2016-2017学年安徽省合肥一中高三（上）第三次段考数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知R是实数集，M={x|＜1}，N={y|y=}，则（CRM）∩N=（　　）

A．（1，2） B．[1，2] C．[1，2） D．[0，2]

2．下列命题中正确的是（（　　）

A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题

B．“a＞0，b＞0”是“+≥2”的充分必要条件

C．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2﹣3x+2≠0”

D．命题p：∃x0∈R，使得x02+x0﹣1＜0，则￢p：∀x∈R，使得x2+x﹣1≥0

3．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题是真命题的是（　　）

A．若m∥α，m∥β，则α∥β B．若m∥α，α∥β，则m∥β

C．若m⊂α，m⊥β，则α⊥β D．若m⊂α，α⊥β，则m⊥β

4．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第3天所织布的尺数为（　　）

A． B． C． D．

5．函数的图象大致是（　　）

A． B． C． D．

6．设D为△ABC所在平面内一点，，则（　　）

A． B．

C． D．

7．已知实数x，y满足约束条件，若函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则8a+16b的最小值为（　　）

A． B．4 C．2 D．

8．已知函数f（x）=．则f（）+f（）+…+f（）=（　　）

A．2017 B．2016 C．4034 D．4032

9．tan20°+4sin20°的值为（　　）

A． B． C． D．

10．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角B为锐角，且2sinAsinC=sin2B，则的取值范围为（　　）

A． B． C． D．

11．定义在R上的可导函数f（x）满足f（1）=1，且2f′（x）＞1，当x∈[﹣，]时，不等式f（2cosx）＞﹣2sin2的解集为（　　）

A．（，） B．（﹣，） C．（0，） D．（﹣，）

12．如图，点列{An}，{Bn}分别在某个锐角的两边上，且|AnAn+1|=|An+1An+2|，An≠An+2，n∈N*，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|，Bn≠Bn+2，n∈N*（P≠Q表示P与Q不重合）．若dn=|AnBn|，Sn为△AnBnBn+1的面积，则（　　）

A．{dn}是等差数列 B．{dn2}是等差数列

C．{Sn}是等差数列 D．{Sn2}是等差数列

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．已知向量，的夹角为，且|=1，， |=　　．

14．将函数f（x）=sinωx（其中ω＞0）的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点（，0），则ω的最小值是　　．

15．已知数列{an}是各项正数首项1等差数列，Sn为其前n项和，若数列{}也为等差数列，则的最小值是　　．

16．已知f（x）=，若a，b，c，d互不相同，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），则a+b+c+d的取值范围为　　．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．已知向量=（1，sinx），=（cos（2x+），sinx），函数f（x）=•﹣cos2x

（1）求函数f（x）的解析式及其单调递增区间；

（2）当x∈[0，]时，求函数f（x）的值域．

18．已知两数列{an}，{bn}满足（n∈N*），3b1=10a1，其中{an}是公差大于零的等差数列，且a2，a7，b2﹣1成等比数列．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）求数列{bn}的前n项和Sn．

19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，CD=AD=2AB=2AP．

（1）求证：平面PCD⊥平面PAD；

（2）在侧棱PC上是否存在点E，使得BE∥平面PAD，若存在，确定点E位置；若不存在，说明理由．

20．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acosC+asinC﹣b﹣c=0．

（1）求A；

（2）若AD为BC边上的中线，cosB=，AD=，求△ABC的面积．

21．已知函数f（x）=x﹣+alnx（a∈R）．

（1）若函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；

（2）已知g（x）=x2+（m﹣1）x+，m≤﹣，h（x）=f（x）+g（x），当时a=1，h（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求h（x1）﹣h（x2）的最小值．

22．已知函数f（x）=2ex+2ax﹣a2，a∈R．

（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；

（Ⅱ）若x≥0时，f（x）≥x2﹣3恒成立，求实数a的取值范围．

2016-2017学年安徽省合肥一中高三（上）第三次段考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知R是实数集，M={x|＜1}，N={y|y=}，则（CRM）∩N=（　　）

A．（1，2） B．[1，2] C．[1，2） D．[0，2]

【考点】交、并、补集的混合运算．

【分析】先通过解不等式及函数的值域求出集合M，N，然后进行补集、交集的运算即可．

【解答】解：M={x|x＜0，或x＞2}，N={y|y≥0}；

∴CRM={x|0≤x≤2}；

∴（CRM）∩N=[0，2]．

故选D．

2．下列命题中正确的是（（　　）

A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题

B．“a＞0，b＞0”是“+≥2”的充分必要条件

C．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2﹣3x+2≠0”

D．命题p：∃x0∈R，使得x02+x0﹣1＜0，则￢p：∀x∈R，使得x2+x﹣1≥0

【考点】命题的真假判断与应用．

【分析】A根据且命题和或命题的概念判断即可；

B均值定理等号成立的条件判断；

C或的否定为且；

D对存在命题的否定，应把存在改为任意，然后再否定结论．

【解答】解：A、若p∨q为真命题，p和q至少有一个为真命题，故p∧q不一定为真命题，故错误；

B、“a＞0，b＞0”要得出“+≥2”，必须a=b时，等号才成立，故不是充分必要条件，故错误；

C、命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1且x≠2，则x2﹣3x+2≠0”，故错误；

D、对存在命题的否定，应把存在改为任意，然后再否定结论，

命题p：∃x0∈R，使得x02+x0﹣1＜0，则￢p：∀x∈R，使得x2+x﹣1≥0，故正确．

故选：D．

3．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题是真命题的是（　　）

A．若m∥α，m∥β，则α∥β B．若m∥α，α∥β，则m∥β

C．若m⊂α，m⊥β，则α⊥β D．若m⊂α，α⊥β，则m⊥β

【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．

【分析】在A中，α与β相交或平行；在B中，m∥β或m⊂β；在C中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在D中，m⊥与β相交、平行或m⊂β．

【解答】解：由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：

在A中，若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故A错误；

在B中，若m∥α，α∥β，则m∥β或m⊂β，故B错误；

在C中，若m⊂α，m⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；

在D中，若m⊂α，α⊥β，则m⊥与β相交、平行或m⊂β，故D错误．

故选：C．

4．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第3天所织布的尺数为（　　）

A． B． C． D．

【考点】等比数列的前n项和．

【分析】设这女子每天分别织布an尺，则数列{an}是等比数列，公比q=2．利用等比数列的通项公式及其前n项公式即可得出．

【解答】解：设这女子每天分别织布an尺，

则数列{an}是等比数列，公比q=2．

则=5，解得．

∴a3==．

故选：A．

5．函数的图象大致是（　　）

A． B． C． D．

【考点】函数的图象．

【分析】先求出函数为奇函数，再根据当0＜x＜1时，y＜0，当x＞1时，y＞0，故排除B，C，D．

【解答】解：函数的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，1）∪（1，+∞），

则f（﹣x）==﹣f（x），

∴f（x）为奇函数，

∴y=f（x）的图象关于原点对称，故排除C，

当0＜x＜1时，y＜0，

当x＞1时，y＞0，故排除B，D，

故选：A

6．设D为△ABC所在平面内一点，，则（　　）

A． B．

C． D．

【考点】平行向量与共线向量．

【分析】将向量利用向量的三角形法则首先表示为，然后结合已知表示为的形式．

【解答】解：由已知得到如图

由===；

故选：A．

7．已知实数x，y满足约束条件，若函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则8a+16b的最小值为（　　）

A． B．4 C．2 D．

【考点】基本不等式；简单线性规划．

【分析】可以作出不等式的平面区域，根据目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为1，得到3a+4b=1，进而用基本不等式解答即可得出8a+16b的最小值．

【解答】解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，

当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）

过直线x﹣y+1=0与直线2x﹣y﹣2=0的交点A（3，4）时，

目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大1，

∴3a+4b=1．

∴8a+16b≥2=2=2，

则8a+16b的最小值为2．

故选A．

8．已知函数f（x）=．则f（）+f（）+…+f（）=（　　）

A．2017 B．2016 C．4034 D．4032

【考点】函数的值．

【分析】根据函数的奇偶性求值即可．

【解答】解：f（x）===2+，

令g（x+）=，得g（x+）是奇函数，

∴f（）+f（）+…+f（）=2×2016=4032，

故选：D．

9．tan20°+4sin20°的值为（　　）

A． B． C． D．

【考点】三角函数的化简求值．

【分析】首先利用弦切互化公式及正弦的倍角公式对原式进行变形，再两次运用和差化积公式，同时结合正余弦互化公式，转化为特殊角的三角函数值，则问题解决．

【解答】解：tan20°+4sin20°

=

=

=

=

=

=

=

=2sin60°=．

故选B．

10．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角B为锐角，且2sinAsinC=sin2B，则的取值范围为（　　）

A． B． C． D．

【考点】正弦定理．

【分析】正弦定理化简已知的式子得2ac=b2，结合余弦定理求出（a+c）2，代入化简后，由B的范围和余弦函数的性质求出的取值范围．

【解答】解：在△ABC中，∵2sinAsinC=sin2B，∴由正弦定理得2ac=b2，

由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，

∴a2+c2﹣2accosB=2ac，得（a+c）2=4ac+2accosB，

∴===，

∵角B为锐角，

∴cosB∈（0，1），则，

∴，

故选：B．

11．定义在R上的可导函数f（x）满足f（1）=1，且2f′（x）＞1，当x∈[﹣，]时，不等式f（2cosx）＞﹣2sin2的解集为（　　）

A．（，） B．（﹣，） C．（0，） D．（﹣，）

【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．

【分析】构造函数g（x）=f（x）﹣，可得g（x）在定义域R上是增函数，且g（1）=0，进而根据f（2cosx）＞﹣2sin2可得2cosx＞1，解得答案．

【解答】解：令g（x）=f（x）﹣，

则g′（x）=f′（x）＞0，

∴g（x）在定义域R上是增函数，

且g（1）=f（1）=0，

∴g（2cosx）=f（2cosx）﹣cosx=f（2cosx）﹣cosx，

令2cosx＞1，

则g（2cosx）＞0，即f（2cosx）＞+cosx，

又∵x∈[﹣，]，且2cosx＞1

∴x∈（﹣，），

故选：D

12．如图，点列{An}，{Bn}分别在某个锐角的两边上，且|AnAn+1|=|An+1An+2|，An≠An+2，n∈N*，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|，Bn≠Bn+2，n∈N*（P≠Q表示P与Q不重合）．若dn=|AnBn|，Sn为△AnBnBn+1的面积，则（　　）

A．{dn}是等差数列 B．{dn2}是等差数列

C．{Sn}是等差数列 D．{Sn2}是等差数列

【考点】数列与解析几何的综合．

【分析】设锐角的顶点为O，再设|OA1|=a，|OB1|=c，|AnAn+1|=|An+1An+2|=b，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|=d，由于a，c不确定，判断C，D不正确，设△AnBnBn+1的底边BnBn+1上的高为hn，运用三角形相似知识，hn+hn+2=2hn+1，由Sn=d•hn，可得Sn+Sn+2=2Sn+1，进而得到数列{Sn}为等差数列．

【解答】解：设锐角的顶点为O，|OA1|=a，|OB1|=c，

|AnAn+1|=|An+1An+2|=b，

|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|=d，

由于a，c不确定，

则{dn}不一定是等差数列，

{dn2}不一定是等差数列，

设△AnBnBn+1的底边BnBn+1上的高为hn，

由三角形的相似可得

==， ==，

两式相加可得， ==2，

即有hn+hn+2=2hn+1，

由Sn=d•hn，可得Sn+Sn+2=2Sn+1，

即为Sn+2﹣Sn+1=Sn+1﹣Sn，

则数列{Sn}为等差数列．

故选：C．

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．已知向量，的夹角为，且|=1，， |=　3　．

【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】利用向量的数量积化简求解即可．

【解答】解：向量，的夹角为，且|=1，，

可得： =7，

可得，

解得|=3．

故答案为：3．

14．将函数f（x）=sinωx（其中ω＞0）的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点（，0），则ω的最小值是　2　．

【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

【分析】首先利用三角函数的图象平移得到y=sinω（x﹣），代入点（，0）后得到sinω=0，由此可得ω的最小值．

【解答】解：将函数y=sinωx（其中ω＞0）的图象向右平移个单位长度，

所得图象对应的函数为y=sinω（x﹣）．

再由所得图象经过点（，0），可得sinω（﹣）=sinω=0，

∴ω=kπ，k∈z．

故ω的最小值是2．

故答案为：2．

15．已知数列{an}是各项正数首项1等差数列，Sn为其前n项和，若数列{}也为等差数列，则的最小值是　　．

【考点】数列与不等式的综合；数列的求和．

【分析】设数列{an}的公差为d（d＞0），即有an=1+（n﹣1）d，Sn=n+n（n﹣1）d，再由数列{}也为等差数列，可得d=2，可得an=2n﹣1，Sn=n2，由基本不等式及等号成立的条件，计算n=2，3的数值，即可得到所求最小值．

【解答】解：设数列{an}的公差为d（d＞0），

即有an=1+（n﹣1）d，

Sn=n+n（n﹣1）d，

=，

由于数列{}也为等差数列，

可得1﹣d=0，即d=2，

即有an=2n﹣1，Sn=n2，

则==（n+）≥•2=2，

当且仅当n=2取得等号，

由于n为正整数，即有n=2或3取得最小值．

当n=2时，取得3；n=3时，取得．

故最小值为．

故答案为：．

16．已知f（x）=，若a，b，c，d互不相同，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），则a+b+c+d的取值范围为　　．

【考点】分段函数的应用．

【分析】不妨设a＜b＜c，作出f（x）的图象，根据二次函数的对称轴可得a+d=8，根据对数函数的单调性和值域可得2＜a+b＜，进而可求得答案．

【解答】解：不妨设a＜b＜c＜d，

作出f（x）的图象，如图所示：

当x＞2时，f（x）的对称轴为x=4，

∵c与d关于x=4对称，

∴a+d=8，

由图象可知0＜a＜1＜b＜2，

当|log2x|=1，解得x=或x=2，

∴2＜a+b＜，

∴10＜a+b+c+d＜

故答案为：

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．已知向量=（1，sinx），=（cos（2x+），sinx），函数f（x）=•﹣cos2x

（1）求函数f（x）的解析式及其单调递增区间；

（2）当x∈[0，]时，求函数f（x）的值域．

【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．

【分析】（1）首先根据=（1，sinx），=（cos（2x+），sinx），求出；然后根据函数f（x）=•﹣cos2x，求出函数f（x）的解析式；最后根据正弦函数的特征，求出其单调递增区间即可；

（2）当x∈[0，]时，可得2x，然后求出函数f（x）的值域即可．

【解答】解：（1）函数f（x）=•﹣cos2x

=cos2xcos﹣sin2xsin

=，

由2k，

可得k，

单调递增区间为：[k，]；

（2）当x∈[0，]时，

可得2x，

因此sin（2x+），

所以函数f（x）的值域是[．

18．已知两数列{an}，{bn}满足（n∈N*），3b1=10a1，其中{an}是公差大于零的等差数列，且a2，a7，b2﹣1成等比数列．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）求数列{bn}的前n项和Sn．

【考点】数列的求和；数列递推式．

【分析】（1）由已知求出等差数列的公差和首项即可；

（Ⅱ）∵an=2n+1，所以bn=1+（2n+1）•3n，利用分组、错位相减求和即可．

【解答】解：设数列{an}的公差为d（d＞0），

∵3b1=10a1，∴3（1+3a1）=10a1，∴a1=3

又a2=a1+d=3+d，a7=a1+6d=3（1+2d），∵b2﹣1=9a2=9（3+d），

由a2，a7，b2﹣1成等比数列得，9（1+2d）2=9（3+d）2，∵d＞0，∴1+2d=3+d，d=2

∴an=3+（n﹣1）×2=2n+1．

（Ⅱ）∵an=2n+1，所以bn=1+（2n+1）•3n

于是， 3n）．

令T=3×31+5×32+…+（2n+1）×3n…①，3T=3×32+5×33+…+（2n+1）×3n+1…②

①﹣②得﹣2T═3×31+2×32+…+2×3n﹣（2n+1）×3n+1=9+2×

∴，∴．

19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，CD=AD=2AB=2AP．

（1）求证：平面PCD⊥平面PAD；

（2）在侧棱PC上是否存在点E，使得BE∥平面PAD，若存在，确定点E位置；若不存在，说明理由．

【考点】平面与平面垂直的判定．

【分析】（1）根据面面垂直的判断定理即可证明平面PCD⊥平面PAD；

（2）根据线面平行的性质定理即可得到结论．

【解答】（1）证明：∵PA⊥平面ABCD

∴PA⊥CD ①

又∵AB⊥AD，AB∥CD，

∴CD⊥AD ②

由①②可得 CD⊥平面PAD

又CD⊂平面PCD

∴平面PCD⊥平面PAD

（2）解：当点E是PC的中点时，BE∥平面PAD．

证明如下：设PD的中点为F，连接EF，AF

易得EF是△PCD的中位线

∴EF∥CD，EF=CD

由题设可得 AB∥CD，AF=CD

∴EF∥AB，EF=AB

∴四边形ABEF为平行四边形

∴BE∥AF

又BE⊄平面PAD，AF⊂平面PAD

∴BE∥平面PAD

20．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acosC+asinC﹣b﹣c=0．

（1）求A；

（2）若AD为BC边上的中线，cosB=，AD=，求△ABC的面积．

【考点】正弦定理．

【分析】（1）由正弦定理化简已知的式子，由内角和定理、诱导公式、两角和差的正弦公式化简后，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出A；

（2）由题意和平方关系求出sinB，由内角和定理、诱导公式、两角和的正弦公式求出sinC，由正弦定理求出a和c关系，根据题意和余弦定理列出方程，代入数据求出a、c，由三角形的面积公式求出答案．

【解答】解：（1）由题意知，acosC+asinC﹣b﹣c=0，

由正弦定理得：sinAcosC+sinAsinC﹣sinB﹣sinC=0，

由sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C）得，

sinAcosC+sinAsinC﹣sin（A+C）﹣sinC=0，

则sinAsinC﹣cosAsinC﹣sinC=0，

又sinC≠0，则sinA﹣cosA=1，

化简得，，即，

又0＜A＜π，所以A=；

（2）在△ABC中，cosB=得，sinB==…

则sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB

==…

由正弦定理得， ==…

设a=7x、c=5x，

在△ABD中，由余弦定理得：

AD2=AB2+BD2﹣2•AB•BD•cosB，

，

解得x=1，

则a=7，c=5…

所以△ABC的面积S==…

21．已知函数f（x）=x﹣+alnx（a∈R）．

（1）若函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；

（2）已知g（x）=x2+（m﹣1）x+，m≤﹣，h（x）=f（x）+g（x），当时a=1，h（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求h（x1）﹣h（x2）的最小值．

【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的极值．

【分析】（1）利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可．

（2）求出函数h（x）的表达式，求出函数h（x）的导数，利用函数极值，最值和导数之间的关系进行求解．

【解答】解：（1）∵f（x）=x﹣+alnx，

∴f′（x）=1++，

∵f（x）在[1，+∞）上单调递增，

∴f′（x）=1++≥0在[1，+∞）上恒成立，

∴a≥﹣（x+）在[1，+∞）上恒成立，

∵y=﹣x﹣在[1，+∞）上单调递减，

∴y≤﹣2，

∴a≥﹣2；

（2）h（x）=f（x）+g（x）=lnx+x2+mx，其定义域为（0，+∞），

求导得，h′（x）=，

若h′（x）=0两根分别为x1，x2，则有x1•x2=1，x1+x2=﹣m，

∴x2=，从而有m=﹣x1﹣，

∵m≤﹣，x1＜x2，

∴x1∈（﹣∞，）∪（，+∞）

则h（x1）﹣h（x2）=h（x1）﹣h（）=2lnx1+（﹣）+（﹣x1﹣）（x1﹣），

令φ（x）=2lnx﹣（x2﹣），x∈[，1]．

则[h（x1）﹣h（x2）]min=φ（x）min，

φ′（x）=﹣，

当x∈（，1]时，φ′（x）＜0，

∴φ（x）在[，1]上单调递减，

φ（x）min=φ（1）=0，

∴h（x1）﹣h（x2）的最小值为0．

22．已知函数f（x）=2ex+2ax﹣a2，a∈R．

（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；

（Ⅱ）若x≥0时，f（x）≥x2﹣3恒成立，求实数a的取值范围．

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，然后对a分类分析，a≥0时，f'（x）＞0恒成立，此时f（x）在R上单调递增，无极值；当a＜0时，由分别由f'（x）＞0和f'（x）＜0求得x的取值范围，得到原函数的单调区间并求得极值；

（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣x2+3=2ex﹣（x﹣a）2+3，x≥0，求其导函数，由导函数的导数恒大于等于0可得导函数单调递增，然后对a分类分析求解实数a的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=2ex+2a，

①a≥0时，f'（x）＞0恒成立，此时f（x）在R上单调递增，无极值；

②当a＜0时，由f'（x）＞0，得x＞ln（﹣a）；

由f'（x）＜0，得x＜ln（﹣a），此时f（x）在（﹣∞，ln（﹣a））上递减，在[ln（﹣a），+∞）上递增．

在x=ln（﹣a）处取得极小值，f（x）极小=f（ln（﹣a））=2aln（﹣a）﹣2a﹣a2 ．

综上可得：a≥0时，单调递增区间为（﹣∞，+∞），无极值；a＜0时，单调递减区间为（﹣∞，ln（﹣a）），

递增区间为[ln（﹣a），+∞），在x=ln（﹣a）处取得极小值，f（x）极小=f（ln（﹣a））=2aln（﹣a）﹣2a﹣a2，无极大值．

（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣x2+3=2ex﹣（x﹣a）2+3，x≥0，

则g′（x）=2（ex﹣x+a），

又令h（x）=2（ex﹣x+a），则h′（x）=2（ex﹣1）≥0，

∴h（x）在[0，+∞）上递增，且h（0）=2（a+1）．

①当a≥﹣1时，g′（x）≥0恒成立，即函数g（x）在[0，+∞）上递增，

从而须满足g（0）=5﹣a2≥0，解得，

又a≥﹣1，∴；

②当a＜﹣1时，则∃x0＞0，使h（x0）=0，且x∈（0，x0）时，h（x）＜0，

即g′（x）＜0，即g（x）递减，x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，即g'（x）＞0，即g（x）递增．

∴，又，

从而，解得0＜x0≤ln3，

由⇒，

令M（x）=x﹣ex，0＜x≤ln3，

则M′（x）=1﹣ex＜0，

∴M（x）在（0，ln3]上递减，

则M（x）≥M（ln3）=ln3﹣3，又M（x）＜M（0）=﹣1，

故 ln3﹣3≤a＜﹣1，

综上ln3﹣3≤a≤5．

2017年2月11日

安徽省合肥一中2017届高三上学期第三次段考数学试卷