六边形

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六边形是多边形的一种，指所有有六条边和六只角的多边形。

正六边形可以单单用圆规直尺来绘画。因为当正六边形内接于圆时，圆的半径刚好等于正六边形的边长，正六边形最长的对角线就等于圆的直径。中国古代对圆周和直径的关系有“周三径一”之说，可以视为采用正六边形为圆的近似图形求得的结果。

正六边形的内角和是720°，每只内角120°。

正六边形是其中一种能够密铺平面的正多边形，其余两种为等边三角形和正方形。

大卫星是正六边形的对角线相交得出的形状。

正六边形尺规作图

1. 画一条水平线，通过此线上的任意点做一个圆。

2. 以该圆与线的焦点为圆心，分别画出与该圆半径相同的圆，与该圆交于4点。

3. 依顺序联结这4个点和该圆与水平线的焦点即成正六边形。

正六边形面积

因为正六边形由六个等边三角形组成，所以：

正六边形的面积=三角形面积×6=

这些等边三角形的高是正六边形内接圆的半径，即。

性质

　　各内角相等，6边相等。

　　有外角和等于360度这是固定的，推出一个内角为180-(360/6)=120度,所以一个内角为120度,

　　因为是正六边形，正六边形就可以分成过中心6个全等的正三角形，作正三角形的高，利用勾股定理可求高为√3/2×a，每个三角形的面积都是√3/4×a²，所以正六边形的面积为√3/4×a²×6=3√3/2×a²　S正六边形=(3√3/2)a².

　　(a为边长）

正六边形尺规作图

　　方法一（更简单）：

　　以任意长画一条线段AB。以A为圆心，AB为半径，作圆A。以B为圆心，AB为半径，作圆B与圆A交于点C。连接AC，BC。三角形ABC为等边三角形。在AB上取三等分点M。在AC和BC上分别取点N，O，使CN=AM=OB。作MX平行于BC，交AC于点X。作NY平行于BA，交BC于点Y。作OZ平行于AC，交AB于点Z。

　　则NYOZMX为正六边形。

　　方法二：

　　画一个圆，做其一条直径。以直径的两个端点为圆心，以已做圆的半径为半径分别画圆，做出4个交点，依顺序联结这4个点和直径的两个端点就可以。　正6边形中间一点0，过0做正6边形任意

一条边的垂线，然后用这条边的长乘以垂线的长，得出数字来把数字除以2，再乘以6。

面积公式: 设边长为a,就有面积公式为S=(3根号3/2)a^2

正n边形面积公式

S=C*r/2

C--周长

r--半径六、几何作图

1、正六边形的画法

绘制正六边形，一般利用正六边形的边长外接圆半径的原理，绘制步骤如图1-14所示。

                               图1-14 正六边形画法

2、正五边形的画法

1．已知正五边形的边长AB，绘制正五边形的方法如图1-15所示。

(1)分别以A、B为圆心，AB为半径画弧，与AB的中垂线交于K；

(2)在中垂线上自K向上取CK＝2AB/3，得到C点；

(3)以C点为圆心，AB为半径画圆弧与前面所画两段圆弧相交于D、E点，即可得到正五边形的五个顶点。

                          图1-15 已知边长画正五边形

2．已知外接圆直径，绘制正五边形的方法。

(1)取半径的中点K；

(2)以K点为圆心，KA为半径画圆弧得到C点；

(3)AC即为正五边形边长，等分圆周得到五个顶点。

3、斜度与锥度

1．斜度

    斜度是指一直线或平面对另一直线或平面的倾斜程度。工程上用直角三角形对边与邻边的比值来表示，并固定把比例前项化为1而写成1 : n的形式，如图1-17(a)所示。若已知直线段AC的斜度为1 : 5，其作图方法如图1-16所示。

图1-16斜度的画法

2．锥度

锥度是指圆锥的底圆直径D与高度H之比，通常，锥度也要写成1 : n的形式。锥度的作图方法如图1-17所示。

图1-17 锥度的画法

4、圆弧连接

    圆弧与圆弧的光滑连接，关键在于正确找出连接圆弧的圆心以及切点的位置。由初等几何知识可知：当两圆弧以内切方式相连接时，连接弧的圆心要用R－R0来确定；当两圆弧以外切方式相连接时，连接弧的圆心要用R＋R0来确定。用仪器绘图时，各种圆弧连接的画法如图1-18所示。这些作图方法在计算机绘图中实现起来既准确又快捷，充分体现了计算机高速和精确的特点。

(a)用圆弧连接两已知直线 (b) 用圆弧连接直线和圆弧

(c)与两圆弧外切的画法 (d)与两圆弧内切的画法

图1-18 圆弧连接

5、椭圆和渐开线的画法

1．椭圆的近似画法

常用的椭圆近似画法为四圆弧法，即用四段圆弧连接起来的图形近似代替椭圆。如果已知椭圆的长、短轴AB、CD，则其近似画法的步骤如下：

(1)连AC，以O为圆心，OA为半径画弧交CD延长线于E，再以C为圆心，CE为半径画弧交AC于F；

(2)作AF线段的中垂线分别交长、短轴于O1、O2，并作O1、O2的对称点O3、O4，即求出四段圆弧的圆心，如图1-19所示。

2．渐开线的近似画法

直线在圆周上作无滑动的滚动，该直线上一点的轨迹即为此圆（称作基圆）的渐开线。齿轮的齿廓曲线大都是渐开线，如图1-20所示。

其作图步骤如下：

(1)画基圆并将其圆周n等分(图1-21中，n=12)；

(2)将基圆周的展开长度πD也分成相同等分；

(3)过基圆上各等分点按同一方向作基圆的切线；

(4)依次在各切线上量取1/nπD、2/nπD…、πD，得到基圆的渐开线。

                               图1-19 椭圆的近似画法

图1-20 圆的渐开线

六边形

∙

各内角相等,6边相等, 有外角和等于360度这是固定的,推出 一个内角为180-(360/6)=120度,所以一个内角为120度。

1 基本概念

2 基本概况

3 分类

4 定理

六边形 - 基本概念

由六条边组成的图形，这就是六边形。由在同一平面且不在同一直线上的三条或三条以上的线段首尾顺次连结且不相交所组成的封闭图形叫做多边形（简述：由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形）,在不同平面上的多条线段首尾顺次连结且不相交所组成的图形也被称为多边形,是广义的多边形。[1] 

六边形 - 基本概况

组成多边形的线段至少有3条，三角形是最简单的多边形。组成多边形的每一条线段叫做多边形的边;相邻的两条线段的公共端点叫做多边形的顶点；多边形相邻两边所成的角叫做多边形的内角；连接多边形的两个不相邻顶点的线段叫做多边形的对角线。 

六边形 - 分类

 多边形还可以分为正多边形和非正多边形。正多边形各边相等且各内角相等。 　　多边形也可以分为凸多边形及凹多边形，凸多边形又可称为平面多边形，凹多边形又称空间多边形 。（此定理只适用于凸多边形，即平面多边形，空间多边性不适用）广义的多边形也包括五角星等图形。 

六边形 - 定理

n边形的内角和等于180°（n-2）。可逆用：n边形的边等于（内角和÷180°+2）  多边形 ，过n边形一个顶点有n-3条对角线 • n边形共有n×(n-3)÷２个对角线 。n边形过一个顶点引出所有对角线后，把多边形分成n-2个三角形 。推论：1.任意凸形多边形的外角和等于360°。 2.多边形对角线的计算公式：n边形的对角线条数等于1/2·n（n-3） 。3.各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。[2]

首先画一个圆，然后以圆上任一点A为圆心、以圆的半径为半径画弧交圆于B；

再以B为圆心，以圆的半径为半径画弧，交圆于C；

再以C为圆心，以圆的半径为半径画弧，交圆于D；

再以D为圆心，以圆的半径为半径画弧，交圆于E；

再以E为圆心，以圆的半径为半径画弧，交圆于F。

A、B、C、D、E、F六个点，就是圆的六等分点。顺次连接A、B、C、D、E、F六个点，就得到正六边形ABCDEF了。

草图画法
生产实际中，经常要在不使用仪器的时候绘制零件的一些结构或整个零件，这种通过目测零件的形状和大小，直接徒手绘制的图样就叫做零件草图。草图被广泛应用于创意构思、设计交流、零件测绘。所以说草图也是工程技术人员必须具备的一项技能。徒手绘制的轴测图就是轴测草图。
注意：草图不是潦潦草草的图，仍然是符合国家标准的图，只不过是没有使用仪器绘制的图罢了。

1．徒手绘图的基本技法
要绘制好草图，必须掌握好直线、圆、椭圆的画法、线段的等分、常见角度的画法、正多边形的画法等。

（1） 直线的画法

直线的绘制要点为：标记好起始点和终止点，铅笔放在起始点，眼睛看着终止点，眼睛的余光看着铅笔，用较快的速度绘出直线，切不要一小段一小段地画。一般水平线从左向右绘，铅垂线从上向下绘，向右斜的线从左下向右上绘，向左斜的线从左上向右下绘。如图2－47（a）所示。

（a）　　　　　　（b）　　　　　　　　　（c）　　　　　 （d）

图2－47 徒手绘制直线和圆的方法

（2） 圆的画法
圆的绘制要点为：先将两条中心线画好，并在中心线上按半径标记好四个点，接着先画左半（或右半或上半），再画右半（或左半或下半），如图2－47（c）所示。画大圆时，可在45°方向上再画两条中心线也做好标记，如图2－47（b）所示。画小圆时也可先过标记点画一个正方形，再顺势画圆，如图2－47（d）所示。注意，画图时不必死钉住所做的标记点，而应顺势而为。

（3） 线段的等分
线段的常见等分数有2、3、4、5、8。
ⅰ、八等分线段
先定等分点4，接着是等分点2、6，再就是等分点1、3、5、7。如图2－48（a）所示。
ⅱ、五等分线段
先定等分点2，接着是等分点1、3、4。如图2－48（b）所示。

  （a）　　　　　　 （b）
　　　　　　　　　　图2－48 线段的5等分、8等分

（4） 常见角度30°、45°、60°的画法
角度的大小，可借助于直角三角形来近似得到，如图2－49（a）（b）所示；或者借助于半圆来近似得到，如图2－49（c）所示。

（a）　　　　　　　　 （b）　　　　　　　　　 （c）

　　　　　　　图2－49　常见角度30°,45°,60°的画法

（5） 椭圆的画法
画椭圆时，先在中心线上按长短轴标记好四个点，作四边形，并顺势画四段椭圆弧，如图2－50（a）（b）所示。画较大的椭圆时，按菱形法画好菱形，并加取四个点，如图2－50（c）（d）所示。

（a）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （b）

（c）

（d）
图2－50 椭圆的画法

（6）正多边形的画法
ⅰ、正三角形画法
如图2－51所示，上部为视图中的画法，下部为正轴测图中的画法。

先画一条水平的直线段，在其中点上画铅垂的直线段，在水平（在此为正三角形底的方向）的直线段的半段上五等分，如图2－51（a）所示；在铅垂的直线段的一端上取相同的三等分，如图2－51（b）所示；并将水平线向上平移至三等分段点，如图2－51（c）所示；在水平线的下方再截取两个平移的距离，如图2－51（d）所示；至此，正三角形可确定，如图2－51（e）所示。

（a）　　　　　（b）　　　　　 （c） 　　　　　（d） 　　　　　（e）

图2－51 正三角形的画法

ⅱ、正六边形画法
如图2－52所示，上部为视图中的画法，下部为正轴测图中的画法。
先画一条水平的中心线，在其中点上画铅垂的中心线，在水平的中心线的半段上六等分，在铅垂的中心线的半段上五等分，如图2－52（a）（a1）所示；过水平中心线上的第三等分点画铅垂线，过铅垂中心线上的第五等分点画水平线，如图2－52（b）（b1）所示；接着利用对称性再画其它线，如图2－52（c）（c1）、（d）（d1）、（e）（e1）所示；至此，正六边形可确定，如图2－52（f）（f1）、（g）（g1）所示。

（a）　　　　　　 （b） 　　　　　　（c） 　　　　　　　（d）

(e) 　　　　　　　　(f)　　　　　　　　　(g)

多边形的边数 3 4 5 6 7 … n

分成的三角形个数 1 2 3 4 5 6 n-2 …

多边形的内角和 180° 360 °540 720 900 (n-2)×180 …

发现: 多边形每增加一条边,则它的内角和的度数增加180

五边形

正五边形，是正多边形的一种，有五条边，且所有边长均相等，每个内角均为108度。

　　将正五边形的对角线连起来，可以造成一个五角星。组成的图形里可以找到一些和黄金分割（φ = (1+√5)/2）有关的长度。

面积

　　边长为a的正五边形，其面积就是

面积公式

构造一个正五边形

　　约前300年，欧几里得在他的《几何原本》中描述了一个用直尺和圆规做出正五边形的过程。

正五边形的构造过程

　　1.画一条水平线，通过此线上的任意点做一个圆。

　　2.将圆规的一腿放在圆与直线的其一交点上，通过上述圆的圆心画半圆，并与之交两点。连接这两点做垂直线，与先前的水平线相交与(a)点.

　　3.张开圆规，以水平线与第一个圆的两个交点为圆心以相同半径在水平线上下第一个圆外分别做两个交点，这样可以得到一条通过第一个圆圆心的正交线，与第一个圆相交的位于水平线上方的点称之为(b).这是正五边形的第一个角。

　　4.将圆规的一脚放在(a)点上，(a)(b)间距为半径做另一个圆，交水平线于点(c)。

　　5.将圆规的一脚放在(b)点上，(b)(c)间距为半径做圆，交第一个圆于两点，这是正五边形的第二、三两点。

　　6.将圆规的一脚分别放在二、三两点上，同样是(b)(c)间距为半径交第一个圆于另外两点，这两点就是正五边形的最后两点。

　　7.连接相邻两点就构成了正五边形。

　　8.如果不是连接相邻两点（即对角线连接），就会得到一个五角星，在它的中间构成一个小的正五边形。或者延长每一边，得到一个大的正五角星。

六边形