＋c＝0有实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在一场比赛中甲获胜的概率为(　　)

A.7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png B.6b947573d14816876763af57c7a89b2e.png

C.df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png D.265e19a4ae0afb453ff050334cc577b1.png

[答案]　A

[解析]　方程x2＋2bx＋c＝0有实根的充要条件为Δ＝4b2－4c≥0，即b2≥c，

由题意知，每场比赛中甲获胜的概率为p＝67458180ca8ea70160447faa75589796.png＝7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png.

13．抛物线y2＝2x与直线y＝4－x围成的平面图形的面积为________．

[答案]　18

[解析]　由方程组5952d4e6df757860499a87a2f9b3a8fb.png解得两交点A(2,2)、B(8，－4)，选y作为积分变量x＝f0ed2449092cf884014726b5d3a0a804.png、x＝4－y

∴S＝061ea365bc38fbe61b754e8366b73d9b.png－4[(4－y)－f0ed2449092cf884014726b5d3a0a804.png]dy＝(4y－f0ed2449092cf884014726b5d3a0a804.png－afb6e25dd171a0e2d2fccf27dec8cd75.png)|71267eac9c18011506bfbe5fb2cbf79d.png＝18.

14．(2011·潍坊模拟)抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点A(1,0)和点B(3,0)处的切线所围成图形的面积为________．

[答案]　6b947573d14816876763af57c7a89b2e.png

[解析]　∵y′＝－2x＋4，

∴在点A(1,0)处切线斜率k1＝2，方程为y＝2(x－1)，

在点B(3,0)处切线斜率k2＝－2，方程为y＝－2(x－3)．

由9ce562c457e2b0ad889b3cd7dd8f42a1.png得a4cdb3aff2602fb953998a79a32fa3d6.png，

故所求面积S＝d3953af4a2514e9910e140e1c60fbc79.png[(2x－2)－(－x2＋4x－3)]dx＋57ea638abf723c73c76d0046ea4b0f33.png[(－2x＋6)－(－x2＋4x－3)]dx＝(f44081a847877499ce84f969295fb5e7.pngx3－x2＋x)|eaf582c901b8586c8eee1bee8869f0b9.png＋(7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.pngx3－3x2＋9x)|950119daa6ba25280fdb3ee18651c488.png＝7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png＋7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png＝6b947573d14816876763af57c7a89b2e.png.

15．求下列定积分．

[解析]　

16.已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象如图所示，它与x轴在原点处相切，且x轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为72d17333b991037c6d4dcbe6b8e7668f.png，求a的值．

[解析]　f ′(x)＝－3x2＋2ax＋b，∵f ′(0)＝0，∴b＝0，

∴f(x)＝－x3＋ax2，令f(x)＝0，得x＝0或x＝a(a<0)．

∴S阴影＝d76ea2fdb597a0c549a0ac4a19633b60.png[0－(－x3＋ax2)]dx

＝(70e7efdd0b858341812e625a071abd09.pngx4－f44081a847877499ce84f969295fb5e7.pngax3)|4f984febf7a3839b3f6ab3ba6dad986c.png＝343a241c63d219b63bb365dc3fad756c.pnga4＝72d17333b991037c6d4dcbe6b8e7668f.png，

∵a<0，∴a＝－1.

1．曲线y＝cosx(0≤x≤2π)与直线y＝1所围成的图形面积是(　　)

A．2π B．3π

C.52b84cc47232834378729c825b2f667b.png D．π

[答案]　A

[解析]　如右图，

S＝∫84a25c4352a51f8de4e9eb9c0911a5c2.png(1－cosx)dx

＝(x－sinx)|84a25c4352a51f8de4e9eb9c0911a5c2.png＝2π.

[点评]　此题可利用余弦函数的对称性①②③④面积相等解决，但若把积分区间改为fd23e4d528b4ded2dd3ce0383d511af2.png，则对称性就无能为力了．

2．(2011·龙岩质检)已知函数f(x)＝sin5x＋1，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求的值，结果是(　　)

A.fdfdd2aaaa125d4b9b3386103d4c44a3.png＋cf2f35d54ae29874f3f2252ef142701d.png B．π

C．1 D．0

[答案]　B

[解析]　

3．(2010·广东佛山顺德区质检)对任意非零实数a、b，若a⊗b的运算原理如图所示，则1553867a52c684e18d473467563ea33b.png⊗b8070930f969a8b904cae7e8ac17cc9c.pngsinxdx＝________.

[答案]　193acac34cd52a51c1973c3ce22b6172.png

[解析]　∵b8070930f969a8b904cae7e8ac17cc9c.pngsinxdx＝－cosx|7e8cf3813a78c080c34d52c8c3580347.png＝2>1553867a52c684e18d473467563ea33b.png，

∴1553867a52c684e18d473467563ea33b.png⊗b8070930f969a8b904cae7e8ac17cc9c.pngsinxdx＝1553867a52c684e18d473467563ea33b.png⊗2＝4bf71bc0979b92a0634629042713806a.png＝193acac34cd52a51c1973c3ce22b6172.png.

2013年高考数学总复习 3-4 定积分与微积分基本定理（理）但因为测试 新人教B版