2017年高考理科数学全国新课标3卷-

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2017年普通高等学校招生全国统一考试(III卷
理科数学
(适用地区：云南、广西、贵州、四川
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
xy1，B=(x,y│yx，则AIB中元素的个数为 1．已知集合A=(x,y│A．3


B．2


C．1


D．0 222．设复数z满足(1+iz=2i，则∣z∣= A．1 2 B．2 2 C．2 D．2 3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．

根据该折线图，下列结论错误的是 A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份
D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 4．(x+y(2x-y的展开式中xy的系数为
533A．-80 B．-40 C．40 D．80
x2y25x,且与椭圆5．已知双曲线C：221 (a＞0,b＞0的一条渐近线方程为y2abx2y21有公共焦点，则C的方程为 123x2y21 A．8106．设函数f(x=cos(x+x2y21 B．45x2y21 C．54x2y21 D．43，则下列结论错误的是
3
B．y=f(x的图像关于直线x=D．f(x在(8对称
3A．f(x的一个周期为−2π C．f(x+π的一个零点为x= 6,π单调递减
2 7．执行右面的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为 A．5
B．4
C．3 D．2 8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A．π

B．3π
4 C．π
2 D．π
49．等差数列an的首项为1，公差不为0．若a2,a3,a6成等比数列，则an前6项的和为 A．-24

B．-3


C．3

D．8 x2y210．已知椭圆C：221，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直ab径的圆与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为
A．6 3 B．23 3
x1 C．2 3 D．1
311．已知函数f(xx2xa(eA．ex1有唯一零点，则a=

C．1 2 B．1 31
2 D．1 12．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若uuuruuuruuurAPABAD，则+的最大值为

A．3

B．22



C．5

D．2 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
xy013．若x，y满足约束条件xy20，则z3x4y的最小值为__________．
y014．设等比数列an满足a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3，则a4 = ___________． x1，x0，115．设函数f(xx则满足f(xf(x1的x的取值范围是_________。
22，x0，16．a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角； ②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角； ③直线AB与a所成角的最小值为45°； ④直线AB与a所成角的最小值为60°；
其中正确的是________。（填写所有正确结论的编号）
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17:21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。
17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+3cosA=0，a=27,b=2．
（1）求c；
（2）设D为BC边上一点，且AD AC,求△ABD的面积．


18．（12分）
某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温
天数
[10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40）
2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。 （1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？学科*网


19．（12分）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD． （1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值．

20．（12分）已知抛物线C：y=2x，过点（2,0）的直线l交C与A,B两点，圆M是以线段2AB为直径的圆．
（1）证明：坐标原点O在圆M上；
（2）设圆M过点P（4，-2），求直线l与圆M的方程．

21．（12分）已知函数f(x =x﹣1﹣alnx． （1）若f(x0 ，求a的值；
（2）设m为整数，且对于任意正整数n，(1+(1+

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
x2+t,在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方ykt,1211K(1+﹤m，求m的最小值． 2n22x2m,程为．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C． （m为参数）my,k（1）写出C的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ+sinθ-2=0，M为l3与C的交点，求M的极径．



23．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知函数f(xx1x2.
（1） 求不等式f(x1的解集；
（2） 若不等式f(xx2xm的解集非空，求m的取值范围。


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理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
xy1，B=(x,y│yx，则AIB中元素的个数为 1．已知集合A=(x,y│A．3


B．2


C．1


D．0 22【解析】B.定义法
2．设复数z满足(1+iz=2i，则∣z∣= A．1 2 B．2 2 C．2 D．2 【解析】选C.定义法。
3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．

根据该折线图，下列结论错误的是 A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份
D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 【解析】选A图像法。

4．(x+y(2x-y的展开式中xy的系数为
533A．-80 B．-40 C．40 D．80 【解析】选C公式法。利用二项式定理的通项公式。 (2x-y中，其通项为C5(2x5r5r(yr。所以当r3或r2，两项系数相加得40. x2y25x,且与椭圆5．已知双曲线C：221 (a＞0,b＞0的一条渐近线方程为y2abx2y21有公共焦点，则C的方程为 123x2y21 A．810x2y21 B．45x2y21 C．54x2y21 D．43【解析】选B定义法。直接利用渐近线与焦点的定义求解。 6．设函数f(x=cos(x+，则下列结论错误的是
3
B．y=f(x的图像关于直线x=D．f(x在(8对称
3A．f(x的一个周期为−2π C．f(x+π的一个零点为x=【解析】选D.排除法 A正确；f( 6,π单调递减
28cos31，最低点，B正确；343，则g(cos0，362g(xf(xcos(xC正确。选D。
7．执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为 A．5
B．4
C．3 D．2 【解析】选D排除法。（求最小值，则从最小值开始排除）若n=2，则输出的S为90 ，合题意，选D。
8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为
ππ D． 2413322【解析】选B。轴截面。r1。则其体积为Vrh。444A．π

B．3π
4 C．




9．等差数列an的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则an前6项的和为
A．-24

B．-3


C．3

D．8 2【解析】选A定义法。等差数列与等比数列的定义。a3a2a6,把a1,d代入得d2。所以S624. x2y210．已知椭圆C：221，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直ab径的圆与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为
A．6 3 B．3 3 C．2 3 D．1
3【解析】选A定义法、公式法。由直线与圆相切的定义和点到直线的距离公式得2aba2b2a,e6。
32x111．已知函数f(xx2xa(eA．ex1有唯一零点，则a=

C．1 2 B．1 31
2 D．1 【解析】选C. 解法一：导数法f'(x2x2a(ex1ex10,x1,所以x=1是函数的极值点，所以f(10,代入得a解法二：图像法。
1。
2g(xa(ex1ex1，h(xx22x， 如图。要g(x,h(x只有一个公共点，则g(1h(11，代入得a1. 2
解法三：由条件，f(xx22xa(ex1ex1，得：
f(2x(2x22(2xa(e2x1e(2x1x24x442xa(e1xex1x22xa(ex1ex1∴f(2xf(x，即x1为f(x的对称轴，
由题意，f(x有唯一零点，∴f(x的零点只能为x1， 即f(11221a(e11e110，解得a1． 2
12．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与uuuruuuruuurBD相切的圆上．若APABAD，则+的最大值为
A．3


B．22



C．5



D．2 【解析】选A.坐标法，参数法（圆的参数方程） 如图建立直角坐标系。则圆的半径为5r2,r2,则圆上的5动点P(2525cos,sin(02，A（-2，1），B55uuuruuuruuur（-2，0），D（0，1），把坐标代入APABAD中得(2525cos2,sin1(0,1(2,0，所以5525cos22525sin15，所以225541cossin2sin(2sin(。所以5555的最大值为3. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
xy013．若x，y满足约束条件xy20，则z3x4y的最小值为__________．
y0
【解析】1.图像法。由题，画出可行域如图：
目标函数为z3x4y，则直线y3zx纵截距越大，z值越小． 44由图可知：z在A1,1处取最小值，故zmin31411．

xy20yA(1,1B(2,0xy0x

14．设等比数列an满足a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3，则a4 = ___________．
2【解析】8定义法。由已知a1a1q1,a1a1q3,两式相除得a11,a48. q2，x1，x0，115．设函数f(xx则满足f(xf(x1的x的取值范围是_________。
22，x0，【解析】(,.分类讨论。
14110xxx0122或或，解得x0或111x1(x11x4xx2(x112(212220x111或x。所以x的范围为(,。 22416．a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角； ②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角； ③直线AB与a所成角的最小值为45°； ④直线AB与a所成角的最小值为60°；
其中正确的是________。（填写所有正确结论的编号） 【解析】②③.如图。

解法一：坐标法。由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图． 不妨设图中所示正方体边长为1，故|AC|1，AB2， 斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，则A点保持不变，
B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆．
uuuruuur以C为坐标原点，以CD为x轴正方向，CB为y轴正方向， uuurCA为z轴正方向建立空间直角坐标系．
则D(1,0,0，A(0,0,1，
rra直线的方向单位向量a(0,1,0，|a|1．
B点起始坐标为(0,1,0，
rr直线b的方向单位向量b(1,0,0，|b|1．
设B点在运动过程中的坐标B(cos,sin,0， 其中为BC与CD的夹角，[0,2π．
uuur那么AB'在运动过程中的向量AB(cos,sin,1，uuur|AB|2．
uuurrπ设AB与a所成夹角为[0,]，
2则cos(cos,sin,1(0,1,022|sin|[0,]． ruuur22aABππ故[,]，所以③正确，④错误．
42uuurrπ设AB与b所成夹角为[0,]，
2uuuurrABb(cos,sin,1(1,0,02cosruuu|cos|. urruuuur2bABbABuuurrπ当AB与a夹角为60时，即，
3sin2cos2cos3212．
22221．∴cos|cos|． 222∵cos2sin21，∴|cos|uuurrππ∵[0,]．∴=，此时AB与b夹角为60．∴②正确，①错误．
23
解法二：由题意，AB 是以AC为轴,BC为底面半径的圆锥的母线，由ACa,ACb ，又AC⊥圆锥底面，在底面内可以过点B，作BDPa ，交底面圆C 于点D，如图所示，连结DE，则DE⊥BD，DEPb ，连结AD，等腰△ABD中，ABAD2 ,当直线AB2 ，又在Rt△BDE 中，与a成60°角时，ABD60o ，故BDBE2,DE2 ，
过点B作BF∥DE，交圆C于点F，连结AF，由圆的对称性可知BFDE2 , △ABF 为等边三角形，ABF60o ，即AB与b成60°角，②正确，①错误. 由最小角定理可知③正确。
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．（12分）
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+3cosA=0，a=27,b=2．
（1）求c；
（2）设D为BC边上一点，且AD AC,求△ABD的面积．
ππ【解析】（1）由sinA3cosA0得2sinA0，即AkπkZ，又A0,π，
33∴Aπ2π1π，得A.由余弦定理a2b2c22bccosA.又∵a27,b2,cosA3322代入并整理得c125，故c4. （也可由sinA3cosA0得tanA3得A2π）。
3a2b2c227（2）解法一：∵AC2,BC27,AB4，由余弦定理cosC. 2ab7∵ACAD，即△ACD为直角三角形，

则ACCDcosC，得CD7.由勾股定理AD又ACDAC3. 222π2πππ1π，S△ABDADABsin3. ，则DAB332626解法二：由c27213， ,sinC,tanCsinC72321πDA1S△ABD2ADABsin63而. tanC,DA3,sinBAD,AC218．（12分）
某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温
天数
[10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40）
2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。 （1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？学科*网 【解析】⑴易知需求量x可取200,300,500 PX200216136225742,PX300,PX500. 303530353035则分布列为：
X P
200 300 500
1 52 52
5⑵①当n≤200时：Yn642n，此时Ymax400，当n200时取得. ②当200n≤300时：Y4188002n6n8002n2002n2002n 55555此时Ymax520，当n300时取得.
1222002n20023002n3002③当300n≤500时，Y55n2 532002n,此时Y520. 58002n,x200④当n≥500时，y12002n,x300. 20002n,x500Ey0.2(8002n0.4(12002n0.4(2002n14402n，n=500时，其最大值为440. 综上所述：当n300时，Y取到最大值为520. 解法二：
解：（1）由题意得，X可取200,300,500
PX200216136225742,PX300,PX500 905905905x的分布列为
X
200 300 500
1
52
52
51
5P
（2）①当200n300时，若X200，
则Y64X24nX4X2n8002n,PY8002n2 52若X500时，则Y64n2n,PY2n
5若X300时，则Y64n2n,PY2nY的分布列为 X
8002n
2n 2n
122 5551226∴E(Y(8002n2n2nn160，
5555P
∴当n300时，EYmax520（元） ②当300n500时，若X200，

则Y64X24nX8002n,PY8002n1
52
5若X300时，则Y64x24nx1200,PY12002n若X500时，则Y64n2n,PY2n2
5y的分布列为
X
8002n
12002n 2n
2
52
5P

∴1
512222E(Y(8002n(12002n2nn64030064052055555（元）
综上，当n为300瓶时，y的数学期望达到最大值。

19．（12分）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD． （1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值． 【解析】⑴取AC中点为O，连接BO，DO； QABC为等边三角形

DE∴BOAC ∴ABBC
ABBCABDCBD. BDBDABDDBCCOBA∴ADCD,即ACD为等腰直角三角形，ADC 为直角又O为底边AC中点 ∴DOAC
令ABa，则ABACBCBDa 易得：OD23a，OBa 22
∴ODOBBD
由勾股定理的逆定理可得DOB即ODOB
ODACODOBACIOBOOD平面ABC AC平面ABCOB平面ABC2222
z
DCOE又∵OD平面ADC
由面面垂直的判定定理可得平面ADC平面ABC ⑵由题意可知VDACEVBACE 即B,D到平面ACE的距离相等
xBAy即E为BD中点
uuuruuuruuur以O为原点，OA为x轴正方向，OB为y轴正方向，OD为z轴正方向，设ACa，建立空间直角坐标系，
33aaaB0,a,0E0,a,O0,0,0A,0,0D0,0,，则，，， 24422uuura3auuuraauuuraAE,a,AD,0,OA,0,0易得：，， 244222uuruur设平面AED的法向量为n1，平面AEC的法向量为n2，
uuuruuruuuruuruuruurAEn10AEn20ruurruur则uuu，解得n13,1,3uuu，解得n20,1,3 ADn10OAn20若二面角DAEC为，易知为锐角， uuruurn1n27uruur则cosu. 7n1n220．（12分）已知抛物线C：y=2x，过点（2,0）的直线l交C与A,B两点，圆M是以线段2AB为直径的圆．
（1）证明：坐标原点O在圆M上；
（2）设圆M过点P（4，-2），求直线l与圆M的方程．
【解析】⑴显然，当直线斜率为0时，直线与抛物线交于一点，不符合题意． y22x设l:xmy2，A(x1,y1，B(x2,y2，联立：得y22my40，
xmy2
4m216恒大于0，y1y22m，y1y24． uuruuurOAOBx1x2y1y2(my12(my22
(m21y1y22m(y1y244(m212m(2m40 uuruuur∴OAOB，即O在圆M上．
uuuruur⑵若圆M过点P，则APBP0 (x14(x24(y12(y220 (my12(my22(y12(y220
(m21y1y2(2m2(y1y280
1化简得2m2m10解得m或1. 21①当m时，l:2xy40圆心为Q(x0,y0，
2y0y1y2119，x0y02，半径 22242291r|OQ|42 921285则圆M:(x(y
4216②当m1时，l:xy20圆心为Q(x0,y0， y0y1y21，x0y023， 2半径r|OQ|3212 则圆M:(x32(y1210. 921285所以，l:2xy40时，圆M:(x(y；或l:xy20时，4216M:(x32(y1210. 21．（12分）已知函数f(x =x﹣1﹣alnx． （1）若f(x0 ，求a的值；
（2）设m为整数，且对于任意正整数n，(1+(1+【解析】：（1）解法一：f'(x11211K(1+﹤m，求m的最小值． 222na(x0
x当a0时，f'(x0，f(1=0，则不合题意；

当a0时，f(x在(0,a上递减，在(a,上递增。
f(xminf(aa1alna
令 ya1alna
则 y'lna ∴ y在(0,1,(1, ∴ ymaxy(10，即 y0 因此 a1时f(xmin0，满足. ⑴ 解法二：f(xx1alnx，x0. 则f(x1axa，且f(10
xx当a≤0时，fx0，fx在0，上单调增，所以0x1时，fx0，不满足题意； 当a0时，
当0xa时，f(x0，则f(x在(0,a上单调递减； 当xa时，f(x0，则f(x在(a,上单调递增．
①若a1，f(x在(a,1上单调递增∴当x(a,1时f(xf(10矛盾 ②若a1，f(x在(1,a上单调递减∴当x(1,a时f(xf(10矛盾
③若a1，f(x在(0,1上单调递减，在(1,上单调递增∴f(x≥f(10满足题意 综上所述a1．
⑵ 当a1时f(xx1lnx≥0即lnx≤x1 则有ln(x1≤x当且仅当x0时等号成立 ∴ln(111，kN* kk221111111一方面：ln(1ln(12...ln(1n2...n1n1，
2222222111即(1(12...(1ne．
222111111135另一方面：(1(12...(1n(1(12(132
22222264111当n≥3时，(1(12...(1n(2,e
222111∵mN*，(1(12...(1nm，
222
∴m的最小值为3．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
x2+t,在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方ykt,x2m,程为．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C． （m为参数）my,k（1）写出C的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ+sinθ-2=0，M为l3与C的交点，求M的极径．
【解析】⑴将参数方程转化为一般方程
l1:ykx2 ……① l2:y1x2 ……②
k①②消k可得：x2y24，即P的轨迹方程为x2y24； ⑵将参数方程转化为一般方程l3:xy20 ……③
32xxy202联立曲线C和l32解得 2xy42y2xcos由解得5。即M的极半径是5．
ysin23．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知函数f(xx1x2.
（1） 求不等式f(x1的解集；
（2） 若不等式f(xx2xm的解集非空，求m的取值范围。


2017年高考理科数学全国新课标3卷-

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