[第41讲　直线、平面垂直的判定与性质]

(时间：45分钟　分值：100分)

1．[2013·太原一模] 设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是(　　)

A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂β

B．若l⊥α，α∥β，则l⊥β

C．若l∥α，α∥β，则l⊂β

D．若l∥α，α⊥β，则l⊥β

2．[2013·沈阳一模] 用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b. 其中真命题的序号是(　　)

A．①② B．②③ C．①④ D．③④

3．[教材改编试题] 如图K41－1，在三棱锥D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的为(　　)

图K41－1

A. 平面ABC⊥平面ABD

B. 平面ABD⊥平面BCD

C. 平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE

D. 平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE

4．[2013·长春三模] PA垂直于正方形ABCD所在平面，连接PB，PC，PD，AC，BD，则下列垂直关系正确的是(　　)

①平面PAB⊥平面PBC；②平面PAB⊥平面PAD；

③平面PAB⊥平面PCD；④平面PAB⊥平面PAC.

A．①② B．①③ C．②③ D．②④

5．[2013·济南三模] 如图K41－2，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是(　　)

图K41－2

A．PB⊥AD

B．平面PAB⊥平面PBC

C．直线BC∥平面PAE

D．直线PD与平面ABC所成的角为45°

6．[2013·石家庄三模] 一直线和平面α所成的角为，则这条直线和平面内的直线所成角的取值范围是(　　)

A. B.

C. D.

图K41－3

7．如图K41－3，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成的角是(　　)

A．90° B．60°

C．45° D．30°

8．[2013·郑州一模] 设a，b，c表示三条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是(　　)

A. ⇒c⊥β

B. ⇒b⊥c

C. b∥c，b⊂α，c⊄α⇒c∥α

D. ⇒b⊥α

9．[2013·西安三模] 已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：

①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n. 其中所有正确的命题是(　　)

A．①④ B．②④ C．① D．④

10．设α，β，γ为彼此不重合的三个平面，l为直线，给出下列命题：

①若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ；

②若α⊥γ，β⊥γ，且α∩β＝l，则l⊥γ；

③若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α垂直；

④若α内存在不共线的三点到β的距离相等，则平面α平行于平面β.

上面命题中，真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)

11．[2013·武汉三模] 正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝____________．

12．α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题为__________________．

13．[2013·南昌三模] 球O与正方体ABCD－A1B1C1D1各面都相切，P是球O上一动点，AP与平面ABCD所成的角为α，则α最大时，其正切值为__________．

14．(10分)如图K41－4所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，E是侧棱BB1的中点．

(1)求证：A1E⊥平面ADE；

(2)求三棱锥A1－ADE的体积．

图K41－4

15．(13分)如图K41－5，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．

求证：(1)直线EF∥平面PCD；

(2)平面BEF⊥平面PAD.

图K41－5

16．(12分)如图K41－6，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D 不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．

求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；

(2)直线A1F∥平面ADE.

图K41－6

课时作业(四十一)

【基础热身】

1．B　[解析] 对于选项A，C，可能l∥β，所以A，C均不正确．对于选项D，可能l∥β或l⊂β或l与β相交，所以D不正确．

2．C　[解析] 由公理4知①是真命题．在空间内a⊥b，b⊥c，直线a，c的关系不确定，故②是假命题．由a∥γ，b∥γ，不能判定a，b的关系，故③是假命题．④是直线与平面垂直的性质定理．

3．C　[解析] 因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故C正确．

4．A　[解析] 易证BC⊥平面PAB，则平面PAB⊥平面PBC，又AD∥BC，故AD⊥平面PAB，则平面PAD⊥平面PAB，因此选A.

【能力提升】

5．D　[解析] ∵AD与PB在平面ABC内的射影AB不垂直，

∴A不成立；又平面PAB⊥平面PAE，∴平面PAB⊥平面PBC也不成立；∵BC∥AD，∴BC∥平面PAD，∴直线BC∥平面PAE不成立．在Rt△PAD中，PA＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°.∴D正确．

6．B　[解析] 由最小角定理，知这条直线和平面内的直线所成角中最小角为，最大角是当斜线与平面α内的一条直线垂直时所成的角，它为.

7．C　[解析] ∵PA⊥平面ABC，∴PB在平面ABC上的射影是AB，∴∠PBA是直线PB与平面ABC所成的角．又在△PAB中，∠BAP＝90°，PA＝AB，∴∠PBA＝45°，∴直线PB与平面ABC所成的角是45°.

8．D　[解析] 由a∥α，b⊥a可得b与α的位置关系有b∥α，b⊂α，b与α相交，所以D不正确．

9．A　[解析] 我们借助于长方体模型来解决本题．对于①，可以得到平面α，β互相垂直，如图(1)所示，故①正确；对于②，平面α，β可能垂直，如图(2)所示；对于③，平面α，β可能垂直，如图(3)所示；对于④，由m⊥α，α∥β可得m⊥β，因为n∥β，所以过n作平面γ，且γ∩β＝g，如图(4)所示，所以n与交线g平行，因为m⊥g，所以m⊥n.

10．①②　[解析] ①②正确，由题可知③中无数条直线不能认定为任意一条直线，所以③错，④中的不共线的三点有可能是在平面β的两侧，所以两个平面可能相交也可能平行，故填①②.

11．90°　[解析] 在正方体中，C1B1⊥平面ABB1A1，而MN⊂平面ABB1A1，∴C1B1⊥MN.又∠B1MN是直角，即MN⊥MB1，而MB1∩C1B1＝B1，∴MN⊥平面MB1C1，∴MN⊥MC1，即∠C1MN＝90°.

12．②③④⇒①(或①③④⇒②)　[解析] 根据线面、面面垂直的定义、判定定理和性质可知，正确的有②③④⇒①或①③④⇒②.

13．2　[解析] 过正方体的对角面ACC1A1作截面，如图所示，

M，N为切点，当AP与平面ABCD所成的角最大时，AP为圆O的切线．

设正方体的棱长为2，则OM＝1，AM＝，tan∠OAM＝，

tanα＝tan2∠OAM＝＝2.

14．解：(1)证明：由勾股定理知，A1E＝＝，AE＝＝，则A1A2＝A1E2＋AE2，∴A1E⊥AE.

∵AD⊥平面AA1B1B，A1E⊂平面AA1B1B，∴A1E⊥AD.

而AD∩AE＝A，∴A1E⊥平面ADE.

(2)S△AA1E＝··＝1，

∴VA1－ADE＝VD－A1AE＝·S△AA1E·AD＝×1×1＝.

15．证明：(1)在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，

所以EF∥PD.

又因为EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，

所以直线EF∥平面PCD.

(2)连接BD.因为AB＝AD，∠BAD＝60°，

所以△ABD为正三角形．

因为F是AD的中点，所以BF⊥AD.

因为平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD.

又因为BF⊂平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.

【难点突破】

16．证明：(1)∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC.

又∵AD⊂平面ABC，∴CC1⊥AD.

又∵AD⊥DE，CC1，DE⊂平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，

∴AD⊥平面BCC1B1.

又∵AD⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面BCC1B1.

(2)∵A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，∴A1F⊥B1C1.

又∵CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1，∴CC1⊥A1F.

又∵CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，

∴A1F⊥平面BCC1B1.

由(1)知，AD⊥平面BCC1B1，∴A1F∥AD.

又∵AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，

∴直线A1F∥平面ADE.

（聚焦典型）2014届高三数学一轮复习《直线、平面垂直的判定与性质》理 新人教B版