小初高学习2018-2019学年高中数学 考点59 空间直角坐标系庖丁解题 新人教A版必修2
发布时间:2019-04-07 12:43:22
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考点59 空间直角坐标系
1.如图所示,为了确定空间点的位置,我们建立空间直角坐标系:以单位正方体为载体,以O为原点,分别以射线OA、OC、OD′的方向为正方向,以线段OA、OC、OD′的长为单位长,建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,这时我们说建立了一个空间直角坐标系Oxyz,其中点O叫做坐标原点,x轴、y轴、z轴叫做坐标轴,通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面,通常建立的坐标系为右手直角坐标系,即右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,中指指向z轴的正方向.
2.空间一点M的坐标可用有序实数组(x,y,z)来表示,有序实数组(x,y,z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标,记作M(x,y,z),其中x叫做点M的横坐标,y叫做点M的纵坐标,z叫做点M的竖坐标.
【例】如图,在正方体OABC-O1A1B1C1中,棱长为2,E是B1B上的点,且|EB|=2|EB1|,则点E的坐标为( )
A.(2,2,1) B.(2,2,)
C.(2,2,) D.(2,2,)
【答案】D
【解题技巧】对于长方体或正方体,一般取相邻的三条棱为x,y,z轴建立空间直角坐标系;确定点的坐标时,最常用的方法就是求某些与轴平行的线段的长度,即将坐标转化为与轴平行的线段长度,同时要注意坐标的符号,这也是求空间点坐标的关键.
1.word/media/image11_1.png轴上的点的坐标的特点是( )
A.竖坐标是0 B.横坐标、纵坐标都是0
C.横坐标是0 D.横、纵、竖坐标不可能都是0
【答案】B
【解析】word/media/image12_1.png轴上任一点的坐标为(0,0,c).
【规律总结】空间中确定点M坐标的三种方法:
(1)过点M作MM1垂直于平面xOy,垂足为M1,求出M1的x坐标和y坐标,再由射线M1M的指向和线段MM1的长度确定z的坐标.
(2)构造以OM为体对角线的长方体,由长方体的三个棱长结合点M的位置,可以确定点M的坐标.
(3)若题中所给的图形中存在垂直于坐标轴的平面,或点M在坐标轴或坐标平面上,则利用这一条件,再作轴的垂线即可确定点M的坐标.
2.点A(–1,2,1)在word/media/image13_1.png轴上的投影点和在word/media/image14_1.png平面上的投影点的坐标分别为( )
A.(–1,0,1),(–1,2,0) B.(–1,0,0),(–1,2,0)
C.(–1,0,0),(–1,0,0) D.(–1,2,0),(–1,2,0)
【答案】B
【解析】点A(–1,2,1)在word/media/image13_1.png轴上的投影点的横坐标是–1,纵坐标和竖坐标都为0,故为(–1,0,0);点A(–1,2,1)在word/media/image14_1.png平面上的投影点的横、纵坐标不变且竖坐标是0,故为(–1,2,0).
3.在空间直角坐标系中,点P(1,,),过点P作平面xOy的垂线PQ,则垂足Q的坐标为( )
A.(0,,0) B.(0,,)
C.(1,0,) D.(1,,0)
【答案】D
【解析】Q在过P(1,,)且垂直于面xOy的线上,故Q的横纵坐标与P相等,Q在面xOy上,故Q 的竖坐标为0,应选D.
【解题技巧】求某点的坐标时,一般先找这一点在某一坐标平面上的射影,确定其两个坐标,再找出它在另一轴上的射影(或者它到这个坐标平面的距离加上正负号),确定第三个坐标.
4.设word/media/image17_1.png为任意实数,相应的所有点P(x,y,3)的集合是( )
A.word/media/image18_1.png轴上的两个点
B.过word/media/image18_1.png轴上的(0,0,3)点且与word/media/image18_1.png轴垂直的直线
C.过word/media/image18_1.png轴上的(0,0,3)点且与word/media/image18_1.png轴垂直的平面
D.以上答案都有可能
【答案】C
【解析】由于点word/media/image19_1.png的竖坐标为定值3,当word/media/image20_1.png时,点word/media/image19_1.png组成的集合为过(0,0,3)且与word/media/image18_1.png轴垂直的平面.
5.点P(1,2,–1)在xOz平面内的射影为B(x,y,z),则x+y+z的值为( )
A.0 B.2
C.3 D.4
【答案】A
6.如图,在空间直角坐标系中,BC=2,原点O是BC的中点,点D在平面yOz内,且∠BDC=90°,∠DCB=30°,求点D的坐标.
【解析】过点D作DE⊥BC,垂足为E.
在Rt△BDC中,∠BDC=90°,∠DCB=30°,BC=2,得|BD|=1,|CD|=,∴|DE|=|CD|sin 30°=,|OE|=|OB|-|BE|=|OB|-|BD|cos 60°=1-=,
∴点D的坐标为.
1.点(2,0,3)在空间直角坐标系中的( )
A.y轴上 B.xOy面上
C.xOz面上 D.第一象限内
【答案】C
【解析】因为该点的y坐标为0,根据坐标平面上点的特点可知该点在xOz面上.
2.设y∈R,则点P(1,y,2)构成的集合为( )
A.垂直于xOz平面的一条直线
B.平行于xOz平面的一条直线
C.垂直于y轴的一个平面
D.平行于y轴的一个平面
3.在空间直角坐标系中,已知点P(1,,),过点P作平面yOz的垂线PQ,则垂足Q的坐标为( )
A.(0,,0) B.(0,,)
C.(1,0,) D.(1,0,0)
【答案】B
【解析】平面yOz内点的横坐标为0.
4.如图,有一个棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1,以点D为坐标原点,分别以射线DA,DC,DD1的方向为正方向,以线段DA,DC,DD1的长度为单位长,建立三条数轴:x轴,y轴,z轴,从而建立起一个空间直角坐标系Oxyz.一只小蚂蚁从点D出发,不返回地沿着棱爬行了2个单位长.请用坐标表示小蚂蚁现在爬到了什么位置.
3D电影的原理
人的两眼之间大约有6厘米的距离,所以在观看除了正前方的物体外,两只眼睛必然有角度的不同,这个差别在大脑中就能自动形成上下、左右、前后、远近的区别,从而产生立体视觉.所以如果能制作出同一场景、影像的不同侧面(仅有微小的视差)让双眼各看一边,那么在大脑中就能自动形成这一场景的立体影像.而 3D电影的拍摄、制作和放映,就是模拟人眼观察景物的过程.它在拍摄时用两个电影摄影机,按人眼两瞳之间的距离(约65mm)拍摄同一景物,从而得到的不同角度的画幅(左、右眼图像),放映时再将图像同时放映到银幕上,这时银幕上会出现重叠交错的两个影像.观众在看3D电影时,只要戴上“立体眼镜”,就可以让左眼看到左图像,右眼看到右图像,此时在大脑中就会自动复现为触手可及立体影像.这就是3D的原理.