第三节　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

2019考纲考题考情

1．简单的逻辑联结词

(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词。

(2)命题p∧q、p∨q、綈p的真假判定

2.量词及含有一个量词的命题的否定

(1)全称量词和存在量词

①全称量词有：所有的，任意一个，任给一个，用符号“∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“∃”表示。

②含有全称量词的命题，叫做全称命题。“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为：∀x∈M，p(x)。

③含有存在量词的命题，叫做特称命题。“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)。

(2)含有一个量词的命题的否定

1．用“并集”的概念来理解“或”，用“交集”的概念来理解“且”，用“补集”的概念来理解“非”。

2．记忆口诀：(1)“p或q”，有真则真；(2)“p且q”，有假则假；(3)“非p”，真假相反。

3．命题p∧q的否定是(綈p)∨(綈q)；命题p∨q的否定是(綈p)∧(綈q)。

一、走进教材

1．(选修2－1P27A组T3改编)命题“∀x∈R，x2＋x≥0”的否定是(　　)

A．∃x0∈R，x＋x0≤0 B．∃x0∈R，x＋x0<0

C．∀x∈R，x2＋x≤0 D．∀x∈R，x2＋x<0

解析　由全称命题的否定是特称命题知命题B正确。故选B。

答案　B

2．(选修2－1P18A组T1(3)改编)已知命题p：2是偶数，命题q：2是质数，则命题綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命题的个数是(　　)

A．1　　　　B．2 C．3　　　　D．4

解析　p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题。故选B。

答案　B

二、走近高考

3．(2017·山东高考)已知命题p：∀x>0，ln(x＋1)>0；命题q：若a>b，则a2>b2。下列命题为真命题的是(　　)

A．p∧q B．p∧(綈q)

C．(綈p)∧q D．(綈p)∧(綈q)

解析　因为x>0，所以x＋1>1，ln(x＋1)>0，所以对于∀x>0，ln(x＋1)>0，故p为真命题。由1>－2,12<(－2)2可知q是假命题，所以綈q为真命题。根据复合命题真值表可知p∧(綈q)为真命题。故选B。

答案　B

4．(2016·浙江高考)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是(　　)

A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n<x2

B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n<x2

C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n<x2

D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n<x2

解析　由全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题得，命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是“∃x∈R，∀n∈N*，使得n<x2”。故选D。

答案　D

三、走出误区

微提醒：①命题涉及的知识载体出错；②复合命题的否定中出现逻辑错误；③参数的讨论出错。

5．下列命题中的假命题是(　　)

A．∃x0∈R，lgx0＝1 B．∃x0∈R，sinx0＝0

C．∀x∈R，x3>0 D．∀x∈R,2x>0

解析　当x＝10时，lg10＝1，则A为真命题；当x＝0时，sin0＝0，则B为真命题；当x≤0时，x3≤0，则C为假命题；由指数函数的性质知，∀x∈R,2x>0，则D为真命题。故选C。

答案　C

6．已知命题p，q，“綈p为真”是“p∧q为假”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析　由綈p为真知，p为假，可得p∧q为假；反之，若p∧q为假，则可能是p真q假，从而綈p为假，故“綈p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件。故选A。

答案　A

7．已知命题p：∀x∈R，x2－a≥0；命题q：∃x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0。若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围为________。

解析　由已知条件可知p和q均为真命题，由命题p为真得a≤0，由命题q为真得Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≤－2或a≥1，所以a≤－2。

答案　(－∞，－2]

考点一 简单的逻辑联结词微点小专题

方向1：真假判断

【例1】　(2019·安徽省示范高中模拟)已知下列两个命题：

p1：存在正数a，使函数y＝2x＋a·2－x在R上为偶函数；

p2：函数y＝sinx＋cosx＋无零点。

则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(綈p1)∨p2，q4：p1∧(綈p2)中，真命题是(　　)

A．q1，q4　　B．q2，q3 C．q1，q3　　D．q2，q4

解析　当a＝1时，y＝2x＋a·2－x在R上是偶函数，所以p1为真命题。当x＝时，函数y＝sinx＋cosx＋＝0，所以命题p2是假命题。所以p1∨p2，p1∧(綈p2)是真命题。故选A。

答案　A

“p∨q”“p∧q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤

1．确定命题的构成形式。

2．判断其中命题p、q的真假。

3．确定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命题的真假。

方向2：求参数的取值范围

【例2】　已知p：∃x∈R，mx2＋1≤0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是(　　)

A．[2，＋∞) 　　 B．(－∞，－2]

C．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D．[－2,2]

解析　依题意知p，q均为假命题，当p是假命题时，mx2＋1>0恒成立，则有m≥0；当q是真命题时，则有Δ＝m2－4<0，－2<m<2。因此由p，q均为假命题得即m≥2。故选A。

答案　A

【互动探究】　(1)本例条件不变，若p∧q为真，则实数m的取值范围是________。

(2)本例条件不变，若p∧q为假，p∨q为真，则实数m的取值范围是________。

解析　(1)依题意，当p是真命题时，有m<0；当q是真命题时，有－2<m<2，由可得－2<m<0。

(2)若p∧q为假，p∨q为真，则p、q一真一假。当p真q假时所以m≤－2；当p假q真时所以0≤m<2。所以m的取值范围是(－∞，－2]∪[0,2)。

答案　(1)(－2,0)　(2)(－∞，－2]∪[0,2)

根据命题真假求参数的步骤

1．先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)。

2．然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围。

3．最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围。

【题点对应练】　

1．(方向1)已知命题p：对任意的x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是(　　)

A．p∧q B．(綈p)∧(綈q)

C．(綈p)∧q D．p∧(綈q)

解析　由指数函数的性质知命题p为真命题。易知“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，所以命题q是假命题。由复合命题真值表可知p∧(綈q)是真命题。故选D。

答案　D

2．(方向2)已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数。若p或q是真命题，p且q是假命题，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－12，－4]∪[4，＋∞) B．[－12，－4]∪[4，＋∞)

C．(－∞，－12)∪(－4,4) D．[－12，＋∞)

解析　命题p等价于Δ＝a2－16≥0，即a≤－4或a≥4；命题q等价于－≤3，即a≥－12。由p或q是真命题，p且q是假命题知，命题p和q一真一假。若p真q假，则a<－12；若p假q真，则－4<a<4。故a的取值范围是(－∞，－12)∪(－4,4)。故选C。

答案　C

考点二 全称量词与存在量词微点小专题

方向1：含有一个量词的命题的否定

【例3】　(1)命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是(　　)

A．∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)>n

B．∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)>n

C．∃n0∈N*，f(n0)∉N*且f(n0)>n0

D．∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)>n0

(2)已知命题p：∃x0>1，x－1>0，那么綈p是(　　)

A．∀x>1，x2－1>0 B．∀x>1，x2－1≤0

C．∃x0>1，x－1≤0 D．∃x0≤1，x－1≤0

解析　(1)全称命题的否定为特称命题，所以命题的否定是：∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)>n0。故选D。

(2)特称命题的否定为全称命题，所以綈p：∀x>1，x2－1≤0。故选B。

答案　(1)D　(2)B

全称命题与特称命题的否定

1．改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写。

2．否定结论：对原命题的结论进行否定。

方向2：求参数的取值范围

【例4】　(1)已知函数f(x)＝x2－2x＋3，g(x)＝log2x＋m，对任意的x1，x2∈[1,4]有f(x1)>g(x2)恒成立，则实数m的取值范围是________。

(2)已知函数f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝x－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________。

解析　(1)f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，当x∈[1,4]时，f(x)min＝f(1)＝2，g(x)max＝g(4)＝2＋m，则f(x)min>g(x)max，即2>2＋m，解得m<0，故实数m的取值范围是(－∞，0)。

(2)当x∈[0,3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1,2]时，g(x)min＝g(2)＝－m，由f(x)min≥g(x)min，得0≥－m，所以m≥。

答案　(1)(－∞，0)　(2)

全称命题可转化为恒成立问题，特称命题可转化为存在性问题，含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的最值解决。

【题点对应练】　

1．(方向1)命题p：“∀x∈N*， x≤”的否定为(　　)

A．∀x∈N*， x> B．∀x∉N*， x>

C．∃x∉N*， x> D．∃x∈N*， x>

解析　命题p的否定是把“∀”改成“∃”，再把“x≤”改为“x>”。故选D。

答案　D

2．(方向1)命题“∃x0∈R,1<f(x0)≤2”的否定是________。

答案　∀x∈R，f(x)≤1或f(x)>2

3．(方向2)已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若∀x1∈，∃x2∈[2,3]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是________。

解析　由题意知f(x)min≥g(x)min(x∈[2,3])，因为f(x)在上为减函数，g(x)在 [2,3]上为增函数，所以f(x)min＝f(1)＝5，g(x)min＝g(2)＝4＋a，所以5≥4＋a，即a≤1。

答案　

1．(配合例1使用)已知函数f(x)＝给出下列两个命题：命题p：∃m∈(－∞，0)，方程f(x)＝0有解；命题q：若m＝，则f(f(－1))＝0，那么，下列命题为真命题的是(　　)

A．p∧q B．(綈p)∧q

C．p∧(綈q) D．(綈p)∧(綈q)

解析　因为3x>0，当m<0时，m－x2<0，所以命题p为假命题；当m＝时，因为f(－1)＝3－1＝，所以f(f(－1))＝f＝－2＝0，所以命题q为真命题，逐项检验可知，只有(綈p)∧q为真命题。故选B。

答案　B

2．(配合例2使用)已知命题p：∃x0∈R，(m＋1)(x＋1)≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立。若p∧q为假命题，则实数m的取值范围为________。

解析　由命题p：∃x0∈R，(m＋1)(x＋1)≤0可得m≤－1；由命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，即Δ＝m2－4<0，可得－2<m<2。因为p∧q为假命题，所以m≤－2或m>－1。

答案　(－∞，－2]∪(－1，＋∞)

3．(配合例3使用)已知命题p：“∃x0∈R，ex0－x0－1≤0”，则綈p为(　　)

A．∃x0∈R，e x0－x0－1≥0

B．∃x0∈R，e x0－x0－1>0

C．∀x∈R，ex－x－1>0

D．∀x∈R，ex－x－1≥0

解析　根据全称命题与特称命题的否定关系，可得綈p为“∀x∈R，ex－x－1>0”。故选C。

答案　C

4．(配合例4使用)已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若∀x1∈，∃x2∈[2,3]，使得f(x1)≤g(x2)，则实数a的取值范围是________。

解析　依题意知f(x)max≤g(x)max。因为f(x)＝x＋在上是减函数，所以f(x)max＝f＝。又g(x)＝2x＋a在[2,3]上是增函数，所以g(x)max＝8＋a，因此≤8＋a，则a≥。

答案　

生活中的逻辑

正确地使用逻辑用语是现代社会公民应具备的基本素质，无论是进行思考、交流，还是从事各项工作，都需要正确地运用逻辑用语在表述和论证中表达自己的思维。有趣的是，日常生活中的一句话或是一件事，常蕴含着逻辑学的知识。

【案例1】　“便宜无好货，好货不便宜”是我们所熟知的一句谚语，在期待购得价廉物美的商品的同时，我们常常用这句话来提醒自己保持足够的警惕，不要轻易上某些不良商家的当。我们还可以运用逻辑学知识分析这句谚语里蕴含的逻辑关系。

记p表示“便宜”，q表示“不是好货”，那么按“便宜无好货”的说法，p⇒q，即“便宜”(p)是“不是好货”(q)的充分条件；其逆否命题为“綈q⇒綈p”，即綈q(“好货”)是綈p(“不便宜”)的充分条件，即“好货不便宜”。由此可以看出，“便宜无好货”与“好货不便宜”是一对互为逆否关系的命题。非常有趣的是，上海市高考试题曾对此作过考查：

钱大姐常说“便宜无好货”，这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的(　　)

A．充分条件 B．必要条件

C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件

正确选项已显然。

生活中，我们还常用“水滴石穿”、“有志者，事竟成”、“坚持就是胜利”等熟语来勉励自己和他人保持信心、坚持不懈地努力。在这些熟语里，“水滴”是“石穿”的充分条件，“有志”是“事成”的充分条件，“坚持”是“胜利”的充分条件。这正是我们努力的信心之源，激励着我们直面一切困难与挑战，不断取得进步。

【案例2】　1873年，马克·吐温与另一位作家合写的长篇小说《镀金时代》，小说揭露了美国西部投机家、东部企业家和政府官员三位一体掠夺国家和人民财富的丑恶黑幕。在一次酒会上，一名记者追问马克·吐温对当前美国政府官员的看法，马克·吐温一气之下脱口而出：“美国国会有些议员是狗娘养的。”马克·吐温的话很快公诸报端，议员们知道后大为愤怒，纷纷向马克·吐温兴师问罪，要求公开道歉并予以澄清，否则将诉诸法律。迫于无奈，马克·吐温只好在报纸上发表了一份公开更正声明：

“日前鄙人在酒席上发言，说有些美国国会议员是狗娘养的，事后本人思虑再三，觉得此言是不妥的，而且不符合事实，故特登报声明，我郑重声明，我收回我以前说的话，并更正如下：美国国会中的有些议员不是狗娘养的。”

马克·吐温的声明十分精彩，从表面上看似乎对原话作了完全否定的更正，而这其实是新瓶装旧酒，换汤不换药，丝毫没有改变原话的本来意思，反而再一次猛烈抨击了无耻的政府官员，从逻辑上来看，马克·吐温在酒会上所说的“美国国会有些议员是狗娘养的”是一个特称命题，其结构为“有些r是s”；后来声明所说的“美国国会中的有些议员不是狗娘养的”也是一个特称命题，其结构为“有些r是綈s”。显然，两者并非命题与其否定之间的关系。我们知道，特称命题“有些r是s”的否定形式是“所有r都是綈s”，所以，倘若马克·吐温真心道歉并收回以前所说的话，其更正声明应该表述为“所有美国国会议员都不是狗娘养的”。不过，这话怎么听着也让人心里不舒服。

数学是一门逻辑性非常强的学科，生活中的交流同样需要讲究逻辑。通过学习和使用常用逻辑用语，我们可以体会逻辑用语在表述和论证中的作用，从而在实际生活中逐步形成自觉利用逻辑知识对一些命题之间的逻辑关系进行分析和推理的意识，能对一些逻辑推理中的错误进行甄别和纠正，使我们对问题的表述更严密、贴切，增强我们学习数学、运用数学的信心和能力。

2020版赢在微点数学理科一轮复习（人教版）第一章 集合与常用逻辑用语(2)