小专题(六)　平面直角坐标系中的创新题

(本专题的部分习题有难度，请根据实际情况选做)　　　　　　　　　　　　　　

类型1　新定义

解决有关点的坐标的新定义的问题时，只需将所定义的新运算转化为常规运算，再计算即可．

1．(黔西南中考)在平面直角坐标系中，对于平面内任一点(m，n)，规定以下两种变换：

(1)f(m，n)＝(m，－n)，如f(2，1)＝(2，－1)；

(2)g(m，n)＝(－m，－n)，如g(2，1)＝(－2，－1)．

按照以上变换有：f[g(3，4)]＝f(－3，－4)＝(－3，4)，那么g[f(－3，2)]＝(3，2)．

2．(常德中考)平面直角坐标系中有两点M(a，b)，N(c，d)，规定(a，b)⊕(c，d)＝(a＋c，b＋d)，则称点Q(a＋c，b＋d)为M，N的“和点”．若以坐标原点O与任意两点及它们的“和点”为顶点能构成四边形，则称这个四边形为“和点四边形”，现有点A(2，5)，B(－1，3)，若以O，A，B，C四点为顶点的四边形是“和点四边形”，则点C的坐标是(1，8)．

3．在平面直角坐标系中xOy中，对于任意两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)的“友好距离”，给出以下定义：

若|x1－x2|≥|y1－y2|，则点P1(x1，y1)与点P2(x2，y2)的“友好距离”为|x1－x2|；

若|x1－x2|＜|y1－y2|，则P1(x1，y1)与点P2(x2，y2)的“友好距离”为|y1－y2|.

(1)已知点A(－，0)，B为y轴上的一个动点，

①若点A与点B的“友好距离”为3，写出一个满足条件的点B的坐标：(0，3)或(0，－3)；

②直接写出点A与点B的“友好距离”的最小值．

(2)已知点C的坐标为(m， m＋3)(m＜0)，D(0，1)，求点C与点D的“友好距离”的最小值及相应的点C的坐标．

解：∵C(m， m＋3)(m＜0)，D(0，1)，

∴|m|＝|m＋2|.

∵m＜0，

当m≤－3时，m＝m＋2，解得m＝6(舍去)；

当－3＜m＜0时，－m＝m＋2，解得m＝－.

∴点C与点D的“友好距离”的最小值为|m|＝，

此时C(－，)．

类型2　规律探究

直角坐标系中，求点的坐标时，要根据点的运动方式找出点的坐标的变化规律，进而得出坐标．

4．如图，一个机器人从O点出发，向正东方向走3 m，到达A1点，再向正北走6 m到达A2点，再向正西走9 m到达A3点，再向正南走12 m，到达A4点，再向正东方向走15 m到达A5点，按如此规律走下去，当机器人走到A6点时，A6点的坐标是(A)

A．(9，12) B．(9，9) C．(9，6) D．(9，3)

5．如图，矩形ABCD的两边BC，CD分别在x轴，y轴上，点C与原点重合，点A(－1，2)，将矩形ABCD沿x轴向右翻滚，经过一次翻滚点A对应点记为A1，经过第二次翻滚点A对应点记为A2，…，依次类推，经过5次翻滚后点A对应点A5的坐标为(D)

A．(5，2) B．(6，0) C．(8，0) D．(8，1)

6．如图，矩形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙由点(2，0)同时出发，沿矩形BCDE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2 016次相遇地点的坐标是(B)

A．(－1，－1)

B．(2，0)

C．(－1，1)

D．(1，－1)

7．如图所示，在平面直角坐标系上有点A(1，0)，点A第一次跳动至点A1(－1，1)，第四次向右跳动5个单位后至点A4(3，2)，…，依此规律跳动下去，点A第100次跳动后至点A100的坐标是(C)

A．(50，50) B．(51，51)

C．(51，50) D．(50，59)

8．在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点，且规定：正方形内都不包含边界上的点．观察如图所示的中心在原点、一边平行于x轴的正方形：边长为1的正方形内有1个整点，边长为2的正方形内有1个整点，边长为3的正方形内有9个整点，…，则边长为9的正方形内的整点个数为(D)

A．64 B．49 C．36 D．81

9．(岳阳中考)如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长，P1，P2，P3，…，均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：P1(0，0)，P2(0，1)，P3(1，1)，P4(1，－1)，P5(－1，－1)，P6(－1，2)，…，根据这个规律，点P2 016的坐标为(504，－504)．

10．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)，…，按这样的运动规律，经过第2 016次运动后，动点P的坐标是(2_016，0)．

11．如图所示，在平面直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2.第三次将△OA2B2变换成△OA3B3，已知A(1，2)，A1(2，2)，A2(4，2)，A3(8，2)，B(2，0)，B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)．

(1)观察每次变换前后的三角形有何变化？找出规律再将将△OA3B3变换成△OA4B4，则A4的坐标是(16，2)，B4的坐标是(32，0)；

(2)若按第(1)题找到的规律将△OAB进行n次变换，得到△OAnBn，推测An的坐标是(2n，2)，Bn的坐标是(2n＋1，0)．

12．如图，动点从(0，3)出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形OABC的边时反弹，反弹后的路径与长方形的边的夹角为45°，第1次碰到矩形边上的点的坐标为(3，0)．

(1)画出第3次碰到矩形边上的点，并写出它的坐标；

(2)求第2 015次碰到矩形边上的点的坐标．

解：(1)图略，根据图形可知，第3次碰到矩形边上的点的坐标为(8，3)．

(2)通过上图观察可知，每碰撞6次回到始点．因为2 015÷6＝335……5，所以第2 015次碰到矩形边上的点的坐标为(1，4)．

八年级数学下册3图形与坐标小专题（六）平面直角坐标系中的创新题（选做）试题（新版）湘教版