高中数学《概率与统计》知识点总结

一、统计

1、抽样方法：

①简单随机抽样（总体个数较少）

②系统抽样（总体个数较多）

③分层抽样（总体中差异明显）

注意：在N个个体的总体中抽取出n个个体组成样本，每个个体被抽到的机会（概率）均为。

2、总体分布的估计：

⑴一表二图：

①频率分布表——数据详实

②频率分布直方图——分布直观

③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势

注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。

茎叶图：

①茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数、众位数等。

②个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同的数据重复写。

3、总体特征数的估计：

⑴平均数：；

取值为的频率分别为，则其平均数为；

注意：频率分布表计算平均数要取组中值。

方差与标准差：一组样本数据

方差：；

标准差：

注：方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。

平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的稳定水平。

⑶线性回归方程

①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系；

②制作散点图，判断线性相关关系

③线性回归方程：（最小二乘法）

注意：线性回归直线经过定点。

二、概率

1、随机事件及其概率：

⑴事件：试验的每一种可能的结果，用大写英文字母表示；

必然事件、不可能事件、随机事件的特点；

⑶随机事件A的概率：.

2、古典概型：

⑴基本事件：一次试验中可能出现的每一个基本结果；

古典概型的特点：

①所有的基本事件只有有限个；

②每个基本事件都是等可能发生。

⑶古典概型概率计算公式：一次试验的等可能基本事件共有n个，事件A包含了其中的m个基本事件，则事件A发生的概率.

3、几何概型：

⑴几何概型的特点：

①所有的基本事件是无限个；

②每个基本事件都是等可能发生。

几何概型概率计算公式：；

其中测度根据题目确定，一般为线段、角度、面积、体积等。

4、互斥事件：

⑴不可能同时发生的两个事件称为互斥事件；

⑵如果事件任意两个都是互斥事件，则称事件彼此互斥。

⑶如果事件A，B互斥，那么事件A+B发生的概率，等于事件A，B发生的概率的和，

即：

⑷如果事件彼此互斥，则有：

⑸对立事件：两个互斥事件中必有一个要发生，则称这两个事件为对立事件。

①事件的对立事件记作

②对立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是对立事件。

三、排列组合与二项式定理

1、基本计数原理

⑴ 分类加法计数原理：(分类相加)

做一件事情，完成它有类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法……在第类办法中有种不同的方法.那么完成这件事情共有种不同的方法.

⑵ 分步乘法计数原理：(分步相乘)

做一件事情，完成它需要个步骤，做第一个步骤有种不同的方法，做第二个步骤有种不同的方法……做第个步骤有种不同的方法.那么完成这件事情共有种不同的方法.

2、排列与组合

⑴排列定义：一般地，从个不同的元素中任取个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同的元素中任取个元素的一个排列.

⑵组合定义：一般地，从个不同的元素中任取个元素并成一组，叫做从个不同的元素中任取个元素的一个组合.

⑶排列数：从个不同的元素中任取个元素的所有排列的个数，叫做从个不同的元素中任取个元素的排列数，记作.

⑷组合数：从个不同的元素中任取个元素的所有组合的个数，叫做从个不同的元素中任取个元素的组合数，记作.

⑸排列数公式：

①

；

②，规定.

⑹组合数公式：

①或；

②，规定.

⑺排列与组合的区别：排列有顺序，组合无顺序.

⑻排列与组合的联系：，即排列就是先组合再全排列. ⑼排列与组合的两个性质性质

排列；组合.

⑽解排列组合问题的方法

①特殊元素、特殊位置优先法（元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置）.

②间接法（对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉）.

③相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）.

④不相邻(相间)问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间）.

⑤有序问题组合法.

⑥选取问题先选后排法.

⑦至多至少问题间接法.

⑧相同元素分组可采用隔板法.

⑨分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成n组问题别忘除以n！.

3、二项式定理

⑴二项展开公式： .

⑵二项展开式的通项公式：.主要用途是求指定的项.

⑶项的系数与二项式系数

项的系数与二项式系数是不同的两个概念，但当二项式的两个项的系数都为1时，系数就是二项式系数.如

在的展开式中，第项的二项式系数为，第项的系数为；而的展开式中的系数等于二项式系数；二项式系数一定为正，而项的系数不一定为正.

⑷的展开式：，

若令，则有

.

二项式奇数项系数的和等于二项式偶数项系数的和.即

⑸二项式系数的性质：

（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即；

（2）增减性与最大值：当时，二项式系数C的值逐渐增大，当时,C的值逐渐减小，且在中间取得最大值。当n为偶数时，中间一项（第＋1项）的二项式系数取得最大值.当n为奇数时，中间两项（第和＋1项）的二项式系数相等并同时取最大值.

⑹系数最大项的求法

设第项的系数最大，由不等式组

可确定.

⑺赋值法

若

则设 有：

①

②

③

④

⑤

四、随机变量及其分布

1、基本概念

⑴互斥事件：不可能同时发生的两个事件.

如果事件，其中任何两个都是互斥事件，则说事件彼此互斥.

当是互斥事件时，那么事件发生（即中有一个发生）的概率，等于事件分别发生的概率的和，即

　　.

⑵对立事件：其中必有一个发生的两个互斥事件.事件的对立事件通常记着.

对立事件的概率和等于1. .

特别提醒：“互斥事件”与“对立事件”都是就两个事件而言的，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件是其中必有一个发生的互斥事件，因此，对立事件必然是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，也就是说“互斥”是“对立”的必要但不充分的条件.

⑶相互独立事件：事件（或）是否发生对事件（或）发生的概率没有影响，（即其中一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响）.这样的两个事件叫做相互独立事件.

当是相互独立事件时，那么事件发生（即同时发生）的概率，等于事件分别发生的概率的积.即

.

若A、B两事件相互独立，则A与、与B、与也都是相互独立的.

⑷独立重复试验

①一般地，在相同条件下重复做的次试验称为次独立重复试验.

②独立重复试验的概率公式

如果在1次试验中某事件发生的概率是，那么在次独立重复试验中这个试验恰好发生次的概率

⑸条件概率：对任意事件A和事件B，在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率.记作P(B|A)，读作A发生的条件下B发生的概率.

公式：

2、离散型随机变量

⑴随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用字母等表示.

⑵离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.

⑶连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量.

⑷离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出.

若是随机变量，是常数）则也是随机变量 并且不改变其属性（离散型、连续型）.

3、离散型随机变量的分布列

⑴概率分布（分布列）

设离散型随机变量可能取的不同值为，…，，…，，

的每一个值（）的概率，则称表

为随机变量的概率分布，简称的分布列.

性质：① ②

⑵两点分布

如果随机变量的分布列为

则称服从两点分布，并称为成功概率.

⑶二项分布

如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是

其中，于是得到随机变量的概率分布如下：

我们称这样的随机变量服从二项分布，记作，并称p为成功概率.

判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三点：

①对立性：即一次试验中事件发生与否二者必居其一；

②重复性：即试验是独立重复地进行了次;

③等概率性：在每次试验中事件发生的概率均相等.

注：⑴二项分布的模型是有放回抽样；

⑵二项分布中的参数是

⑷超几何分布

一般地, 在含有件次品的件产品中，任取件,其中恰有件次品数,则事件发生的概率为,于是得到随机变量的概率分布如下：

其中,.

我们称这样的随机变量的分布列为超几何分布列,且称随机变量服从超几何分布.

注:⑴超几何分布的模型是不放回抽样；

⑵超几何分布中的参数是其意义分别是

总体中的个体总数、N中一类的总数、样本容量.

4、离散型随机变量的均值与方差

⑴离散型随机变量的均值

一般地，若离散型随机变量的分布列为

则称

为离散型随机变量的均值或数学期望（简称期望）.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.

性质：①

②若服从两点分布，则

③若，则

⑵离散型随机变量的方差

一般地，若离散型随机变量的分布列为

则称

为离散型随机变量的方差，并称其算术平方根为随机变量的标准差.它反映了离散型随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.

越小，的稳定性越高，波动越小，取值越集中；越大，的稳定性越差，波动越大，取值越分散.

性质：①

②若服从两点分布，则

③若，则

5、正态分布

正态变量概率密度曲线函数表达式：，其中是参数，且.记作如下图：

五、统计案例

1、回归分析

回归直线方程，

其中

相关系数：

2、独立性检验

假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分另为{x1, x2}和{y1, y2}，其样本频数22列联表为： 　　

　 若要推断的论述为H1：“X与Y有关系”，可以利用独立性检验来考察两个变量是否有关系，并且能较精确地给出这种判断的可靠程度.

具体的做法是，由表中的数据算出随机变量的值，其中为样本容量，K2的值越大，说明“X与Y有关系”成立的可能性越大.

随机变量越大，说明两个分类变量，关系越强；反之，越弱。

时，X与Y无关；时，X与Y有95%可能性有关；时X与Y有99%可能性有关.

概率统计知识点全归纳