中世纪的中国数学概述

数学发展的历史流转到中世纪，古代希腊数学的“黄金时代”在几经兵火后停滞不前。中国、印度与阿拉伯地区的数学发展缺逐渐活跃，发展迅猛，而中国又是其中繁荣时期延续最长的。下面将通过这时期踊跃问世的一些主要数学著作来认识中世纪的中国数学发展历程。

《周髀算经》——中国最古老的天文学著作

《周髀算经》作者不详，这部著作虽被定义为天文学著作，但实际上是从数学的角度讨论“盖天说”宇宙模型，反映了中国古代数学与天文学的密切联系。主要成就是分数运算、勾股定理及其在天文测量中的应用。

《九章算术》——中国最古老的数学专著

《九章算术》是从先秦至西汉中叶的长时期里经众多学者编纂、修改而成的一部数学专著。《九章算术》内容十分丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就，主要为以下几个方面的内容：

算术方面，包括分数四则运算法则、比例算法和“盈不足”术。

代数方面，包括方程术、正负术和开方术。其中，方程术即线性联立方程组的解法；正负术即正、负数的加减运算法则；开方术本质上是一种减根变换法。特别地，在开方术中就已经指出了存在开不尽的情形。

几何方面，“方田”、“商功”和“勾股”三章分别讨论了面积计算、体积计算和勾股定理的应用。给出的所有直线形的面、体积公式都是准确的，但因将圆周率错误地定为3，使得球体的体积计算误差过大。

《九章算术》具有几何问题算术化和代数化的重要特征。其中几何部分主要是实用几何，只给出几何问题的算法却没有具体的推导证明。

《九章算术注》——在注释中成就不朽

《九章算术注》是刘徽于公元3世纪撰写的，虽说是对《九章算术》的注解，却包含了刘徽本人许多创造，完全可以看成是独立的著作，也因此奠定了刘徽在中国数学史上的不朽地位。刘徽是中算史上第一位建立可靠的理论来推算圆周率的数学家。

《九章算术注》中最突出的成就是“割圆术”和体积理论。

“割圆术”的要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，边数逐次加倍并计算逐次得到的正多边形的周长和面积。刘徽从内接正六边形一直计算到192边形，得出了圆周率的精确到小数点后二位的近似值word/media/image1.gif，这就是有名的“徽率”。

体积理论方面，刘徽用他所谓的“出入相补”原理成功地证明了《九章算术》中许多面积公式，而在转向体积情形时这条原理却并不适用。刘徽虽没有推证出球体积公式，但他创用“牟合方盖”的特殊形式的不可分量方法，成为后来祖冲之父子在球体积问题上取得突破的先导。

《缀术》——祖氏父子的革新变旧

《缀术》是祖冲之的代表性著作，祖冲之的儿子祖暅进一步整理作增补、完善。原著虽未能流传下来，但从《隋书》等史料中得以证实。

《缀术》的两大数学成就是：圆周率的计算和球体积的推导。

在圆周率的计算方面，祖冲之不仅算出了圆周率的上下限，还确定了圆周率的分数形式的近似值。

在推导几何图形体积公式方面，祖暅提出了两条基础原理：出入相补原理和祖氏原理（即幂势相同，则积不容异），并成功地应用于球体积推算。

《算经十书》——大唐国学标准数学教科书

《算经十书》由李淳风负责修编的，对唐朝以前十部数学著作进行注疏整理。这十部算经分别是：《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《张邱建算经》、《夏侯阳算经》、《五曹算经》、《五经算术》、《缀术》和《缉古算经》。

其中包含重要的数学成就的有：《孙子算经》中的“物不知数”问题（即现在关于一次同余组一般解法的剩余定理的特殊形式）；《张邱建算经》中的“百鸡问题”是世界著名的不定方程问题；以及《缉古算经》是世界上最早讨论三次方程代数解法的著作。

《黄帝九章算术细草》——贾宪三角与增乘开方法

《黄帝九章算术细草》是北宋贾宪完成的著作，原书丢失，但因内容被杨辉著《详解九章算法》摘录而传世。“贾宪三角”也称“杨辉三角”是一张二项系数表，而贾宪增乘开方法是一个非常有效的和高度机械化的算法，可适用于开任意高次方。

《数书九章》——秦九韶与“正负开方术”

《数书九章》是秦九韶的代表著作，他将增乘开方法推广到了高次方程的一般情形，称为“正负开方术”。其中包含了21个高次方程，其中次数最高的是10次方程。《数书九章》中的重要成就还有“大衍总数术”即一次同余式的一般解法，求解过程中的“大衍求一术”即剩余定理常常被称为“中国剩余定理”。这两项贡献使得宋代算书在中世纪世界数学史上占有突出的地位。

《四元玉鉴》——宋元数学的高峰

《四元玉鉴》朱世杰著，其中最突出的数学创造有“招差术”（即高次内插法），“垛积术”（高阶等差级数求和）以及“四元术”（多元高次联立方程组与消元解法）等。

宋元数学发展中深刻的一笔是代数符号化的尝试，这就是“天元术”和“四元术”的发明。首次阐述天元术的是李冶的《测圆海镜》和《益古演段》两部著作，李冶列出方程后，就用增乘开方法来解方程，但他改变了秦九韶“常数为负”的规定。在李冶之后，天元术被朱世杰从一个未知数推广到二元、三元及四元高次联立方程组，这就是“四元术”。朱世杰《四元玉鉴》中详细记载了这种列多元高次方程组的方法，并且使用了“剔消”、“易位”、“互隐通分”、“内外行乘积”等多种消元手段，表现了熟练的消元技巧。

《四元玉鉴》既是宋元数学的高峰，也是宋元数学的绝唱。中国数学在宋元时期达到了中国古典数学的顶峰。而元末以后，中国的传统数学骤转衰落。

中世纪的中国数学概述