量子霍尔效应

摘要:本文的目的是要用朗道能级理论来解释整数量子霍尔效应，先求解自由电子朗道能级，然后运用到晶体空间中，求解了晶体空间中朗道能级的简并度，初步计算了霍尔电阻的公式，再考虑到局域态理论，解释了整数量子霍尔效应中出现平台的原因。

关键词：朗道能级，量子霍尔效应，简并度，局域态

Abstract：The purpose of this paper is to explain the integer quantum Hall effect with the theory of Landau energy level.At first,we solve the fuction of free electron Landau energy level .Then we applied it to the crystal space and solved the degeneracy of Landau energy level in crystal space .It calculate the Hall resistance preliminarily .we also applied local state theory, to explain the reason why the platform appears in the integer quantum Hall effect.

Key word: Landau energy level, quantum Hall effect, degeneracy, local state

一． 朗道能级

朗道能级是磁场中电子做回旋运动的量子化能级，电子在均匀磁场中运动时，沿磁场方向的运动不受影响，但在垂直于磁场方向的平面内做回旋运动。运动方程和简谐运动具有一样的形式，能量是量子化的，形成的能级称为朗道能级。朗道能级是形成量子霍尔效应的基础。

电子在磁场中运动时相当于把 换成 其中 为矢量势，哈密顿量表为

(1.1)

如果磁场沿z轴方向，我们选取一个规范，

(1.2)

(1.3)

则哈密顿量表示为 (1.4)

可将波函数本征态写成 (1.5)

代入本征方程 (1.6)

解得 (1.7)

其中 ， (1.8)

这样本征能量表达式为 (1.9)

图1.朗道能级示意图

由此我们得到这样的结论：电子在磁场中运动时，沿着磁场方向的运动方程是平面波形式，是自由的，而垂直于磁场方向，电子做回旋运动，回旋中心是，能级量子化，这样产生的能级就是朗道能级，而且能量值是等间距的。

二．晶体中朗道能级的简并度

前面我们讨论的朗道能级是在自由空间中计算的，没有涉及晶格周期势场，当电子在晶体中运动时，受到周期势场的作用，严格求解磁场中晶体电子的运动是很困难的，在这种情况下我们常将周期势场的影响概括成有效质量的变化，在这个前提下，前面自由电子中讨论的结论可以推广到晶体中的电子，只需将前面的质量 改写成 ，例如：

能量 (2.1)

对于二维自由电子气模型，在垂直方向上加磁场，能谱分裂成一系列间隔为 的朗道能级。朗道能级是高度简并的。这里与自由空间电子模型不同，晶体中电子运动有边界条件的限制，其波矢不是连续的，而是量子化的。

假设二维自由电子气尺寸

我们利用边界条件，并利用布洛赫定理得： (2.1)

所以，

代入 ，得

取 ，得

的个数为的个数，即为能级简并度。

图2.朗道能级简并度图

由此，我们得到这样一个结论：晶体中电子运动的朗道能级是高度简并的，且简并度的大小与磁场强度大小呈线性关系，磁场强度越大，能级简并度就越高。

三．霍尔电阻的计算

在经典霍尔效应中，我们已经计算了霍尔电阻，这里是载流子数。对于单位面积的二维自由电子气模型，当磁场足够强，温度很低时，电子就会全部分布在较低的能级上，假设磁场足够强，使电子完全占据第一个能级，则载流子数即为简并度数，

即： (3.1)

代入霍尔电阻公式得 。 (3.2)

假设有个能级被电子占据，则可计算霍尔电阻。但电子不是正好占据某个朗道能级，实际的霍尔材料中存在缺陷，并不是严格的周期势场，因而朗道能级的简并度会下降，能级出现展宽形成局域态，当磁场逐渐降低时，局域态会逐渐被填充，而扩展态（原周期势场下的朗道能级）状态不变，如图3所示，因而电流不变，霍尔电阻不变，形成一个台阶式的曲线，这就是整数量子霍尔效应，如图4所示。

从这个图我们明显能看出，在磁场很强的情况下，霍尔电阻呈现台阶式变化，随着磁场的降低，台阶的间距逐渐变小，直至不能区分，形成一条直线。这条直线就是我们在经典霍尔效应中的霍尔电阻与磁场强度的线性关系。

图3.电子填充示意图 图4.量子霍尔电阻关示意图

四．结论

量子霍尔效应是朗道能级中电子填充的结果，朗道能级的简并度随磁场的增大而升高，考虑到局域态电子模型，在含有缺陷的材料中，朗道能级并不能形成真正的简并，而是出现展宽形成局域态，而局域态电子的填充并不会对电流产生影响，随着磁场的增大，霍尔电阻就会出现量子化平台，这是解释整数霍尔效应的关键。

五．参考文献

[1]江丕桓.量子霍尔效应的发现.物理，1986，15（7）：393-395.

[2]黄永南.量子霍尔效应简介[J].固体电子学研究与进展，1986，6（3）：220-225.

[3]曾谨言.量子力学教程第三版，科学出版社2008:122-126.

[4]Ohno,IL,making nonmagnetic semiconductors ferromagnetic [L].science,1998,(281):951-956.

整数量子霍尔效应调研报告