1第九届东南地区数学奥林匹克试题参考解答第一天1. 求一个正整数组，使得依次成等比(,,)(1)l m n l m n <<<111,,l m n k k l k m k k k ==+=+∑∑∑数列．（陶平生提供）解 对，记．设*N t ∈1(1)2t t k t t S k =+==∑111,,l m n l m l n m k k l k m k S k S S k S S ==+=+==-=-∑∑∑依次成等比数列，则， ①2()()l n m m l S S S S S -=-即，于是应有，即 ．2()l n m l m S S S S S +-=2|l m S S 222(1)(1)l l m m ++令，并取，于是，则，1(1)m l l +=+3l =11m =3116,66l m S S S S ====代人①得，即，此时满足．666n S =(1)6662n n +=36n =因此是一组满足条件的解．(,,)(3,11,36)l m n =注 满足条件的数组不是唯一的，例如还有，(,,)l m n (8,11,13),(5,9,14)等等，（可以证明，这种数组有无穷多）．(2,12,62),(3,24,171)

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