2018年四川省内江市资中县中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．（3分）下列函数中，二次函数是（　　）

A．y=﹣4x+5 B．y=x（2x﹣3） C．y=（x+4）2﹣x2 D．y=

2．（3分）已知⊙O的半径为4cm，如果圆心O到直线l的距离为3.5cm，那么直线l与⊙O的位置关系是（　　）

A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定

3．（3分）抛物线y=﹣（x﹣4）2﹣5的顶点坐标和开口方向分别是（　　）

A．（4，﹣5），开口向上 B．（4，﹣5），开口向下

C．（﹣4，﹣5），开口向上 D．（﹣4，﹣5），开口向下

4．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为AD延长线上一点，若∠CDE=80°，则∠B等于（　　）

A．60° B．70° C．80° D．90°

5．（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y=（x+1）2向右平移2个单位，再向下平移4个单位，得到的抛物线解析式是（　　）

A．y=（x﹣2）2﹣4 B．y=（x﹣1）2﹣4 C．y=（x﹣2）2﹣3 D．y=（x﹣1）2﹣3

6．（3分）下面四个命题中，正确的一个是（　　）

A．平分一条弦的直径必垂直于这条弦

B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦

C．相等圆心角所对的弧相等

D．钝角三角形的外心在三角形外

7．（3分）将二次函数y=x2﹣6x+5用配方法化成y=（x﹣h）2+k的形式，下列结果中正确的是（　　）

A．y=（x﹣6）2+5 B．y=（x﹣3）2+5 C．y=（x﹣3）2﹣4 D．y=（x+3）2﹣9

8．（3分）已知二次函数y=3（x﹣2）2+5，则有（　　）

A．当x＞﹣2时，y随x的增大而减小

B．当x＞﹣2时，y随x的增大而增大

C．当x＞2时，y随x的增大而减小

D．当x＞2时，y随x的增大而增大

9．（3分）若正六边形的边长为4，则它的内切圆面积为（　　）

A．9π B．10π C．12π D．15π

10．（3分）如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＞0的解集是（　　）

A．﹣1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜﹣1且x＞5 D．x＜﹣1或x＞5

11．（3分）已知二次函数y=ax2﹣4ax+4，当x分别取x1、x2两个不同的值时，函数值相等，则当x取x1+x2时，y的值为（　　）

A．6 B．5 C．4 D．3

12．（3分）在半径等于5cm的圆内有长为5cm的弦，则此弦所对的圆周角为（　　）

A．120° B．30°或120° C．60° D．60°或120°

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将最后答案直接写在答题卷的相应题中的横线上．）

13．（5分）PA、PB分别切⊙O于点A、B，若PA=3cm，那么PB=　 　cm．

14．（5分）抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣1，0），（3，0），则关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根是　 　．

15．（5分）已知圆锥的底面半径为5cm，侧面积为65πcm2，圆锥的母线是　 　cm．

16．（5分）某司机驾车行驶在公路上，突然发现正前方有一行人，他迅速采取紧急刹车制动．已知，汽车刹车后行驶距离S（m）与行驶时间t（s）之间的函数关系式为S=﹣5t2+20t，则这个行人至少在　 　米以外，司机刹车后才不会撞到行人．

三、解答题（本大题共5小题，共44分）

17．（8分）已知抛物线y=﹣x2+2x+2．

（1）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；

（2）在如图3的直角坐标系内画出y=﹣x2+2x+2的图象．

18．（8分）如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为点C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．

（1）若∠AOD=52°，求∠DEB的度数；

（2）若OC=3，OA=5，求AB的长．

19．（8分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．

（1）求该抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点M的坐标；

（2）连结CB、CM，过点M作MN⊥y轴于点N，求证：∠BCM=90°．

20．（10分）如图，已知三角形ABC的边AB是⊙O的切线，切点为B．AC经过圆心O并与圆相交于点D、C，过C作直线CE丄AB，交AB的延长线于点E．

（1）求证：CB平分∠ACE；

（2）若BE=3，CE=4，求⊙O的半径．

21．（10分）如图，抛物线y=﹣x2+2x的对称轴与x轴交于点A，点F在抛物线的对称轴上，且点F的纵坐标为．过抛物线上一点P（m，n）向直线y=作垂线，垂足为M，连结PF．

（1）当m=2时，求证：PF=PM；

（2）当点P为抛物线上任意一点时，PF=PM是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分．请将最后答案直接写在答题卷的相应题中的横线上．）

22．（6分）已知△ABC内接于半径为5厘米的⊙O，若∠A=60°，边BC的长为　 　厘米．

23．（6分）抛物线y=（2x﹣1）2+t与x轴的两个交点之间的距离为4，则t的值是　 　．

24．（6分）二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴的两个交点A、B的横坐标分别为﹣3、1，与y轴交于点C，下面四个结论：①16a+4b+c＜0；②若P（﹣5，y1），Q（，y2）是函数图象上的两点，则y1＞y2；③c=﹣3a；④若△ABC是等腰三角形，则b=﹣或﹣．其中正确的有　 　．（请将正确结论的序号全部填在横线上）

25．（6分）如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA=4，∠APB=60°，点E在上，且CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则CD的最小值是　 　．

五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分．解答时必须写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）

26．（12分）新春佳节，电子鞭炮因其安全、无污染开始走俏．某商店经销一种电子鞭炮，已知这种电子鞭炮的成本价为每盒80元，市场调查发现，该种电子鞭炮每天的销售量y（盒）与销售单价x（元）有如下关系：y=﹣2x+320（80≤x≤160）．设这种电子鞭炮每天的销售利润为w元．

（1）求w与x之间的函数关系式；

（2）该种电子鞭炮销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

（3）该商店销售这种电子鞭炮要想每天获得2400元的销售利润，又想买得快．那么销售单价应定为多少元？

27．（12分）如图，在⊙O中，直径AB经过弦CD的中点E，点M在OD上，AM的延长线交⊙O于点G，交过D的直线于F，且∠BDF=∠CDB，BD与CG交于点N．

（1）求证：DF是⊙O的切线；

（2）连结MN，猜想MN与AB的位置有关系，并给出证明．

28．（12分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C，且OA=1，OB=3，顶点为D，对称轴交x轴于点Q．

（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；

（2）点P是抛物线的对称轴上一点，以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，求点P的坐标；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△DCM∽△BQC？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．

2018年四川省内江市资中县中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．（3分）下列函数中，二次函数是（　　）

A．y=﹣4x+5 B．y=x（2x﹣3） C．y=（x+4）2﹣x2 D．y=

【解答】解：A、y=﹣4x+5为一次函数；

B、y=x（2x﹣3）=2x2﹣3x为二次函数；

C、y=（x+4）2﹣x2=8x+16为一次函数；

D、y=不是二次函数．

故选：B．

2．（3分）已知⊙O的半径为4cm，如果圆心O到直线l的距离为3.5cm，那么直线l与⊙O的位置关系是（　　）

A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定

【解答】解：∴⊙O的半径为4cm，如果圆心O到直线l的距离为3.5cm，

∴3.5＜4，

∴直线l与⊙O的位置关系是相交，

故选：A．

3．（3分）抛物线y=﹣（x﹣4）2﹣5的顶点坐标和开口方向分别是（　　）

A．（4，﹣5），开口向上 B．（4，﹣5），开口向下

C．（﹣4，﹣5），开口向上 D．（﹣4，﹣5），开口向下

【解答】解：∵抛物线的解析式为y=﹣（x﹣4）2﹣5，

∴抛物线的顶点坐标为（4，﹣5），开口向下．

故选：B．

4．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为AD延长线上一点，若∠CDE=80°，则∠B等于（　　）

A．60° B．70° C．80° D．90°

【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠B=∠CDE=80°，

故选：C．

5．（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y=（x+1）2向右平移2个单位，再向下平移4个单位，得到的抛物线解析式是（　　）

A．y=（x﹣2）2﹣4 B．y=（x﹣1）2﹣4 C．y=（x﹣2）2﹣3 D．y=（x﹣1）2﹣3

【解答】解：∵抛物线y=（x+1）2的顶点坐标为（﹣1，0），

∴平移后抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），[来源:学科网]

∴平移后抛物线的解析式为y=（x﹣1）2﹣4．

故选：B．

6．（3分）下面四个命题中，正确的一个是（　　）

A．平分一条弦的直径必垂直于这条弦

B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦

C．相等圆心角所对的弧相等

D．钝角三角形的外心在三角形外

【解答】解：平分一条弦（不是直径）的直径必垂直于这条弦，A不正确；

过圆心，平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦，B不正确；

在同圆或等圆中，相等圆心角所对的弧相等，C不正确；

钝角三角形的外心在三角形外，D正确；

故选：D．

7．（3分）将二次函数y=x2﹣6x+5用配方法化成y=（x﹣h）2+k的形式，下列结果中正确的是（　　）

A．y=（x﹣6）2+5 B．y=（x﹣3）2+5 C．y=（x﹣3）2﹣4 D．y=（x+3）2﹣9

【解答】解：y=x2﹣6x+5=x2﹣6x+9﹣4=（x﹣3）2﹣4，

故选：C．

8．（3分）已知二次函数y=3（x﹣2）2+5，则有（　　）

A．当x＞﹣2时，y随x的增大而减小

B．当x＞﹣2时，y随x的增大而增大

C．当x＞2时，y随x的增大而减小

D．当x＞2时，y随x的增大而增大

【解答】解：

∵y=3（x﹣2）2+5，

∴抛物线开口向上，对称轴为x=2，顶点坐标为（2，5），

∴A、B、C都不正确，

∵二次函数的图象为一条抛物线，当x＞2时，y随x的增大而增大

∴D正确，

故选：D．

9．（3分）若正六边形的边长为4，则它的内切圆面积为（　　）

A．9π B．10π C．12π D．15π

【解答】解：连接OD、OE，作OM⊥DE于M，

∵六边形ABCDEF是边长为4的正六边形，

∴△ODE是等边三角形，

∴OD=DE=4，

∴OM=OD•sin60°=4×=2，

∴它的内切圆面积=π×（2）2=12π，

故选：C．

10．（3分）如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＞0的解集是（　　）

A．﹣1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜﹣1且x＞5 D．x＜﹣1或x＞5

【解答】解：由图可知，抛物线的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点为（5，0），

所以，抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），

所以，不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜5．

故选：A．

11．（3分）已知二次函数y=ax2﹣4ax+4，当x分别取x1、x2两个不同的值时，函数值相等，则当x取x1+x2时，y的值为（　　）

A．6 B．5 C．4 D．3

【解答】解：∵y=ax2﹣4ax+4=a（x﹣2）2﹣4a+4，当x分别取x1、x2两个不同的值时，函数值相等，

∴x1+x2=4，

∴当x取x1+x2时，y=a（4﹣2）2﹣4a+4=4，

故选：C．

　[来源:学。科。网Z。X。X。K]

12．（3分）在半径等于5cm的圆内有长为5cm的弦，则此弦所对的圆周角为（　　）

A．120° B．30°或120° C．60° D．60°或120°

【解答】解：根据题意画出相应的图形为：

连接OA，OB，在优弧AB上任取一点E，连接AE，BE，在劣弧AB上任取一点F，连接AF，BF，

过O作OD⊥AB，则D为AB的中点，

∵AB=5cm，∴AD=BD=cm，

又OA=OB=5，OD⊥AB，

∴OD平分∠AOB，即∠AOD=∠BOD=∠AOB，

∴在直角三角形AOD中，

sin∠AOD===，

∴∠AOD=60°，

∴∠AOB=120°，

又圆心角∠AOB与圆周角∠AEB所对的弧都为，

∴∠AEB=∠AOB=60°，

∵四边形AEBF为圆O的内接四边形，

∴∠AFB+∠AEB=180°，

∴∠AFB=180°﹣∠AEB=120°，

则此弦所对的圆周角为60°或120°．

故选：D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将最后答案直接写在答题卷的相应题中的横线上．）

13．（5分）PA、PB分别切⊙O于点A、B，若PA=3cm，那么PB=　3　cm．

【解答】解：根据切线长定理得：PA=PB=3cm，

故答案为：3

14．（5分）抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣1，0），（3，0），则关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根是　x1=﹣1，x2=3　．

【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣1，0），（3，0），

∴关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3，

故答案为：x1=﹣1，x2=3．

15．（5分）已知圆锥的底面半径为5cm，侧面积为65πcm2，圆锥的母线是　13　cm．

【解答】解：设母线长为R，则：65π=π×5R，

解得R=13cm．

16．（5分）某司机驾车行驶在公路上，突然发现正前方有一行人，他迅速采取紧急刹车制动．已知，汽车刹车后行驶距离S（m）与行驶时间t（s）之间的函数关系式为S=﹣5t2+20t，则这个行人至少在　20　米以外，司机刹车后才不会撞到行人．

【解答】解：函数关系式为S=﹣5t2+20t，

变形得， s=﹣5（t﹣2）2+20，

所以当t=2时，汽车滑行距离最远为：s=20m；

故这个物体至少在20米以外，司机刹车后才不会撞到物体．

故答案为：20．

三、解答题（本大题共5小题，共44分）

17．（8分）已知抛物线y=﹣x2+2x+2．

（1）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；

（2）在如图3的直角坐标系内画出y=﹣x2+2x+2的图象．

【解答】解：

（1）∵y=﹣x2+2x+2=﹣（x﹣1）2+3，

∴抛物线开口向下，对称轴是直线x=1，顶点坐标是（1，3）；

（2）列表如下：

图象如图所示：

18．（8分）如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为点C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．

（1）若∠AOD=52°，求∠DEB的度数；

（2）若OC=3，OA=5，求AB的长．

【解答】解：（1）∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，

∴=，

∴∠DEB=∠AOD=×52°=26°；

（2）根据勾股定理得，AC===4，

∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，

∴AB=2AC=2×4=8．

19．（8分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．

（1）求该抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点M的坐标；

（2）连结CB、CM，过点M作MN⊥y轴于点N，求证：∠BCM=90°．

【解答】解：（1）设该抛物线对应的二次函数的表达式为y=a（x+1）（x﹣3），

∵抛物线过点（0，﹣3），

∴﹣3=a（0+1）（0﹣3），

∴a=1，

∴y=（x+1）（x﹣3），

即该抛物线对应的二次函数的表达式为y=x2﹣2x﹣3，

∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴M（1，﹣4）．　

（2）∵B（3，0），C（0，﹣3）．

∴OB=OC，∠BOC=90°，

∴△BOC为等腰直角三角形，

∴∠OCB=45°．　

∵M（1，﹣4），MN⊥y轴于点N．

∴MN=1，CN=ON﹣OC=4﹣3=1，

∴NC=NM，∠CNM=90°，

∴△CNM也是等腰直角三角形，

∴∠NCM=45°．　

∴∠BCM=180°﹣45°﹣45°=90°．[来源:学科网]

20．（10分）如图，已知三角形ABC的边AB是⊙O的切线，切点为B．AC经过圆心O并与圆相交于点D、C，过C作直线CE丄AB，交AB的延长线于点E．

（1）求证：CB平分∠ACE；

（2）若BE=3，CE=4，求⊙O的半径．

【解答】（1）证明：如图1，连接OB，

∵AB是⊙0的切线，

∴OB⊥AB，

∵CE丄AB，

∴OB∥CE，

∴∠1=∠3，

∵OB=OC，

∴∠1=∠2

∴∠2=∠3，

∴CB平分∠ACE；

（2）如图2，连接BD，

∵CE丄AB，

∴∠E=90°，

∴BC===5，

∵CD是⊙O的直径，

∴∠DBC=90°，

∴∠E=∠DBC，

∴△DBC∽△CBE，

∴，

∴BC2=CD•CE，

∴CD==，

∴OC==，

∴⊙O的半径=．

21．（10分）如图，抛物线y=﹣x2+2x的对称轴与x轴交于点A，点F在抛物线的对称轴上，且点F的纵坐标为．过抛物线上一点P（m，n）向直线y=作垂线，垂足为M，连结PF．

（1）当m=2时，求证：PF=PM；

（2）当点P为抛物线上任意一点时，PF=PM是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

【解答】解：（1）当m=2时，n=﹣22+2×2=0．

∴此时点P为抛物线与x轴的右交点．

∵PM⊥直线y=，

∴PM=

∵y=﹣x2+2x的对称轴为直线x=1，点F的纵坐标为，

∴F（1，）．　

在△FAP中，∠FAP=90°，

∴PF===．

∴PF=PM．　　

（2）PF=PM仍然成立．理由如下：

过点P作PB⊥AF于点B．

当点B与点F重合时，n=，

∴﹣m2+2m=，解得，m=或．

∴PF=，

∵PM=﹣=．

∴PF=PM．　

当点B与点F不重合时，如图．

∴BF=|n﹣|，BP=|m﹣1|，

在△BFP中，∠PBF=90°，

∴PF2=BF2+BP2．

PF2=（n﹣）2+（m﹣1）2=n2﹣n++（m2﹣2m），

∵点P（m，n）在抛物线上，

∴﹣m2+2m=n，

∴PF2=n2﹣n++n=n2﹣n+．

∵PM⊥直线y=，P（m，n），

∴PM2=（n﹣）2=n2﹣n+．

∴PF2=PM2．

∴PF=PM．

综上，点P为抛物线y=﹣x2+2x上任意一点都有PF=PM．

四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分．请将最后答案直接写在答题卷的相应题中的横线上．）

22．（6分）已知△ABC内接于半径为5厘米的⊙O，若∠A=60°，边BC的长为　5　厘米．

【解答】解：连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于点D，

∴BD=CD=BC，

∵∠A=60°，

∴∠BOC=2∠A=120°，

∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB==30°，

∵OB=6，

∴BD=OB•cos30°=5×=，

∴BC=2BD=5．

故答案为：5．

23．（6分）抛物线y=（2x﹣1）2+t与x轴的两个交点之间的距离为4，则t的值是　﹣16　．

【解答】解：当y=0时，有（2x﹣1）2+t=0，

解得：x1=，x2=，

∴抛物线与x轴的两个交点分别为（，0）和（，0）．

∵两个交点之间的距离为4，

∴﹣=4，

解得：t=﹣16．

故答案为：﹣16．

24．（6分）二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴的两个交点A、B的横坐标分别为﹣3、1，与y轴交于点C，下面四个结论：①16a+4b+c＜0；②若P（﹣5，y1），Q（，y2）是函数图象上的两点，则y1＞y2；③c=﹣3a；④若△ABC是等腰三角形，则b=﹣或﹣．其中正确的有　①③④　．（请将正确结论的序号全部填在横线上）

【解答】解：①∵a＜0，

∴抛物线开口向下，

∵图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3，1，

∴当x=﹣4时，y＜0，

即16a﹣4b+c＜0；

故①正确；

②∵图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3，1，

∴抛物线的对称轴是：x=﹣1，

∵P（﹣5，y1），Q（，y2），

﹣1﹣（﹣5）=4，﹣（﹣1）=3.5，

由对称性得：（﹣4.5，y3）与Q（，y2）是对称点，

∴则y1＜y2；

故②不正确；

③∵﹣=﹣1，

∴b=2a，

当x=1时，y=0，即a+b+c=0，

3a+c=0，

c=﹣3a，故③正确；

④要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC，

当AB=BC=4时，

∵BO=1，△BOC为直角三角形，

又∵OC的长即为|c|，

∴c2=16﹣1=15，

∵由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，

∴c=，

与b=2a、a+b+c=0联立组成解方程组，解得b=﹣；

同理当AB=AC=4时，

∵AO=3，△AOC为直角三角形，

又∵OC的长即为|c|，

∴c2=16﹣9=7，[来源:学科网]

∵由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，

∴c=，

与b=2a、a+b+c=0联立组成解方程组，解得b=﹣；

同理当AC=BC时，

在△AOC中，AC2=9+c2，

在△BOC中BC2=c2+1，

∵AC=BC，

∴1+c2=c2+9，此方程无实数解．

经解方程组可知有两个b值满足条件．

故④正确．

综上所述，正确的结论是①③④．

故答案是：①③④．

25．（6分）如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA=4，∠APB=60°，点E在上，且CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则CD的最小值是　　．

【解答】解：当CD∥AB时，切线CD的长最小．

由切线长定理，得

PA=PB=4，AC=CE，ED=DB

∴L△CDP=PC+PD+CD

=PC+CE+PD+DE

=PC+CA+PD+DB

=PA+PB=8，

∵∠APB=60°，PA=PB

∴△PAB是等边三角形，

∴∠PAB=60°

因为CD∥AB，

∴∠PCD=∠PAB=60°，

∴△PCD是等边三角形，

∴CD=

故答案为：

五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分．解答时必须写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）

26．（12分）新春佳节，电子鞭炮因其安全、无污染开始走俏．某商店经销一种电子鞭炮，已知这种电子鞭炮的成本价为每盒80元，市场调查发现，该种电子鞭炮每天的销售量y（盒）与销售单价x（元）有如下关系：y=﹣2x+320（80≤x≤160）．设这种电子鞭炮每天的销售利润为w元．

（1）求w与x之间的函数关系式；

（2）该种电子鞭炮销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

（3）该商店销售这种电子鞭炮要想每天获得2400元的销售利润，又想买得快．那么销售单价应定为多少元？

【解答】解：（1）w=（x﹣80）•y

=（x﹣80）（﹣2x+320）

=﹣2x2+480x﹣25600，

w与x的函数关系式为：w=﹣2x2+480x﹣25600；

（2）w=﹣2x2+480x﹣25600=﹣2（x﹣120）2+3200，

∵﹣2＜0，80≤x≤160，

∴当x=120时，w有最大值．w最大值为3200．

答：销售单价定为120元时，每天销售利润最大，最大销售利润3200元．

（3）当w=2400时，﹣2（x﹣120）2+3200=2400．

解得：x1=100，x2=140．

∵想买得快，

∴x2=140不符合题意，应舍去．

答：销售单价应定为100元．

27．（12分）如图，在⊙O中，直径AB经过弦CD的中点E，点M在OD上，AM的延长线交⊙O于点G，交过D的直线于F，且∠BDF=∠CDB，BD与CG交于点N．

（1）求证：DF是⊙O的切线；

（2）连结MN，猜想MN与AB的位置有关系，并给出证明．

【解答】（1）证明：∵直径AB经过弦CD的中点E，

∴AB⊥CD，．

∴∠BOD=2∠CDB．　

∵∠BDF=∠CDB，

∴∠BOD=∠CDF，

∵∠BOD+∠ODE=90°，

∴∠ODE+∠CDF=90°，

即∠ODF=90°，

∴DF是⊙O的切线；

（2）猜想：MN∥AB．

证明：连结CB．

∵直径AB经过弦CD的中点E，

∴，． 　

∴∠CBA=∠DBA，CB=BD．

∵OB=OD，

∴∠DBA=∠ODB．

∴∠AOD=∠DBA+∠ODB=2∠DBA=∠CBD，

∵∠BCG=∠BAG，

∴△CBN∽△AOM，

∴．

∵AO=OD，CB=BD，

∴，

∴，

∵∠ODB=∠MDN，

∴△MDN∽△ODB，

∴∠DMN=∠DOB，

∴MN∥AB．

28．（12分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C，且OA=1，OB=3，顶点为D，对称轴交x轴于点Q．

（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；

（2）点P是抛物线的对称轴上一点，以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，求点P的坐标；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△DCM∽△BQC？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵OA=1，OB=3，

∴A（﹣1，0），B（3，0）．

代入y=﹣x2+bx+c，得

解得　b=2，c=3．

∴抛物线对应二次函数的表达式为： y=﹣x2+2x+3；

（2）如图，设直线CD切⊙P于点E．连结PE、PA，作CF⊥DQ于点F．

∴PE⊥CD，PE=PA．　

由y=﹣x2+2x+3，得

对称轴为直线x=1，C（0，3）、D（1，4）．

∴DF=4﹣3=1，CF=1，

∴DF=CF，

∴△DCF为等腰直角三角形．

∴∠CDF=45°，

∴∠EDP=∠EPD=45°，

∴DE=EP，

∴△DEP为等腰三角形．

设P（1，m），

∴EP2=（4﹣m）2．　

在△APQ中，∠PQA=90°，

∴AP2=AQ2+PQ2=[1﹣（﹣1）]2+m2

∴（4﹣m）2=[1﹣（﹣1）]2+m2．

整理，得m2+8m﹣8=0

解得，m=﹣4±2．

∴点P的坐标为（1，﹣4+2）或（1，﹣4﹣2）．

（3）存在点M，使得△DCM∽△BQC．[来源:学+科+网]

如图，连结CQ、CB、CM，

∵C（0，3），OB=3，∠COB=90°，

∴△COB为等腰直角三角形，

∴∠CBQ=45°，BC=3．

由（2）可知，∠CDM=45°，CD=，

∴∠CBQ=∠CDM．

∴△DCM∽△BQC分两种情况．

当=时，

∴=，解得　DM=．

∴QM=DQ﹣DM=4﹣=．

∴M1（1，）．

当时，

∴=，解得　DM=3．

∴QM=DQ﹣DM=4﹣3=1．

∴M2（1，1）．

综上，点M的坐标为（1，）或（1，1）．

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