专题复习 函数应用题

类型之一 与函数有关的最优化问题

函数是一描述现实世界变量之间关系的重要数学模型，在人们的生产、生活中有着广泛的应用，利用函数的解析式、图象、性质求最大利润、最大面积的例子就是它在最优化问题中的应用．

1.（莆田市）枇杷是莆田名果之一，某果园有100棵枇杷树。每棵平均产量为40千克，现准备多种一些枇杷树以提高产量，但是如果多种树，那么树与树之间的距离和每一棵数接受的阳光就会减少，根据实践经验，每多种一棵树，投产后果园中所有的枇杷树平均每棵就会减少产量0.25千克，问：增种多少棵枇杷树，投产后可以使果园枇杷的总产量最多？最多总产量是多少千克？

注：抛物线的顶点坐标是

2.（贵阳市）某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．

设每个房间每天的定价增加元．求：

（1）房间每天的入住量（间）关于（元）的函数关系式．

（2）该宾馆每天的房间收费（元）关于（元）的函数关系式．

（3）该宾馆客房部每天的利润（元）关于（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，有最大值？最大值是多少？

例13：某商场经营某种品牌的服装，进价为每件60元，根据市场调查发现，在一段时间内，销售单价是100元时，销售量是200件，而销售单价每降低1元，就可多售出10件

(1)写出销售该品牌服装获得的利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式。

（2）若服装厂规定该品牌服装销售单价不低于80元，且商场要完成不少于350件的销售任务，则商场销售该品牌服装获得最大利润是多少元？

类型之二 图表信息题

本类问题是指通过图形、图象、表格及一定的文字说明来提供实际情境的一类应用题，解题时要通过观察、比较、分析，从中提取相关信息，建立数学模型，最终达到解决问题的目的。

3．（08江苏南京）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的函数关系．根据图象进行以下探究：

信息读取

（1）甲、乙两地之间的距离为 km；

（2）请解释图中点的实际意义；

图象理解

（3）求慢车和快车的速度；

（4）求线段所表示的与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

问题解决

（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇．求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？

类型之三 方案设计

方案设计问题，是根据实际情境建立函数关系式，利用函数的有关知识选择最佳方案，判断方案是否合理，提出方案实施的见解等。

4．某房地产开发公司计划建A、B两种户型的住房共80套，该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于建房，两种户型的建房成本和售价如下表：

（1）该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案？

（2）该公司如何建房获得利润最大？

（3）根据市场调查，每套B型住房的售价不会改变，每套A型住房的售价将会提高a万元（a>0），且所建的两种住房可全部售出．该公司又将如何建房获得利润最大？（注：利润=售价－成本）

类型之四 分段函数应用题

分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其关系式（或图象）也不同的函数，分段函数的应用题多设计成两种情况以上，解答时需分段讨论。在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题，因此，分段计算的应用题成了近几年中考应用题的一种重要题型。

5.（赣州市）年春节前夕，南方地区遭遇罕见的低温雨雪冰冻天气，赣南脐橙受灾滞销．为了减少果农的损失，政府部门出台了相关补贴政策：采取每千克补贴0.2元的办法补偿果农．

下图是“绿荫”果园受灾期间政府补助前、后脐橙销售总收入y（万元）与销售量x（吨）的关系图．请结合图象回答以下问题：

（1）在出台该项优惠政策前，脐橙的售价为每千克多少元？

（2）出台该项优惠政策后，“绿荫”果园将剩余脐橙按原售价打九折赶紧全部销完，加上政府补贴共收入11.7万元，求果园共销售了多少吨脐橙？

（3）①求出台该项优惠政策后y与x的函数关系式；②去年“绿荫”果园销售30吨，总收入为10.25万元；若按今年的销售方式，则至少要销售多少吨脐橙？总收入能达到去年水平．

6．（2009成都）某大学毕业生响应国家“自主创业”的号召，投资开办了一个装饰品商店．该店采购进一种今年新上市的饰品进行了30天的试销售，购进价格为20元／件．销售结束后，得知日销售量P(件)与销售时间x(天)之间有如下关系：P=-2x+80(1≤x≤30，且x为整数)；又知前20天的销售价格 (元/件)与销售时间x(天)之间有如下关系： (1≤x≤20，且x为整数)，后10天的销售价格 (元/件)与销售时间x(天)之间有如下关系：=45(21≤x≤30，且x为整数)．

(1)试写出该商店前20天的日销售利润(元)和后l0天的日销售利润(元)分别与销售时间x(天)之间的函数关系式；

(2)请问在这30天的试销售中，哪一天的日销售利润最大?并求出这个最大利润．

注：销售利润＝销售收入一购进成本．

7．通过实验研究，专家们发现：一个会场听众听讲的注意力指标数是随着演讲者演讲时间的变化而变化的，演讲开始时，听众的兴趣激增，中间有一段时间，听众的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散。听众注意力指标数y随时间x(分钟)变化的函数图像如下图所示(y越大表示听众注意力越集中)。当0≤x≤10时，图像是抛物线的一部分，当10≤x≤20和20≤x≤40时，图像是线段。

    (1)当0≤x≤10时，求注意力指标数y与时间x的函数关系式；

    (2)王标同学竞选学生会干部需要演讲24分钟，问他能否经过适当安排，使听众在听他的演讲时，注意力的指标数都不低于36？若能，请写出他安排的时间段；若不能，也请说明理由。

8．（2008仙桃）华宇公司获得授权生产某种奥运纪念品，经市场调查分析，该纪念品的销售量（万件）与纪念品的价格（元／件）之间的函数图象如图所示，该公司纪念品的生产数量（万件）与纪念品的价格（元／件）近似满足函数关系式.，

若每件纪念品的价格不小于20元，且不大于40元.请解答下列问题：

（1）求与的函数关系式，并写出的取值范围；

（2）当价格为何值时，使得纪念品产销平衡（生产量与销售量相等）；

（3）当生产量低于销售量时，政府常通过向公司补贴纪念品的价格差来提高生产量，促成新的产销平衡.若要使新的产销平衡时销售量达到46万件，政府应对该纪念品每件补贴多少元？

9．某加油站五月份营销一种油品的销售利润（万元）与销售量（万升）之间函数关系的图象如图中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止至15日进油时的销售利润为5.5万元．（销售利润＝（售价－成本价）×销售量）

请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题：

（1）求销售量为多少时，销售利润为4万元；

（2）分别求出线段AB与BC所对应的函数关系式；

（3）我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在OA、AB、BC三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大？（直接写出答案）

10．（扬州2006年中考题）我市某企业生产的一批产品上市后40天内全部售完，该企业对这一批产品上市后每天的销售情况进行了跟踪调查．表一、表二分别是国内、国外市场的日销售量y1、y2（万件）与时间t（t为整数,单位：天）的部分对应值．

　　表一：国内市场的日销售情况 

表二：国外市场的日销售情况 

  （1）请你从所学过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示y1与t的变化规律，写出y1与t的函数关系式及自变量t的取值范围；

　　（2）分别探求该产品在国外市场上市30天前与30天后（含30天）的日销售量y2与时间t所符合的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；

　　（3）设国内、外市场的日销售总量为y万件，写出y与时间t的函数关系式．试用所得函数关系式判断上市后第几天国内、外市场的日销售总量y最大，并求出此时的最大值．

11．(2007东营)某公司专销产品A，第一批产品A上市40天内全部售完。该公司对第一批产品A上市后的市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其中图1中的折线表示的是市场日销售量与上市时间的关系；图2中的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系。

（1）试写出第一批产品A的市场日销售量y与上市时间t的关系式；

（2）第一批产品A上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润是多少万元？

答案部分

1.【解析】先建立函数关系式，把它转化为二次函数的一般形式，然后根据二次函数的顶点坐标公式进行求极值.

【答案】解：设增种x棵树，果园的总产量为y千克，依题意得：y=（100 + x）(40 – 0.25x ) =4000 – 25x + 40 x – 0,25x2 = - 0.25 x2 + 15x + 4000

因为a= - 0.25＜0，所以当，

y有最大值

答：增种30棵枇杷树，投产后可以使果园枇杷的总产量最多，最多总产量是4225千克.

2.【解析】解决在产品的营销过程中如何获得最大利润的“每每型”试题成为近年中考的热点问题。每每型”试题的特点就是每下降，就每减少，或每增长，就每减少。解决这类问题的关键就是找到房价增加后,该宾馆每天的入住量。“每每型”试题都可以转化为二次函数最值问题，利用二次函数的图像和性质加以解决.

【答案】（1）

（2）

（3）

当x=210时，有最大值．

此时，x+200=410，就是说，当每个房间的定价为每天410元时，有最大值，且最大值是15210元．

3. 解：（1）900； 1分

（2）图中点的实际意义是：当慢车行驶4h时，慢车和快车相遇． 2分

（3）由图象可知，慢车12h行驶的路程为900km，

所以慢车的速度为； 3分

当慢车行驶4h时，慢车和快车相遇，两车行驶的路程之和为900km，所以慢车和快车行驶的速度之和为，所以快车的速度为150km/h． 4分

（4）根据题意，快车行驶900km到达乙地，所以快车行驶到达乙地，此时两车之间的距离为，所以点的坐标为．

设线段所表示的与之间的函数关系式为，把，代入得

解得

所以，线段所表示的与之间的函数关系式为． 6分

自变量的取值范围是． 7分

（5）慢车与第一列快车相遇30分钟后与第二列快车相遇，此时，慢车的行驶时间是4.5h．

把代入，得．

此时，慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离是112.5km，所以两列快车出发的间隔时间是，即第二列快车比第一列快车晚出发0.75h．

4．解：（1）设A种户型住房建x套，

则2090≤25x+28（80－x）≤2096，48≤x≤50，x取整数48，49，50，有三种建房方案

（2）公司获利润W=5x+6（80－x）=480－x，当x=48时，W最大=432万元

（3）W=（5+a）x+6（80－x）

=480+（a－1）x，

当0时，x=48，W最大；当a=1时，三种建房方案获利相同；当a>1时，x=50，W最大

5.【解析】从函数图象容易看出前面一段是出台该项优惠政策前的情况，后面一段是出台该项优惠政策后的情况，前面一段所有的量已经知道，容易求出该果园共销售脐橙的重量，为后面一段的求值奠定了基础.

【答案】解：（1）政策出台前的脐橙售价为

；

（2）设剩余脐橙为x吨,则

103×（3×9+0.2）x=11.7×104

∴

该果园共销售了10 +30 = 40吨脐橙 ；

（3）①设这个一次函数的解析式为，

代入两点（10，3）、（40，11.7）

得：

　函数关系式为，

②令

答：（1）原售价是3元/千克；（2）果园共销售40吨脐橙；（3）①函数关系式为；

②今年至少要销售35吨，总收入才达到去年水平．

6.

7. 解：(1)由抛物线y=a2+bx+c过(0，20)、(5,39)、(10,48)三点，

     解得：a=-0.2，b=4.8，c=20．

即y=-0.2x2+4.8x+20(0≤x≤10)

   (2)令①式中的y=36，即-O.2x2+4.8x+20=36，

        解得：x1=4，x2=20(舍去)

        在第20-40分钟范围内，一次函数y=kx+b经过点(20，48)、(40，20)，即

       ,解得

即函数解析式为y=-1.4x+76

        当y=36时，

        ∵-4=>24

      ∴王标的演讲从第4分钟开始能有24分钟时间使学生的注意力指标效一直不低于36。

8解：（1）设与的函数解析式为：，将点、 代入得：

解得：

∴与的函数关系式为：……（3分）

（2）当时，有

解得：……………………………………………………（5分）

当时，有解得：

∴当价格为30元或38元，可使公司产销平衡.…………………（7分）

（3）当时，则，∴

当时，则，∴

∴

∴政府对每件纪念品应补贴1元……………………………（10分）

9解：解法一：（1）根据题意，当销售利润为4万元，销售量为（万升）．

答：销售量为4万升时销售利润为4万元． （3分）

（2）点的坐标为，从13日到15日利润为（万元），

所以销售量为（万升），所以点的坐标为．

设线段所对应的函数关系式为，则解得

线段所对应的函数关系式为． （6分）

从15日到31日销售5万升，利润为（万元）．

本月销售该油品的利润为（万元），所以点的坐标为．

设线段所对应的函数关系式为，则解得

所以线段所对应的函数关系式为． （9分）

（3）线段． （12分）

解法二：（1）根据题意，线段所对应的函数关系式为，即．

当时，．

答：销售量为4万升时，销售利润为4万元． （3分）

（2）根据题意，线段对应的函数关系式为，

即． （6分）

把代入，得，所以点的坐标为．

截止到15日进油时的库存量为（万升）．

当销售量大于5万升时，即线段所对应的销售关系中，

每升油的成本价（元）．

所以，线段所对应的函数关系为

． （9分）

（3）线段． （12分）

10解：（1）通过描点,画图或分析表一中数据可知y1是t的二次函数。

设y1=a（t-20）2+60，把t1=0，y1=0.代入得a=，

故y1=t2+6t(0≤t≤40且t为整数)。

经验证，表一中的所有数据都符合此解析式。

（2）通过描点,画图或分析表二中数据可知当0≤t≤30时y2是t的正比例函数；当30≤t≤40时y2是t的一次函数。可求得　　　，

经验证，表二中的所有数据都符合此解析式。

（3）由y=y1+y2得，

经比较可知第27天时y有最大值为106.65万件。

11.解：(1) 由图10可得，

当0≤t≤30时，设市场的日销售量y＝k t．

∵ 点（30，60）在图象上，∴ 60＝30k．

∴ k＝2．即 y＝2 t．

当30≤t≤40时，设市场的日销售量y＝k1t+b．

因为点（30，60）和（40，0）在图象上，

所以

解得 k1＝－6，b＝240．

∴ y＝－6t＋240．

综上可知，

当0≤t≤30时，市场的日销售量y＝2t；

当30≤t≤40时，市场的日销售量y＝－6t＋240．

(2)

当0≤t≤20时，每件产品的日销售利润为z＝3t；

当20≤t≤40时，每件产品的日销售利润为z＝60．

设日销售利润为W万元，由题意

当0≤t≤20时，W＝3t×2t＝6 t2；

∴ 当t＝20时，产品的日销售利润W最大等于2400万元．

当20≤t≤30时，W＝60×2t =120t．

∴ 当t＝30时，产品的日销售利润y最大等于3600万元；

当30≤t≤40时，产品的日销售利润y＝60×(－6t＋240)；

∴ 当t＝30时，产品的日销售利润y最大等于3600万元．

综上可知，当t＝30天时，这家公司市场的日销售利润最大为3600万元．

中考数学专题复习--函数--应用题（有答案）