最新一道经典平行线问题的解答与变式

发布时间：2023-01-28 13:01:44

一道平行线问题的解答与演变平时学习中，大家都要做大量的习题，其中不少习题的解法具有多样性，题目本身具有典型性、发展性，对这些问题的图形和条件进行一些变化，就会产生一个个颇具思维含量的考试题．下面对一道有关平行线问题进行多角度求解，并进行变式训练，以发展同学们的思维能力．原命题：如图１，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，射线BE与CE交于E．求证：BE⊥CE．分析一：由角平分线的定义易得∠1、∠2与∠BCD、∠ABC之间的倍分关系，再利用“两直线平行，同旁内角互补”的结论进行整体代换，即可解决问题．解法一：整体转化法∵BE平分∠ABC，∴2ABC（角平分线的定义），同理1BCD，∴121．BCDABC（等式性质）21212又AB∥CD，∴BCDABC1800（两直线平行，同旁内角互补），∴121800900（等量代换）．∴E1800121800900900（三角形的内角和等于180o）．即BE⊥CE（垂直的定义）．点评：解法一综合运用的知识点有：角平分线定义、垂直定义、平行线的性质、等式性质、等量代换、三角形内角和等，运用的数学思想方法是整体代换和转化思想．分析二：作平行线把∠E分成两个角，并将这两个角与∠1、∠2联系起来，进行有效转化．解法二：分解转化法如图２，过点E作EF∥AB交BC于F，又AB∥CD，∴AB∥EF∥CD（平行线的传递性），∴BEFABE2ABC（平行线的性质、角平分线的定义）∴FECECD1BCD（同上），∴BECBEFFEC1，ABCBCD（等量代换）2121212又由AB∥CD知ABCBCD1800（两直线平行，同旁内角互补），
∴BEC1800900（等量代换）．即BE⊥CE（垂直的定义）．点评：解法二运用作平行线的方法把∠E分成两个角，并运用平行线的性质和等量代换解题．运用的数学思想方法是分解思想（即化整为零）和转化思想．分析三：要求∠E，只须求出∠E的邻补角即可．延长BE后，出现新的△CEM（如图3），△CEM的三个内角与△BCE的三个内角的度数之和相等，用对应思想便可解决问题．解法三：对应转化法延长BE交CD于M，∵AB∥CD，∴∠CME＝∠ABE＝∠2（平行线的性质和角平分线定义），又12BECECMCMECEM1800（三角形内角和等于180o），而∠1＝∠ECM，∠2＝∠CME（角平分线定义），∴∠BEC＝∠CME（等式性质），又BECCME1800（邻补角），∴BEC1800900（等式性质）．即BE⊥CE（垂直的定义）．点评：解法三运用的知识点有：平行线的性质、三角形内角和、邻补角性质和等式性质等，运用的数学思想方法是对应思想和转化思想．总结：把原命题概括成一句话，可说成：两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的角平分线互相垂直．通过对原命题的多种解法的深入探讨，可以加强知识间的联系，实现方法和技能的融会贯通，从而培养思维的深刻性和灵活性．如果仅从解法上进行分析和思考，就题论题，习题的功能便会大打折扣，我们还应该对原命题进行一系列的演变，这样不但可以感受到题目的发展变化，还可以进一步提高我们发现问题、分析问题、解决问题的能力．变式一：探求原命题的逆命题．例1（2012黄石七年级期末考试）如图4，两条直线AB、CD被第三条直线BC所截所成的同旁内角的平分线BE和CE互相垂直，探求AB与CD的位置关系．解：∵BE⊥CE，∴12900（三角形内角和等于180o），又BE、CE平分∠ABC、∠BCD，∴1BCD，2ABC（角平分线的定义），12121212

最新一道经典平行线问题的解答与变式

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