错位相减法求和专项

错位相减法求和适用于{an`bn }型数列，其中{an},{bn}分别是等差数列和等比数列，在应用过程中要注意：

项的对应需正确；

相减后应用等比数列求和部分的项数为（n-1）项；

若等比数列部分的公比为常数，要讨论是否为1

1. 已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数，数列的前项和为，点均在函数的图象上．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，是数列的前项和，求．

[解析]考察专题：，，，；难度：一般

[答案] （Ⅰ）由于二次函数的图象经过坐标原点，

则设，，

∴，∴，

又点均在函数的图象上，

∴．

∴当时，，

又，适合上式，

∴．．．．．．．．．．．．（7分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

∴，

∴，

上面两式相减得：

．

整理得．．．．．．．．．．．．．．（14分）

2.已知数列的各项均为正数，是数列的前n项和，且

．

  （1）求数列的通项公式；

  （2）的值.

[答案]查看解析

[解析] （1）当n = 1时，解出a1 = 3,

又4Sn = an2 + 2an－3　　①

    当时    4sn－1 = + 2an-1－3    ②  

    ①－②  , 即，

∴ ,

（），

是以3为首项，2为公差的等差数列，   6分

．

   （2）　　③

又　　④

④－③

    =

　　       12分

3.（2013年四川成都市高新区高三4月月考，19,12分）设函数，数列前项和，，数列，满足.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设数列的前项和为，数列的前项和为，证明： .

[答案] (Ⅰ) 由，得

是以为公比的等比数列，故.

（Ⅱ）由，得

…，

记…+，

用错位相减法可求得：

. （注：此题用到了不等式：进行放大. ）

4.已知等差数列中，；是与的等比中项．

（Ⅰ）求数列的通项公式：

（Ⅱ）若．求数列的前项和

[解析]（Ⅰ）因为数列是等差数列，是与的等比中项．所以，

又因为，设公差为，则，

所以，解得或，

当时, ，；

当时，.

所以或.     （6分)

（Ⅱ）因为，所以，所以，

所以，

所以

两式相减得，

所以.     （13分）

5.已知数列的前项和，，，等差数列中，且公差.

（Ⅰ）求数列、的通项公式；

（Ⅱ）是否存在正整数，使得 若存在，求出的最小值，若不存在，说明理由.

[解析]（Ⅰ）时，相减得：

，又，，

数列是以1为首项，3为公比的等比数列，.

又，，. （6分）

（Ⅱ）

令………………①

…………………②

①－②得：

，，即，当，，当。

的最小正整数为4.  （12分）

6. 数列满足，等比数列满足.

（Ⅰ）求数列，的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和.

[解析] （Ⅰ）由，所以数列是等差数列，又，

所以，

由，所以，，所以，即，

所以.     （6分)

   （Ⅱ）因为，所以，

则，

所以，

两式相减的，

所以. (12分）

7. 已知数列满足，其中为数列的前项和．

(Ⅰ) 求的通项公式；

(Ⅱ) 若数列满足： () ，求的前项和公式.

[解析]Ⅰ) ∵，①

∴       ②

②－①得，，又时，，，

.      （5分）

(Ⅱ) ∵，

，

，

两式相减得，

.         （13分）

8.设d为非零实数, an=[d+2d2+…+(n-1) dn-1+ndn](n∈N*) .

(Ⅰ) 写出a1, a2, a3并判断{an}是否为等比数列. 若是, 给出证明;若不是, 说明理由;

(Ⅱ) 设bn=ndan(n∈N*) , 求数列{bn}的前n项和Sn.

[答案] (Ⅰ) 由已知可得a1=d, a2=d(1+d) , a3=d(1+d) 2.

当n≥2, k≥1时, =, 因此

an=.

由此可见, 当d≠-1时, {an}是以d为首项, d+1为公比的等比数列;

当d=-1时, a1=-1, an=0(n≥2) , 此时{an}不是等比数列. (7分)

(Ⅱ) 由(Ⅰ) 可知, an=d(d+1) n-1,

从而bn=nd2(d+1) n-1,

Sn=d2[1+2(d+1) +3(d+1) 2+…+(n-1) (d+1) n-2+n(d+1) n-1]. ①

当d=-1时, Sn=d2=1.

当d≠-1时, ①式两边同乘d+1得

(d+1) Sn=d2[(d+1) +2(d+1) 2+…+(n-1) (d+1) n-1+n(d+1) n]. ②

①, ②式相减可得

-dSn=d2[1+(d+1) +(d+1) 2+…+(d+1) n-1-n(d+1) n]

=d2.

化简即得Sn=(d+1) n(nd-1) +1.

综上, Sn=(d+1) n(nd-1) +1. (12分)

9. 已知数列{an}满足a1=0, a2=2, 且对任意m, n∈N*都有a2m-1+a2n-1=2am+n-1+2(m-n) 2.

(Ⅰ) 求a3, a5;

(Ⅱ) 设bn=a2n+1-a2n-1(n∈N*) , 证明:{bn}是等差数列;

(Ⅲ) 设cn=(an+1-an) qn-1(q≠0, n∈N*) , 求数列{cn}的前n项和Sn.

[答案] (Ⅰ) 由题意, 令m=2, n=1可得a3=2a2-a1+2=6.

再令m=3, n=1可得a5=2a3-a1+8=20. (2分)

(Ⅱ) 证明:当n∈N*时, 由已知(以n+2代替m) 可得a2n+3+a2n-1=2a2n+1+8.

于是[a2(n+1) +1-a2(n+1) -1]-(a2n+1-a2n-1) =8, 即bn+1-bn=8.

所以, 数列{bn}是公差为8的等差数列. (5分)

(Ⅲ) 由(Ⅰ) 、(Ⅱ) 的解答可知{bn}是首项b1=a3-a1=6, 公差为8的等差数列.

则bn=8n-2, 即a2n+1-a2n-1=8n-2.

另由已知(令m=1) 可得, an=-(n-1) 2.

那么, an+1-an=-2n+1=-2n+1=2n.

于是, cn=2nqn-1.

当q=1时, Sn=2+4+6+…+2n=n(n+1) .

当q≠1时, Sn=2·q0+4·q1+6·q2+…+2n·qn-1.

两边同乘q可得

qSn=2·q1+4·q2+6·q3+…+2(n-1) ·qn-1+2n·qn.

上述两式相减即得

(1-q) Sn=2(1+q1+q2+…+qn-1) -2nqn=2·-2nqn=2·,

所以Sn=2·.

综上所述, Sn=(12分)

10.已知数列{an}是公差不为零的等差数列,a1=2,且a2,a4,a8成等比数列.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)求数列{an·}的前n项和.

[答案] (1)设数列{an}的公差为d(d≠0),

由条件可知:(2+3d)2=(2+d)·(2+7d),解得d=2.(4分)

故数列{an}的通项公式为an=2n(n∈N*).(6分)

(2)由(1)知an·=2n×32n,设数列{an·}的前n项和为Sn,

则Sn=2×32+4×34+6×36+…+2n×32n,

32Sn=2×34+4×36+…+(2n-2) ×32n+2n×32n+2,

故-8Sn=2(32+34+36+…+32n)-2n×32n+2,(8分)

所以数列{an·}的前n项和Sn=.(12分)

11.已知等差数列满足又数列中,且.

(1)求数列,的通项公式;

(2)若数列,的前项和分别是,且求数列的前项和;

(3)若对一切正整数恒成立，求实数的取值范围.

[答案]( 1)设等差数列的公差为,则有

解得

，

，，

数列是以为首项,公比为的等比数列.

…………4分

(2)由(1)可得

，

∴

得，

…………10分(3)，

∴

当时, 取最小值,,

，即，

当时，恒成立；

当时，由，解得,

即实数的取值范围是. …………14分

12.设为数列的前项和，对任意的，都有为常数，且．

（1）求证：数列是等比数列；

（2）设数列的公比，数列满足，求数列的通项公式；

（3）在满足（2）的条件下，求数列的前项和．

[答案] 188.（1）当时，，解得．

当时，，

即．

又为常数，且，

∴．

∴数列是首项为1，公比为的等比数列．………………4分

（2）由（1）得，，．

∵，∴，，

∴，∴．

∴是首项为，公差为1的等差数列．

∴，

∴（）．…………………9分

（3）由（2）知，则．

∴， ①

， ②

②－①得，

∴． ………………14分

13.设等差数列{an}的前n项和为Sn, 且S4=4S2, a2n=2an+1.

(Ⅰ) 求数列{an}的通项公式;

(Ⅱ) 设数列{bn}的前n项和为Tn, 且Tn+=λ(λ为常数), 令cn=b2n(n∈N*), 求数列{cn}的前n项和Rn.

[答案] (Ⅰ) 设等差数列{an}的首项为a1, 公差为d.

由S4=4S2, a2n=2an+1得

解得a1=1, d=2.

因此an=2n-1, n∈N*.

(Ⅱ) 由题意知: Tn=λ-,

所以n≥2时, bn=Tn-Tn-1=-+=.

故cn=b2n==(n-1) , n∈N*.

所以Rn=0×+1×+2×+3×+…+(n-1) ×,

则Rn=0×+1×+2×+…+(n-2) ×+(n-1) ×,

两式相减得

Rn=+++…+-(n-1) ×

=-(n-1) ×

=-,

整理得Rn=.

所以数列{cn}的前n项和Rn=.

错位相减法求和附答案解析