电磁场答案七

发布时间：2020-04-07

第七章 正弦电磁波
7.1 求证在无界理想介质内沿任意方向en（en为单位矢量）传播的平面波EEmej(enrt可写成。
解 Em为常矢量。在直角坐标中
enexcoseycosezcosrexxeyyezz故

enr(excoseycosezcos(exxeyyezzxcosycoszcos则

EEmej(enrtEmej[(xcosycoszcost]2Eex2Exey2Eyez2Ez而
Em(j2ej[(xcosycoszcost](j2E
2E2j[(xcosycoszcost]2{Ee}Em22tt
2故
2EE2(j2E2E(j2E2E0t j(enrtEEme可见，已知的满足波动方程
2E2E20t
故E表示沿en方向传播的平面波。
7.2 试证明：任何椭圆极化波均可分解为两个旋向相反的圆极化波。 解 表征沿+z方向传播的椭圆极化波的电场可表示为
E(exExeyjEyejzE1E2
式中取
1E1[ex(ExEyeyj(ExEy]ejz21E2[ex(ExEyeyj(ExEy]ejz2
显然，E1和E2分别表示沿+z方向传播的左旋圆极化波和右旋圆极化波。
7.3
在自由空间中，已知电场E(z,tey103sin(tzV/m，试求磁场强度H(z,t。
解 以余弦为基准，重新写出已知的电场表示式
E(z,tey103cos(tzV/m2
这是一个沿+z方向传播的均匀平面波的电场，其初相角为90。与之相伴的磁场为

H(z,t10ezE(z,tezey103costz021103excostzex265sin(tzA/m1202
1A/m37.4 均匀平面波的磁场强度H的振幅为，以相位常数30rad/m在空e气中沿ez方向传播。当t=0和z=0时，若H的取向为y，试写出E和H的表示式，并求出波的频率和波长。
解 以余弦为基准，按题意先写出磁场表示式
1Heycos(tzA/m3
与之相伴的电场为
1E0[H(ez]120[eycos(tz(ez]3ex40cos(tzV/m
由rad/m得波长和频率f分别为
2vp0.21mc3108fHz1.43109Hz0.212f21.43109rad/s9109rad/s
则磁场和电场分别为
1Heycos(9109t30zA/m3Eex40cos(9109t30zV/m 7.5 一个在空气中沿式为
ey方向传播的均匀平面波，其磁场强度的瞬时值表示πHez4106cos(10πtyA/m4
H0（1）求和在t3ms时，z的位置；（2）写出E的瞬时表示式。
1π00107πrad/mrad/m0.105rad/m831030解（1）
在t=3ms时，欲使Hz=0，则要求 1073103yn,n0,1,2,L3042
若取n=0，解得y=899992.m。
260m考虑到波长，故
y2999920.75229999222.5

因此，t=3ms时，Hz=0的位置为
y22.5nm2
（2）电场的瞬时表示式为
E(Hey0ez4106cos(107tyey1204ex1.508103cos(107t0.105yV/m4
7.6 在自由空间中，某一电磁波的波长为0.2m。当该电磁波进入某理想介质后，波长变为0.09m。设r1，试求理想介质的相对介电常数r以及在该介质中的波速。
vp0c3108m/s解 在自由空间，波的相速，故波的频率为
vp03108fHz=1.5109Hz00.2 在理想介质中，波长0.09m，故波的相速为 vpf1.51090.091.35108m/s而

vp故
110r0cr2
c3108r4.94v1.35108p
281。求频率为10kHz、7.7 海水的电导率4S/m，相对介电常数r100kHz、1MHz、10MHz、100MHz、1GHz的电磁波在海水中的波长、衰减系数和波阻抗。
解 先判定海水在各频率下的属性
48.81082fr02f810f
17f10Hz可见，当时，满足，海水可视为良导体。此时
f0c(1jf=10kHz时
f0

10103410740.1260.396Np/m2215.87m0.126c(1jf=100kHz时
10103410740.099(1j
100103410741.26Np/m225m1.26c(1jf=1MHz时
100103410740.314(1j
106410743.96Np/m221.587m3.96c(1jf=10MHz时
106410740.99(1j
101064107412.6Np/m220.5m12.6c(1j10106410743.14(1j
1当f=100MHz以上时，不再满足，海水属一般有损耗媒质。此时，
2f2f0f=100MHz时
0r02211(2fr0211(2fr00r020(r01j(2fr0

37.57Np/m42.1rad/m20.149mco4214.05ej41.81j8.9
f=1GHz时
69.12Np/m203.58rad/m20.03mo42036.5ej20.81j0.89
7.8 求证：电磁波在导电媒质内传播时场量的衰减约为55dB/λ。 证明 在一定频率范围内将该导电媒质视为良导体，此时
f
故场量的衰减因子为
eeee20.002
即场量的振幅经过z =λ的距离后衰减到起始值的0.002。用分贝表示。
Em(z220lg20lge20lge(220lge55dBEm(0zz2
7.9 在自由空间中，一列平面波的相位常数00.524rad/m，当该平面波进1，求理想电介质的r入到理想电介质后，其相位常数变为1.81rad/m。设r和波在电介质中的传播速度。
解 自由空间的相位常数
000，故
00.52431081.572108rad/s00 ，故
在理想电介质中，相位常数1.812r211.930r01.81rad/s
00电介质中的波速则为
1vp3108m/s0.87108m/s0r0r11.931c
7.10 在自由空间中，某均匀平面波的波长为12cm；当该平面波进入到某无损耗媒质时，波长变为8cm，且已知此时的|E|50V/m，|H|0.1A/m。求该均匀平面波的频率以及无损耗媒质的r、r。

解 自由空间中，波的相速，故波的频率为
vp0c31089f2.510Hz2001210
在无损耗媒质中，波的相速为
vpf2.510981022108m/s
故
12108r0r0 （1）
无损耗媒质中的波阻抗为
vpc3108m/sr050|Ε|500|H|r00.1 （2）
联解式（1）和式（2），得
r1.99,r1.13
2.5，损耗正切7.11 一个频率为f=3GHz，ey方向极化的均匀平面波在rtan102的非磁性媒质中沿(ex方向传播。求：（1）波的振幅衰减一半时，传播的距离；（2）媒质的本征阻抗，波的波长和相速；（3）设在x=0处的Eey50sin(6109tV/m3，写出H(x,t的表示式。
181022fr0231092.5110932.536解 （1）
故
32.51020.417102S/m18
而
1021
该媒质在f=3GHz时可视为弱导电媒质，故衰减常数为
00.4171020.497Np/m222.50由ex12得 x1ln2
1ln21.395m0.497
（2）对于弱导电媒质，本征阻抗为
0102c1j238.44(1j0.0051j22.502238.44ej0.286238.44ej0.0016o而相位常数


2f2.500231092.531.6rad/m3108
故波长和相速分别为
220.063m31.6故
23109vp1.89108m/s31.6
（3）在x=0处，
E(0,tey50sin(6109tV/m3
E(x,tey50e0.497xsin(6109t31.6xV/m3 H(x1|c|exΕ(xej则
jj10.497xj31.6x3exey50eeee2ej0.0016238.44ez0.21e0.497xj31.6xeee3jj0.0016ej2A/m故
H(x,tRe[H(xejt]ez0.21e0.497xsin(6109t31.6x
3
80,r1,4S/m中沿+y方7.12 有一线极化的均匀平面波在海水(r向传播，其磁场强度在y=0处为
Hex0.1sin(1010t/3A/m
（1）求衰减常数、相位常数、本征阻抗、相速、波长及透入深度；（2）求出H的振幅为0.01A/m时的位置；（3）写出E(y,t和H(y,t的表示式。
443610100.189解 （1）10800108010
10可见，在角频率10时，海水为一般有损耗媒质，故
0.0016A/m
21(128000[10.1821]83.9Np/m2101021(128000[10.1821]300rad/m21010c1j08001j0.1842.1541.82ej0.028j0.0281.008e1010vp0.333108m/s300226.67103m30011c11.92103m83.9
yy（2）由0.010.1e即e0.1得
11yln102.303m27.4103m83.9

H(y,tex0.1e83.9ysin(1010t300yA/m3（3）
其复数形式为
H(yex0.1e83.9yj300yeej3A/m故电场的复数表示式为
E(ycH(yey41.82eez4.182e83.9yj0.028
ej(300y320.1e83.9yexeyej(300y0.02832 V/m则
E(y,tRe[E(yejt]ez4.182e83.9ysin(1010t300y
0.028V/m3
7.13 在自由空间（z<0）内沿+z方向传播的均匀平面波，垂直入射到z=01。自由空间E波的频率处的导体平面上。导体的电导率61.7MS/m，rf=1.5MHz，振幅为1V/m；在分界面(z=0处，E由下式给出
E(0,teysin2ft

对于z>0的区域，求H2(z,t。
61.7106704.41096解 21.5100
可见，在f=1.5MHz的频率该导体可视为良导体。故
f(1.5106410761.71061.91104Np/mf1.91104rad/mj4521.51064107j45cee61.7106ooo4.38104ej45(3.1j3.1104分界面上的透射系数为
o2c2224.38104ej456j45o2.3210e21c0(3.1j3.1104377
入射波电场的复数表示式可写为


则z>0区域的透射波电场的复数形式为
E2(zeyezjzE1(zeyej0zej2V/mj2jeeey2.3210e6j45o1.91104zj1.91104z2eeeV/m与之相伴的磁场为
1H2(zezE2(zc14.3810e4j45o2
ezey2.3210e1.91104z61.91104zej(1.91104z45o2ex0.5110eej(1.91104z2A/m则
H2(z,tRe[H2(zejt]4
ex0.51102e1.9110zsin(21.5106t1.91104zA/m
7.14 一圆极化波垂直入射到一介质板上，入射波电场为
EEm(exeyjejz
求反射波与透射波的电场，它们的极化情况又如何？
解 设媒质1为空气，其本征阻抗为0；介质板的本征阻抗为2。故分界面上的反射系数和透射系数分别为
2020式中
2220

2都是实数，故,也是实数。
002,02r200

可见，反射波的电场的两个分量的振幅仍相等，相位关系与入射波相比没有变化，故反射波仍然是圆极化波。但波的传播方向变为-z方向，故反射波也变为右旋圆极化波。而入射波是沿+z方向传播的左旋圆极化波。
透射波的电场为
E2Em(exeyjej2z
220r20式中，2是媒质2中的相位常数。可见，透射波是沿+z方向传播的左旋圆极化波。
j0E100eV/m，从空气中垂直入射到无损m7.15
均匀平面波的电场振幅o反射波的电场为
EEm(exeyjejz耗的介质平面上（介质的幅。
20,240,20），求反射波和透射波的电场振1解
01120π10

2反射系数为
0260π240透射系数为
2160120121601203
22260221601203
故反射波的电场振幅为
100Em||Em33.3V/m3
透射波的电场振幅为
2100Em2Em66.6V/m3
7.16 最简单的天线罩是单层介质板。若已知介质板的介电常数2.80，问介质板的厚度应为多少方可使频率为3GHz的电磁波垂直入射到介质板面时没有反射。当频率分别为3.1GHz及2.9GHz时，反射增大多少？

① ②
x 1 入射波 反射波
2 入射波 反射波
3 透射波
z d 题7.16图



解 天线罩示意图如题7.16图所示。介质板的本征阻抗为2，其左、右两侧媒质的本征阻抗分别为1和3。设均匀平面波从左侧垂直入射到介质板，此问题就成了均匀平面波对多层媒质的垂直入射问题。
设媒质1中的入射波电场只有x分量，则在题7.16图所示坐标下，入射波电场可表示为
Em1H1ezE1ey1ej1(zd11
而媒质1中的反射波电场为
j1(zdE1exEm1e
与之相伴的磁场为
Em1H1(exE1ey1ej1(zd11
故媒质1中的总电场和总磁场分别为
j1(zdj1(zdE1E1E1exEmeeEe1xm1EEH1H1H1eym1ej1(zdeym1ej1(zd11 （1）
同样，可写出媒质2中的总电场和总磁场
j2zj2E2E2E2exEmexEm2e1eEEH2H2H2eym2ej2zeym2ej2z22 （2）
媒质3中只有透射波
j3zE3exEm3eEH3eym3ej3z3 （3）
EEEEEm1m2m2m2m在式（1）、（2）、（3）中，通常已知入射波电场振幅，而、、和3为待求量。利用两个分界面①和②上的四个边界条件方程即可确定它们。

EE3x,H2yH3y在分界面②处，即z=0处，应有2x。由式（2）和（3）得
Em2Em2Em311(Em2EmE223m3 （4）
由式（4）可得出分界面②上的反射系数
Em2232Em232 （5）
EE2xH1yH2y在分界面①处，即z=-d处，应有1x，。由式（1）和（2）得
j2dj2dj2dj2dEmEEeEeE(ee1m1m2m2m22Em2j2d11j2dj2dj2d(Em1Em(EeEe(ee1m2212m22 （6）
将分界面①上的总电场与总磁场之比定义为等效波阻抗（或称总场波阻抗），由式（1）得
EmEm1Em11Em1ef11EEm1m1(EE1m1m1 （7）
将式（6）代入式（7）得 ej2d2ej2def2j2de2ej2d （8）
将式（5）代入式（8），并应用欧拉公式，得
j2tan2def232j3tan2d （9） 再由式（7）得分界面①上的反射系数
Em11ef1Em1ef1 （10） 显然，若分界面①上的等效波阻抗界面①上无反射。
ef等于媒质1的本征阻抗1，则10，即分通常天线罩的内、外都是空气，即130，由式（9）得
j2tan2d0202j0tan2d
dn,n1,2,3L。故
欲使上式成立，必须2ndn222
频率f0=3GHz时
310800.1m3109
则

22.8当频率偏移到f1=3.1GHz时，
22223.11092.800108.6rad/md00.1m30mm21.67
故
tan2dtan(108.6301030.117
而

2故此时的等效波阻抗为
02225.322.80
反射系数为
377j225.30.117j7.08oef225.3370.87e368j45.7225.3j3770.117
ef1368j45.737710.06ej(18082.37ef1368j45.7377oo即频率偏移到3.1GHz时，反射将增大6%。
f2.9GHz同样的方法可计算出频率下偏到2时，反射将增加约5%。 [讨论] （1）上述分析方法可推广到n层媒质的情况，通常是把坐标原点O选在最右侧的分界面上较为方便。
（2）应用前面导出的等效波阻抗公式（9），可以得出一种很有用的特殊情3）况（注意：此时1。
d24，则有
取2tan2dtan(224
由式（9）得

22ef3
若取213，则
此时，分界面①上的反射系数为
1ef10ef1ef1
即电磁波从媒质1入射到分界面①时，不产生反射。可见，厚度13板，当其本征阻抗2时，有消除反射的作用。
d24的介质
7.17 题7.17图所示隐身飞机的原理示意图。在表示机身的理想导体表面覆d34盖一层厚度3的理想介质膜，又在x 介质膜上涂一层厚度为d2的良导体材料。① ② ③
试确定消除电磁波从良导体表面上反射的⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 条件。
解 题7.17图中，区域（1）为空气，其波阻抗为
1
区域（2）为良导体，其波阻抗为
0110d1 d2 题7.17图
O
z
区域（3）为理想介质，其波阻抗为
2j452e2 3
32
(区域（4）为理想导体4，其波阻抗为

利用题7.16导出的公式（9），分界面②上的等效波阻抗为
24j3tan(34j3tan3d33432ef②33233j4tan3d343j4tan(344j454e04应用相同的方法可导出分界面③上的等效波阻抗计算公式可得
ef②2tanh2d2ef③22ef②tanh2d2 （1）
式中的2是良导体中波的传播常数，tanh2d2为双曲正切函数。将ef②代入式（1），得
2ef③tanh2d2 （2）
d1tanh2d22d2由于良导体涂层很薄，满足22，故可取，则式（2）变为
ef③22d2 （3）

分界面③上的反射系数为
3ef③1ef③1
可见，欲使区域（1）中无反射，必须使

ef③10故由式（3）得
202d2 （4）
将良导体中的传播常数得
222ej45
2和波阻抗2j45e代入式（4），12.65103d22023772
d34这样，只要取理想介质层的厚度3，而良导体涂层的厚度d22.651032，就可消除分界面③上的反射波。即雷达发射的电磁波从空气中投射到分界面③时，不会产生回波，从而实现飞机隐身的目的。此结果可作如下的物理解释：由于电磁波在理想导体表面（即分界面①上产生全反射，则在离4该表面3处（即分界面②出现电场的波腹点。而该处放置了厚度为d2的良导体涂层，从而使电磁波大大损耗，故反射波就趋于零了。
17.18 均匀平面波从自由空间垂直入射到某介质平面时，在自由空间形成驻波。设驻波比为2.7，且介质平面上有驻波最小点；求介质的介电常数。
解 自由空间的总电场为
j1j1zj1zE1E1E1exEmexEmexEmej1z1e1e1(e
式中
Em1Em1
是分界面上的反射系数。
驻波比的定义为
EmaxEm1||1Em1SEminEm1Em1||
1得
1||2.71||
据此求得
1.7||0.4593.7
因介质平面上是驻波最小点，故应取
0.459
反射系数
200.45920 得 则
20.371377139.79

20139.79264.310127.260
7.19 如题7.19图所示，z>0区域的媒质介电常数为2，在此媒质前置有厚度为d、介电常数为1的介质板。对于一个从左面垂直入射过来的TEM波，试证明当d1r1r2且4r1时，没有反射（为自由空间的波长）。
x 0 1 2
O1 O z d 题7.19图
解 媒质1中的波阻抗为


101101r10r1 媒质2中的波阻抗为
2021102r20r2
当r1r2时，由式（1）和（2）得
22100020r1r2 而分界面O1处（即zd处）的等效波阻抗为
2j1tan1def11j2tan1d
d1当4、即d1r14时 21ef2 分界面O1处的反射系数为
ef0ef0 将式（3）和（4）代入式（5），则得
0
1）2）3）4）5） （
（
（
（
（

r1r2且d即14r1时，分界面O1上无反射。d14的介质层称为匹配层。
7.20 垂直放置在球坐标原点的某电流元所产生的远区场为
100Eesincos(trV/mr0.265Eesincos(trA/mr
试求穿过r=1 000m的半球壳的平均功率。
解 将电场、磁场写成复数形式
100Eresinejrr0.265Hresinejrr
平均坡印廷矢量为
1SavRe[E(rH*(r]211000.265Re[esinejresinejr]2rr11000.2652sin222ersinW/me13.25W/mr2r2r2
故穿过r=1000m的半球壳的平均功率为
1PavÑSavdS2S
式中dS为球坐标的面积元矢量，对积分有贡献是
dSerdSrerr2sindd
故
12sin2Paver13.252err2sindd13.25sin3d0200r1413.25(coscos313.2555.5W330
Eex150sin(tzV/m7.21 在自由空间中，。试求z0平面内的边长为30mm和15mm长方形面积的总功率。
解 将已知的电场写成复数形式
得与E(z相伴的磁场
E(zex150ej(z90
H(z1ezE(zey150j(z90e377
0故平均坡印廷矢量为

Sav1Re[E(xH*(z]21150j(z90j(z90Re[ex150eeye]ez29.84W/m22377
2则穿过z=0平面上S3015mm的长方形面积的总功率为
PavSavezS29.843010315103W13.43103W7.22 均匀平面波的电场强度为
Eex100sin(tzey200cos(tzV/m

（1）运用麦克斯韦方程求出H：（2）若该波在z=0处迁到一理想导体平面，求出z<0区域内的E和H；（3）求理想导体上的电流密度。
解 （1）将已知的电场写成复数形式
E(zex100ej(z90ey200ejz由Ej0H
eyyEyezz0得
ex11H(zE(zj0j0xEx写成瞬时值表示式
H(z,tRe[H(zejt]1[ex200cos(tzey100cos(tz90]j0z1[ex200(jejzey100(jej(z90]j0
[ex200ejzey100ej(z90]0 1[ex200ejzey100ej(z90]A/m0
1(exEy
eyExz
01[ex200cos(tzey100sin(tz]A/m0
（2）均匀平面波垂直入射到理想导体平面上会产生全反射，反射波的电场为
Ex100ej(z90Ey200ejz即z0区域内的反射波电场为
xy
j(z90EexEeyEex100eey200ejz与之相伴的反射波磁场为


zxy00至此，即可求出z0区域内的总电场E和总磁场H。
j(z90j(z90ExExEx100e100eH1(eE1(e200ejze100ej(z90
100ej90(ejzejzj200sinzej900EyEyEy200ejz200ejzj400sinz故


EexExeyEyexj200sinzej90eyj400sinz同样
HxHxHxyy10200ejzj(z9010200ejzj(z9010400coszHyHH[100e1100e]1
0
0200ej90cosz1故
0（3）理想导体平面上的电流密度为
JsnHz0HexHxeyHy(ex400coszey200ej90cosz
ez(ex400coszey200ej90cosz10z0
ex0.53ej90ey1.06A/m
7.23 在自由空间中，一均匀平面波垂直投射到半无限大无损耗介质平面上。已知在平面前的自由空间中，合成波的驻波比为3，无损耗介质内透射波的1波长是自由空间波长的6。试求介质的相对磁导率r和相对介电常数r。
解 在自由空间，入射波与反射波合成为驻波，驻波比为
EmaxEmE1||m1S13EminEm1Em11||
由此求出反射系数
1||2
12。而反射系数为
设在介质平面上得到驻波最小点，故取2121 式中的10120，则得
120220

求得
20即得
13r01r030
r1r9 （1）
又
得
联解式（1）和（2）得
2rr00rr6
rr36 （2）
r2,r18
7.24 均匀平面波的电场强度为，该波从空气垂直入射到有损(r2.5,损耗角正切tan20.52耗媒质的分界面上（z=0），如题7.24图所示。（1）求反射波和透射波的电场和磁场的瞬时表示式；（2）求空气中及有损耗媒质中的时间平均坡印廷矢量。
x 1：空气 入射波 反射波
2：损耗媒质 透射波
Eex10ej6zO 题7.24图
z
解（1）根据已知条件求得如下参数。 在空气中（媒质1）
16rad/m

1c631081.8109rad/s1在有损耗媒质中
01377Ω10

tan20.52222221(1222.500[10.521]2.31Np/m221.8109222221(1222.500[10.521]9.77rad/m21j1.81092220222.501j0.5
255ej13.3218.96j51.76分界面上的反射系数为
21218.96j51.76377j156.90.278e21218.96j51.76377
透射系数为
222225ej113.30.752ej8.3421218.96j51.76377
故反射波的电场和磁场的复数表示式为
Eex10ej6zex2.78ej156.9ej6zH11(ezex2.78ej156.9ej6z3770(ezEey7.37103ej156.9ej6z则其瞬时表示式为
E(z,tRe[Eejt]ex2.78cos(1.8109t6z156.9V/mH(z,tRe[Hejt]
ey7.37103cos(1.8109t6z156.9A/m而媒质2中的透射波电场和磁场为
E2ex10e2zej2zex7.52e2.31zej9.77zej8.34H21
2ezE21225ej13.3ezex7.52e2.31zej9.77zej8.34ey0.035e2.31zej9.77zej8.34ej13.3故其瞬时表示式为



E2(z,tRe[E2ejt]ex7.52e2.31zcos(1.8109t9.77z8.34V/mH2(z,tRe[H2ejt]ey0.035e2.31zcos(1.8109t9.77z4.96A/m11Re[EH*]Re[EH*]22

（2）
Sav1SavSavSav2110212.782ezezez0.122W/m2237723771*Re[E2H2]21Re[ex7.52e2.31zej9.77zej8.34ey0.035e2.31zej9.77zej4.96]21Re[ez0.263e4.62zej13.3]ez0.122e4.62zW/m22
7.25 一右旋圆极化波垂直入射到位于z=0的理想导体板上，其电场强度的复数表示式为
EiE0(exeyjejz
（1）确定反射波的极化方式；（2）求导体板上的感应电流；（3）以余弦为基准，写出总电场强度的瞬时值表示式。
解 （1）设反射波的电场强度为
Er(exErxeyEryejz
据理想导体的边界条件，在z=0时应有
(EiErz00故得 则


ErxE0,EryjE0
可见，反射波是一个沿z方向传播的左旋圆极化波。
（2）入射波的磁场为
11HiezEiezE0(exeyjejz00E0ErE0(e0eyjejz01(exjeyejz反射波的磁场为
Hr
(ezEr1(ezE0(exeyjejz0E000(exjeyejz故合成波的磁场为


HHiHrE00(exjeyejzE00(exjeyejz则导体板上的感应电流为
JsnHz0
2E0(exeyjez(HiHrz00（3）合成电场的复数表示式为
E EiErE0(exeyjejzE0(exeyjejzexE0(ejzejzeyjE0(ejzejz2E0sinz(exjey
故其瞬时表示式为
E(z,tRe[Eejt]2Esinz(exsinteycost

7.26 如题7.26图所示，有一正弦均匀平面波由空气斜入射到z=0的理想导体平面上，其电场强度的复数表示式为
Ei(x,zey10ej(6x8zV/m
（1）求波的频率和波长；（2）以余弦函数为基准，写出入射波电场和磁场的瞬时表示式；（3）确定入射角；（4）求反射波电场和磁场的复数表示式；（5）求合成波电场和磁场的复数表示式。
x
kr Er n
Hr 理想导体
r i Ei Hi 题7.26图
ki O
z

解 （1）由已知条件知入射波的波矢量为
kiex6ez8exkixezkizki628210

故波长为

频率为
220.628mki
3108f4.78108Hz0.6282f3109rad/s
（2）入射波传播方向的单位矢量为
c
eni入射波的磁场复数表示式为
11Hi(x,zeniEix,z(ex8ez6ey10ej(6x8z001(ex8ez6ej(6x8z120kiex6ez8ex0.6ez0.8ki10
则得其瞬时表示式
Hi(x,z,tRe[Hi(x,zejt]91Re[(ex8ez6ej(6x8zej310t]1201(ex8ez6cos(3109t6x8zA/m120

而电场的瞬时表示式为
Ei(x,z,tRe[Ei(x,zejt]Re[ey10ej(6x8zejt]ey10cos(3109t6x8zV/mkizkicosi
（3）由，得 k8cosiizki10 故 i36.9
i36.9r（4）据斯耐尔反射定律知，反射波的波矢量为
krex6ez8e6ez8kenrrxex0.6ez0.8kr10
1。故反射波的电场为
而垂直极化波对理想导体平面斜入射时，反射系数Er(x,zey10ej(6x8zV/m
与之相伴的磁场为
1Hr(x,zenrEr(x,z01(ex0.6ez0.8(ey10ej(6x8z1201(ex8ez6ej(6x8zA/m120
（5）合成波的电场为
E(x,zEi(x,zEr(x,zey10ej(6x8zey10ej(6x8zey10ej6x(ej8zej8zeyj20ej6xsin8zV/m合成波的磁场为


H(x,zHi(x,zHr(x,z11(ex8ez6ej(6x8z(ex8ez6ej(6x8z1201201(ex16cos8zeyj12sin8zej6xA/m120
4,r1的电介质分界面7.27 一个线极化平面波从自由空间入射到r上，如果入射波的电场矢量与入射面的夹角为45°。试求：（1）入射角为何值时，反射波只有垂直极化波；（2）此时反射波的平均功率流是入射波的百分之几？
解 （1）由已知条件知入射波中包括垂直极化分量和平行极化分量，且两分量的大小相等Ei02。当入射角i等于布儒斯特角B时，平行极化波将无反射，反射波中就只有垂直极化分量。
402iBarctanarctan01arctan263.43
63.43（2）i时，垂直极化分量的反射系数为
2sin2i1cosi2sin2i1cosi00.640cos63.43sin263.430故反射波的平均功率流为
cos63.4340sin263.43
Ei20121Ei0SravEr020.18212121
而入射波的平均功率流为
12SiavEi021
可见，
Srav18%Siav
20i7.28 垂直极化波从水下的波源以入射角投射到水与空气的分界面上。水的r81,r1，试求：（1）临界角c；（2）反射系数；（3）透射系数；2（4）波在空气中传播一个波长距离时的衰减量。
解 （1）临界角为
carcsin02arcsin81016.38

（2）反射系数为
0sin2208100cos20sin220810cos200.940.0120.1170.94j0.32ej38.040.940.0120.1170.94j0.32
（3）透射系数为
2cos20cos200sin220810（4）由于ic，故此时将产生全反射。由斯耐尔折射定律得
sint20.941.89ej19.020.940.0120.117
1sini81sin203.082此时


式中取“j2.91”，是考虑到避免z时，场的振幅出现无穷大的情况。这是因为空气中的透射波电场的空间变化因子为
cost1sin2t13.082j2.91ejk2entrejk2(xsintzcostej3.08k2xejk2(j2.19zej3.08k2xek2(2.91z由上式即得透射波传播一个波长时的衰减量为

20lge

k2(2.91220lge22(2.912158.8dB

电磁场答案七

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