《博弈论》习题参考答案（第2次作业）

一、选择题

1.B 2.C 3.A 4.A 5.B 6.ABCD

7.C 8.B 9.C

二、判断正误并说明理由

1.F 上策均衡是比纳什均衡更严格的均衡概论

2.T 上策均衡是比纳什均衡更严格的均衡概论

3.T 博弈类型按局中人数多少分为单人博弈、双人博弈和多人博弈

4.F 博弈双方偏好存在差异的条件下，一个博弈模型中可能存在2个纳什均衡，如性别战

5.T 零和博弈指参与博弈各方在严格竞争下，一方收益等于另一方损失，博弈各方收益与损失之和恒为零，所以双方不存在合作可能性

6.T 上策均衡是通过严格下策消去法（重复剔除下策）所得到的占优策略，只能有一个纳什均衡

7.F 纳什均衡是上策的集合，指在给定的别人策略情况下，博弈方总是选择利益相对较大的策略，并不保证结果是最好的。

8.F 局中人总是以自己的利益最大化选择自己的策略，并不以对方收益的变化为目标

9.T 纳什均衡是上策的集合，指在给定的别人策略情况下，没有人会改变自己的策略而减低自己的收益

10.F 局中人总是以自己的利益最大化选择自己的策略，并不以对方收益的变化为目标

11.F 局中人总是以自己的利益最大化选择自己的策略，并不以对方收益的变化为目标

12.T 虽然斯塔格伯格模型各方利润总和小于古诺模型，但是领导者的利润比古诺模型时高

三、计算与分析题

1、 （1）画出A、B两企业的损益矩阵。

（2）求纯策略纳什均衡。

（做广告，做广告）

2、画出两企业的损益矩阵求纳什均衡。

（1）画出A、B两企业的损益矩阵

（2）求纳什均衡。

两个：（原价，原价），（涨价，涨价）

3、假定某博弈的报酬矩阵如下：

(1)如果（上，左）是上策均衡，那么，a>?, b>?, g?

答：a>e, b>d, f>h, g

(2)如果（上，左）是纳什均衡，上述哪几个不等式必须满足？

答：a>e, b>d

4、答：（1）将这一市场用囚徒困境的博弈加以表示。

（2）解释为什么均衡结果可能是两家公司都选择竞争性策略。

答：若新华选择“竞争”，则北方也会选择“竞争”（60000>0）；若新华选择“合作”，北方仍会选择“竞争”（900000>500000）。

若北方选择“竞争”，新华也将选择“竞争”（60000>0）；若北方选择“合作”，新华仍会选择“竞争”（900000>0）。

由于“竞争”为双方的占优策略，故均衡结果为两家公司都选择竞争性策略。

5、博弈的收益矩阵如下表：

（1）如果（上，左）是占优策略均衡，则a、b、c、d、e、f、g、h之间必然满足哪些关系？

答：从占优策略均衡的定义出发：

对甲而言，策略“上”（a,c）优于策略“下”（e,g）；

对乙而言，策略“左” （b,f）优于策略“右”(d,h)。

所以结论是：a>e, b>d, f>h, c>g

（2）如果（上，左）是纳什均衡，则（1）中的关系式哪些必须满足？

答：纳什均衡只需满足：a>e, b>d,

（3）如果（上，左）是上策均衡，那么它是否必定是纳什均衡？为什么？

答：占优策略均衡一定是纳什均衡，因为占优策略均衡的条件包含了纳什均衡的条件。

（4）在什么情况下，纯策略纳什均衡不存在？

答：当对每一方来说，任意一种策略组合都不满足纳什均衡时，纯战略纳什均衡就不存在。

7、求纳什均衡。

纳什均衡为：大猪“按”，小猪“等”，即（按，等）

6、

（1）有哪些结果是纳什均衡？

答：（低价，低价），（高价，高价）

（2）两厂商合作的结果是什么？

答：（高价，高价）

8、用反应函数法结合划线法，求出下列博弈的所有纯策略纳什均衡。

参与人1的反应函数：

R1(2)=B,若2选择甲

=B,若2选择乙

=A,若2选择丙

=C或D,若2选择丁

参与人2的反应函数：

R2(1)=丙,若2选择A

=甲,若2选择B

=丙,若2选择C

=丙,若2选择D

求共集，得纯策略纳什均衡为（B，甲）与（A，丙）

9、求出下面博弈的纳什均衡(含纯策略和混合策略)。

解：（1）纯策略Nash均衡：由划线法可知，该矩阵博弈没有纯策略Nash均衡。

（2）混合策略Nash均衡

设甲选择“U”的概率为P1，则选择“D”的概率为1-P1

乙选择“L”的概率为P2，则选择“R”的概率为1-P2

对甲而言，最佳策略是按一定的概率选“U”和“D”，使乙选择“L”和“R”的期望值相等

即 P1*0+(1-P1)*6= P1*8+(1-P1)*5

解得 P1=1/9

即（1/9,8/9）按1/9概率选“U”、8/9概率选“D”为甲的混合策略Nash均衡

对乙而言，最佳策略是按一定的概率选“L”和“R”，使乙选择“U”和“D”的期望值相等

即 P2*5+(1-P2)*0= P2*2+(1-P2)*4

解得 P2=4/7

即（4/7,3/7）按4/7概率选“L”、3/7概率选“R”为乙的混合策略Nash均衡

10、根据两人博弈的损益矩阵回答问题：

(1) 写出两人各自的全部策略。

答：全部策略：（上，左），（上，右），（下，左），（下，右）

(2) 找出该博弈的全部纯策略纳什均衡。

答：由划线法可知，该矩阵博弈全部纯策略Nash均衡为

（上，左）和（下，右）两个

(3) 求出该博弈的混合策略纳什均衡。

解：设甲选择“上”的概率为P1，则选择“下”的概率为1-P1

乙选择“左”的概率为P2，则选择“右”的概率为1-P2

对甲而言，最佳策略是按一定的概率选“上”和“下”，使乙选择“左”和“右”的期望值相等

即 P1*3+(1-P1)*0= P1*0+(1-P1)*2

解得 P1=2/5

即（2/5,3/5）按2/5概率选“上”、3/5概率选“下”为甲的混合策略Nash均衡

对乙而言，最佳策略是按一定的概率选“左”和“右”，使乙选择“上”和“下”的期望值相等

即 P2*2+(1-P2)*0= P2*0+(1-P2)*4

解得 P2=2/3

即（2/3,1/3）按2/3概率选“左”、1/3概率选“右”为乙的混合策略Nash均衡

11、某寡头垄断市场上有两个厂商，总成本均为自身产量的20倍， 市场需求函

数为Q=200-P。

求：（1）若两个厂商同时决定产量，产量分别是多少？

（2）若两个厂商达成协议垄断市场，共同安排产量，则各自的利润情况如何？

（3）用该案例解释囚徒困境。

答：（1）由已知条件 Q=200-P，P=200-Q

TC1=20q1，TC2=20q2 q1+q2=Q

可得1,2厂商的利润函数分别为：

K1=Pq1-TC1=(200-(q1+q2))q1-20q1=180q1-q12-q1q2

K2=Pq2-TC2=(200-(q1+q2))q2-20q2=180q2-q22-q1q2

令dK/dq1=0 得厂商1的反应函数为180-2Q1-Q2=0，

令dK/dq2=0 得厂商2的反应函数为180-Q1-2Q2=0，

联解可得q1=q2=60

K1=K2=3600

(2) 由已知条件 Q=200-P，P=200-Q

TC=TC1+TC2=20q1+20q2 =20Q

可得1,2厂商的总利润函数为：

K=PQ-TC=(200-Q)Q-20Q=180Q-Q2

令dK/dQ=0 得 Q=90,q1=q2=45

K=PQ-TC=(200-Q)Q-20Q=180Q-Q2=8100

K1=K2=4050

(3) 将q1=45,q2=60 和q1=60,q2=45分别代入1,2厂商的利润函数

可得1,2厂商的利润为：

K1（q1=45,q2=60）=Pq1-TC1=(200-(q1+q2))q1-20q1=180q1-q12-q1q2=3375

K1（q1=60,q2=45）=Pq1-TC1=(200-(q1+q2))q1-20q1=180q1-q12-q1q2=4500

K2 (q1=45,q2=60)=Pq2-TC2=(200-(q1+q2))q2-20q2=180q2-q22-q1q2=4500

K1（q1=60,q2=45）=Pq1-TC1=(200-(q1+q2))q1-20q1=180q1-q12-q1q2=3375

根据划线法，可得厂商1.2的上策是（不合作，不合作）即（3600,3600）

双方利润均低于（合作，合作）（4050,4050）显然它属于“囚徒困境”

13、（市场威慑）考虑下面一个动态博弈：首先，在一个市场上潜在的进入者选择是否进入，然后市场上的已有企业（在位者）选择是否与新企业展开竞争。在位者可能有两种类型，温柔型（左图）和残酷型（右图），回答下面问题。　

.

左图：温柔型 右图：残酷型

（1）找出给定在位者的两种类型所分别对应的纳什均衡，以及子博弈精炼纳什均衡

（1）温柔型在位者的纳什均衡为 (进入, 默认)

残酷型在位者的纳什均衡为 (不进入, （进入，斗争）)

（2）已有企业为温柔型的概率至少多少时，新企业才愿意进入？

四、论述题

1、解释“囚犯困境”，并举商业案例说明。

（1）假设条件举例：两囚徒被指控是一宗罪案的同案犯。他们被分别关在不同的牢房无法互通信息。各囚徒都被要求坦白罪行。如果两囚徒都坦白，各将被判入狱5年；如果两人都不坦白，两囚徒可以期望被从轻发落入狱2年；如果一个囚徒坦白而另一个囚徒不坦白，坦白的这个囚徒就只需入狱1年，而不坦白的囚徒将被判入狱10年。

（2）囚徒困境的策略矩阵表。每个囚徒都有两种策略：坦白或不坦白。表中的数字分别代表囚徒甲和乙的得益。

（3）分析：通过划线法可知：在囚徒困境这个模型中，纳什均衡就是双方都“坦白”。给定甲坦白的情况下，乙的最优策略是坦白；给定乙坦白的情况下，甲的最优策略也是坦白。而且这里双方都坦白不仅是纳什均衡，而且是一个上策均衡，即不论对方如何选择，个人的最优选择是坦白。其结果是双方都坦白。

（4）商业案例：寡头垄断厂商经常发现它们自己处于一种囚徒的困境。当寡头厂商选择产量时，如果寡头厂商们联合起来形成卡特尔，选择垄断利润最大化产量，每个厂商都可以得到更多的利润。但卡特尔协定不是一个纳什均衡，因为给定双方遵守协议的情况下，每个厂商都想增加生产，结果是每个厂商都只得到纳什均衡产量的利润，它远小于卡特尔产量下的利润。

2、解释并讨论古诺的双寡头模型的纳什均衡。为什么其均衡是一种囚徒困境？

见上课笔记

或计算题第11题

3、用“小偷与守卫的博弈”说明“激励（监管）悖论”。

（1）假设条件举例：偷窃和防止偷窃是小偷和门卫之间进行博弈的一场游戏。门卫可以不睡觉，或者睡觉。小偷可以采取偷、不偷两种策略。如果小偷知道门卫睡觉，他的最佳选择就是偷；如果门卫不睡觉，他最好还是不偷。对于门卫，如果他知道小偷想偷，他的最佳选择是不睡觉，如果小偷采取不偷，自己最好去睡觉。

（2）小偷与门卫的支付矩阵表（假定小偷在门卫睡觉时一定偷成功，在门卫不睡觉时偷一定会被抓住）：

（3）分析：通过划线法可知：这个博弈是没有纳什均衡的。门卫不睡觉，小偷不偷，双方都没有收益也没有损失；门卫不睡觉，小偷偷，门卫因为是本职工作得不到奖励，小偷被判刑丧失效用2单位；门卫睡觉，小偷不偷，门卫睡觉的很愉快得到效用2单位，小偷没有收益也没有损失；门卫睡觉，小偷偷，门卫因失职被处分而丧失效用1单位，小偷偷窃成功获得效用1单位。

（4）“激励（监管）悖论”说明：现实中，我们看到，当门卫不睡觉时，偷窃分子便收敛一阵；严打的时期一过，偷窃分子又开始兴风作浪，在不能容忍小偷过分猖狂的时候，门卫不得不再次开始认真。即偷的小偷越多，那么不睡觉的门卫将会越多，偷的小偷越少，不睡觉的门卫将越少；反过来，不睡觉的门卫越多，偷的小偷就越少，不睡觉的门卫越少，偷的小偷就越多。如果偷窃集团倾巢出动，那么门卫的选择也是全部不睡觉，但门卫一旦全部不睡觉，小偷最好选择全部不偷，小偷一旦选择全部不偷，门卫最好全部选择睡觉。

（5）结论：加重对小偷的处罚在长期中并不能抑制偷窃（而只能使门卫偷懒）；加重处罚失职门卫恰恰是会降低偷窃发生的概率。这种门卫和小偷的博弈所揭示的，政策目标和政策结果之间的这种意外关系，常被称为“激励的悖论”。

爱情的美妙，就在于人的多情和心甘情愿，在甜蜜的热恋阶段，全身心的投入和付出都无怨无悔。

　　男人深情缱绻地对女人说：“我负责赚钱养家，你负责貌美如花。”那时那刻的话语，相信他是真心的，出自于肺腑之言。

　　随着感情在烟火生活中的磨砺，渐渐淡化或者冷却，他对她越来越没有之前的殷勤，越来越没有之前的心甘情愿。

　　工作的压力，生活的琐碎，让他感觉身边的女人为何不能自食其力，为何像寄生虫一般依附着他，让他感到压抑和逃避。

　　电视剧《我的前半生》里的罗子君就是最好的例子。

　　貌美如花的她，嫁给深爱她的陈俊生，听了他的情话“我负责赚钱养家，你负责貌美如花”之后，立刻辞掉工作，专心在家做一个少奶奶，养尊处优，每天把自己打扮的美美哒，只为了保持“貌美如花”给老公看。

　　最后的结局不想而知，她的老公出轨了，理由是他太累了，他每天累死累活地工作，回家却跟罗子君没有共同语言，心里的苦闷无处安放，只能找一个灵魂知己。

　　对于罗子君和陈俊生两个人的婚姻，不能说孰是孰非，最根本的症结在于这句情话“我负责赚钱养家，你负责貌美如花”.

　　两个人的婚姻在于共同成长，共同支持，而不是把自己的一生寄托在另一个人的身上。

　　不管是女人，还是男人，独立的人格和独立的经济是必须的，只有自己独立了，你才能获得别人的尊重和爱护。

　　好的婚姻，一定是三观相同，家境匹配的两个人在悠长的岁月里，一起经营，一起成长，相互陪伴，相互支持，才能携手走得更远，共度一生。

　　如果在婚姻里一方在进步，而另一方在退步，或者停滞不前，久而久之，两个人的三观就会产生不同，理念和思想就会渐行渐远，变成两条平行线，永远不能交集。

　　不要相信“我负责赚钱养家，你负责貌美如花”这样的情话。

　　随着岁月的磨砺，人心会随着时间和环境而改变。

博弈论习题参考答案()