4.数列求和的性质与求和技巧

发布时间：2022-11-10 20:26:38

2017年课标高考母题备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段453[中国高考数学母题](第141号数列求和的性质与求和技巧求数列{an}的通项an和前n项和Sn,是研究数列的两大主题,课标全国卷数列试题具有浓郁的数列求和“情结”;其中,数列求和的性质与两个求和技巧,值得关注.[母题结构]:(Ⅰ(求和性质若数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,则数列{kan+tbn}的前n项和=kSn+tTn;(Ⅱ(并项求和若数列{an}的an中含(-1,令bn=a2n-1+a2n,并求数列{bn}的前n项和Tn,然后由S2n=Tn,S2n-1=Tn-a2n求S2n,S2n-1;(Ⅲ(分段求和若数列{an}:an=f(n(n≤m,an=g(n(n>m,则:①当n≤m时,Sn由an=f(n求出;②当n>m时,先由an=f(n求Sm;再由an=g(n求Sn-Sm;然后由Sn=Sm+(Sn-Sm,求Sn.n[母题解析]:略.1.求和性质子题类型Ⅰ:(2016年北京高考试题已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.(Ⅰ求{an}的通项公式;(Ⅱ设cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和.[解析]:(Ⅰ由等比数列{bn}的公比q=b3=3bn=b2qn-2=3n-1(n=1,2,3,…a1=b1=1,a14=b4=27等差数列{an}的公差d=b2a14a1=2an=2n-1(n=1,2,3,…;141(Ⅱ由cn=an+bn数列{cn}的前n项和=数列{an}的前n项和+数列{bn}的前n项和=n+21n(3-1.2[点评]:利用求和性质,可由基本数列{an}与{bn}的前n项和(分别为Sn与Tn,求合成数列{kan+tbn}的前n项和(=kSn+tTn.[同类试题]:1.(2015年福建高考试题等差数列{an}中,a2=4,a4+a7=15.(Ⅰ求数列{an}的通项公式;(Ⅱ设bn=2an2+n,求b1+b2+b3+…+b10的值.2.(2005年全国Ⅰ高考试题设等比数列{an}的公比为q,前n项和Sn>0(n=1,2,….(Ⅰ求q的取值范围;(Ⅱ设bn=an+2-2.并项求和子题类型Ⅱ:(2014年山东高考理科试题已知等差数列{an}的公差为2,前n项和为Sn,且S1,S2,S4成等比数列.(Ⅰ求数列{an}的通项公式;(Ⅱ令bn=(-1n-13an+1,记{bn}的前n项和为Tn,试比较Sn与Tn的大小.24n,求数列{bn}的前n项和Tn.anan1
[解析]:(Ⅰ由S1S4=S22a1(4a1+12=(2a1+22a1=1an=2n-1;(Ⅱ由bn=(-1n-1111111114nn-1=(-1(+cn=b2n-1+b2n=(+-(+=-(2n1(2n12n12n14n14n14n34n14n34n114n4n114nT2n-1=T2n-b2n==+(+=.4n14n14n14n14n14n1T2n=(b1+b2+(b3+b4+…+(b2n-1+b2n=c1+c2+…+cn=1-[点评]:并项求和法不仅适用于通项an中含(-1n的数列{an}求和,而且还适用于通项an中含三角函数的数列{an}求和.[同类试题]:3.(2014年山东高考文科试题在等差数列{an}中,已知公差d=2,a2是a1与a4的等比中项.(Ⅰ求数列{an}的通项公式;(Ⅱ设bn=an(n1,记Tn=-b1+b2-b3+b4-…+(-1bn,求Tn.2n454备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段2017年课标高考母题4.(2016年天津高考试题已知{an}是等比数列,前n项和为Sn(n∈N,且**112-=,S6=63.a1a2a3n2(Ⅰ求{an}的通项公式;(Ⅱ若对任意的n∈N,bn是log2an和log2an+1的等差中项,求数列{(-1bn}的前2n项和.3.分段求和子题类型Ⅲ:(2007年上海高考试题如果有穷数列a1,a2,…,an(n为正整数满足条件:a1=an,a2=an-1,…,an=a1,即ai=an-i+1(i=1,2,…,n,我们称其为“对称数列”.如由组合数组成的数列Cm,Cm,…,Cm.就是“对称数列”.(Ⅰ设{bn}是项数为7的“对称数列”,其中b1,b2,b3,b4是等差数列,且b1=2,b4=11,依次写出{bn}的每一项;(Ⅱ设{cn}是项数为2k-1(正整数k>1的“对称数列”,其中ck,ck+1,…,c2k-1是首项为50,公差为-4的等差数列.记{cn}的各项和为S2k-1,当为何值时,S2k-1取得最大值？并求出S2k-1的最大值.(Ⅲ对于确定的正整数m>1,写出所有项数不超过2m的“对称数列”,使得1,2,2,…,2依次是该数列中连续的项;当m>1500时,求其中一个“对称数列”前2008项的和S2008.2m-101m[解析]:(Ⅰ设{bn}的公差为d,由b1=2,b4=11d=3{bn}:2,5,8,11,8,5,2;(Ⅱ由S2k-1=2(c1+c2+…+ck-ck=-4(k-13+4×13-50k=13时,S2k-1取得最大值=626;(Ⅲ所有可能的“对称数列”是:①1,2,2,…2,2,2,…,2,2,1;②1,2,2,…2,2,2,2,…,2,2,1;③2,2,…,2,2,1,2,2,…2,2;④2,2,…,2,2,1,1,2,2,…2,2;对于①,当m≥2008时,S2008=2-1;当1500≤2007时,S2008=2+2-2=2-2mm-2008mm-12m-200922m-2m-1m-1m-222m-2m-120082m-2m-1m-222m-2m-1m-1m-22m-1m-222-1;对于②,当m≥2008时,S2008=2m20092008-1;当1500≤2007时,S2008=2-2mm-2008m+12m-2008-1;对于③,当m≥2008时,S2008m2008-m;当1500≤2007时,S2008=2+2-3;对于④,当m≥2008时,S2008=2-2;当1500≤2007时,S2008=2+2-2.[点评]:类似于分段函数问题分类求解;对于分段数列,也要分段求和;分段数列的一个典型是等差数列的绝对值.[同类试题]:5.(2013年浙江高考试题在公差为d的等差数列{an}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.(Ⅰ求d,an;(Ⅱ若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.6.(2012年安徽高考试题设函数f(x=x+sinx的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{xn}.2

4.数列求和的性质与求和技巧

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