嘉定区2008学年高三年级第一次质量调研

数学试卷

考生注意：本试卷共有21题，满分150分．考试时间：120分钟．请按要求将答案写在答题纸上，写在试卷上、草稿纸上及在答题纸上限定区域外的的答案一律不予评分．

一．填空题（本大题满分60分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，请将结果直接填在答题纸规定的横线上，每题填对得5分，否则一律得零分．

1．集合，，则__________．

2．若，则行列式的值是______________ ．

3．函数（）的反函数是_________________．

4．设是虚数单位，复数，），若是实数，则_________．

5．函数（）的最小正周期为_______________．

6．已知圆锥的母线长为，侧面积为 ，则此圆锥的体积为__________．

7．联结球面上任意两点的线段称为球的弦，已知半径为的球上有两条长分别为和的弦，则此两弦中点距离的最大值是____________．

8．为了了解某校高中学生的近视眼发病率，在该校学生中进行分层抽样调查，已知该校高一、高二、高三分别有学生名、名、名，若高三学生共抽取名，则高一年级每一位学生被抽到的概率是___________．

9．运行如图所示的程序流程图，则输出的值

为_________________．

10．已知无穷等比数列的前项和满足

，则该数列所有项的和为_________．

11．定义在上的函数满足，

当时，，则当

时，函数的最小值为_______________．

12．设，，…，是各项不为零的（）项等差数列，且公差．若将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，则所有数对所组成的集合为______________________．

二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须在答题纸上按正确填涂的方法用2B铅笔将正确结论的字母代号框涂黑，每题涂对得 4分，否则一律得零分．

13．已知，都是实数，则“”是“”的………………………………（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

14．（，，）恒等于………………………………………………（ ）

A． B． C． D．

15．在实数数列中，已知，，，…，，则的最大值为…………………………………………………………（ ）

A． B． C． D．

16．已知关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围为…（ ）

A． B． C． D．

三．解答题（满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．请在答题纸上规定的各题目答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效．

17．（本题满分12分）

设复数，其中为虚数单位，为实数，．若是方程的一个根，且在复平面内所对应的点在第一象限，求与的值．

18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

如图，在四棱锥中，底面是

边长为的菱形，，平面，

与平面所成角的大小为，为的中点．

（1）求四棱锥的体积；

（2）求异面直线与所成角的大小（结果用

反三角函数表示）．

19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．

如图，一船在海上由西向东航行，在处测得某岛的方位角为北偏东角，前进后在处测得该岛的方位角为北偏东角，已知该岛周围范围内有暗礁，现该船继续东行．

（1）若，问该船有无触礁危险？

如果没有，请说明理由；如果有，那么该船自处向

东航行多少距离会有触礁危险？

（2）当与满足什么条件时，该船没有触礁危险？

20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

已知函数（为实常数）．

（1）若，作函数的图像；

（2）设在区间上的最小值为，求的表达式；

（3）设，若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围．

21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分．

设正数数列的前项和为，且对任意的，是和的等差中项．

（1）求数列的通项公式；

（2）在集合，，且中，是否存在正整数，使得不等式对一切满足的正整数都成立？若存在，则这样的正整数共有多少个？并求出满足条件的最小正整数的值；若不存在，请说明理由；

（3）请构造一个与数列有关的数列，使得存在，并求出这个极限值．

嘉定区2008学年度高三年级第一次质量调研数学试卷参考答案与评分标准

一．填空题（每小题5分，满分60分）

1．；2．；3．（）；4．；5．；6．；7．；8．；

9．；10．；11．；12．．

二．选择题（每小题4分，满分16分）

13．D；14．A；15．C；16．B．

三．解答题（本大题共有5题，满分74分）

17．（本题满分12分）

解：方程的根为，……（4分）

因为在复平面内所对应的点在第一象限，所以，

所以，……（6分）

解得，因为，所以．……（8分）

所以，．……（11分）

所以，．……（12分）

18．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）

解：（1）连结，因为平面，

所以为与平面所成的角……（2分）

由已知，，而，

所以．……（3分）

底面积，……（4分）

所以，四棱锥的体积

．……（6分）

（2）连结，交于点，连结，

因为、分别为、的中点，所以∥，

所以（或其补角）为异面直线与所成的角．……（8分）

在△中，，，，……（10分）

（以下由余弦定理，或说明△是直角三角形求得）

或或．……（13分）

所以，异面直线与所成角的大小为（或另外两个答案）．……（14分）

19．（本题满分14分，第1小题8分，第2小题6分）

解：（1）作，垂足为，

由已知，，所以，

所以，，……（2分）

所以，

所以该船有触礁的危险．……（4分）

设该船自向东航行至点有触礁危险，

则，……（5分）

在△中，，，

，，

所以，（）．……（7分）

所以，该船自向东航行会有触礁危险．……（8分）

（2）设，在△中，由正弦定理得，，

即，，……（10分）

而，……（12分）

所以，当，即，

即时，该船没有触礁危险．……（14分）

20．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）

解：（1）当时，

．作图（如右所示）

……（4分）

（2）当时，．

若，则在区间上是减函数，

．……（5分）

若，则，图像的对称轴是直线．

当时，在区间上是减函数，．……（6分）

当，即时，在区间上是增函数，

．……（7分）

当，即时，，……（8分）

当，即时，在区间上是减函数，

．……（9分）

综上可得 ．……（10分）

（3）当时，，在区间上任取，，且，

则

．……（12分）

因为在区间上是增函数，所以，

因为，，所以，即，

当时，上面的不等式变为，即时结论成立．……（13分）

当时，，由得，，解得，…（14分）

当时，，由得，，解得，（15分）

所以，实数的取值范围为．……（16分）

21．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题8分，第3小题6分）

解：（1）由题意得， ①，

当时，，解得，……（1分）

当时，有 ②，

①式减去②式得，

于是，，，……（2分）

因为，所以，

所以数列是首项为，公差为的等差数列，……（3分）

所以的通项公式为（）．……（4分）

（2）设存在满足条件的正整数，则，，

，……（6分）

又，，…，，，，…，，

所以，，…，均满足条件，

它们组成首项为，公差为的等差数列．……（8分）

设共有个满足条件的正整数，则，解得．……（10分）

所以，中满足条件的正整数存在，共有个，的最小值为．……（12分）

（3）设，即，……（15分），

则

，其极限存在，且

．……（18分）

注：（为非零常数），（为非零常数），

（为非零常数，）等都能使存在．

按学生给出的答案酌情给分，写出数列正确通项公式的得3分，求出极限再得3分．

上海市嘉定区2009届高三上学期第一次质量调研（数学）