南通市2015届高三第三次调研测试

数学Ⅰ

参考公式：锥体的体积，其中为锥体的底面积，为锥体的高．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

1． 设集合A={3，m}，B={3m，3}，且A=B，则实数m的值是 ▲ ．

2． 已知复数(i为虚数单位)，则z的实部为 ▲ ．

3． 已知实数x，y满足条件则的最小值是 ▲ ．

4． 为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n名学生的课外阅读时间，所得数据都在中，其频率分布直方图如图所示．已知这一组的频数为100，则n的值为 ▲ ．

5． 在如图所示的算法流程图中，若输出的y的值为26，则输入的x的值为 ▲ ．

6． 从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取一个数记为x，则为整数的概率为 ▲ ．

7． 在平面直角坐标系xOy中，点F为抛物线的焦点，则F到双曲线的渐近线的距离为 ▲ ．

8． 在等差数列{}中，若(n∈N*)，则该数列的通项公式 ▲ ．

9． 给出下列三个命题：

①“a＞b”是“”的充分不必要条件；

②“α＞β”是“cosα＜cosβ”的必要不充分条件；

③“a＝0”是“函数（x∈R）为奇函数”的充要条件．

其中正确命题的序号为 ▲ ．

10．已知一个空间几何体的所有棱长均为1 cm，其表面展开图如图所示，则该空间几何体的体积

V = ▲ cm3．

11． 如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E为AB的中点．以A为圆心，AE为半径，作弧交AD于点F．若P为劣弧上的动点，则的最小值为 ▲ ．

12． 已知函数若函数的图象与x轴有且只有两个不同的交点，则实数m的取值范围为 ▲ ．

13．在平面直角坐标系xOy中，过点P(-5，a)作圆的两条切线，切点分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)，且，则实数a的值为 ▲ ．

14．已知正实数x，y满足，则xy的取值范围为 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、

证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，B1C⊥AB，侧面BCC1B1为菱形．

（1）求证：平面ABC1⊥平面BCC1B1；

（2）如果点D，E分别为A1C1，BB1的中点，

求证：DE∥平面ABC1．

16．（本小题满分14分）

已知函数 (其中A，，为常数，且A＞0，＞0，)的部分图象如图所示．

（1）求函数的解析式；

（2）若，求的值．

17．（本小题满分14分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆(a＞b＞0)的两焦点分别为F1，F2，且经过点A．

（1）求椭圆的方程及离心率；

（2）设点B，C，D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B与点D关于原点O对称．设直线CD，CB，OB，OC的斜率分别为k1，k2，k3，k4，且．

①求的值；

②求OB2+OC2的值．

18．（本小题满分16分）

为丰富市民的文化生活，市政府计划在一块半径为200 m，圆心角为120°的扇形空地上建造市民广场．规划设计如图：内接梯形ABCD区域为运动休闲区，其中A，B分别在半径OP，OQ上，C，D在圆弧上，CD∥AB；△OAB区域为文化展示区，AB长为m；其余空地为绿化区域，且CD长不得超过200 m．

（1）试确定A，B的位置，使△OAB的周长最大；

（2）当△OAB的周长最大时，设∠DOC=，试将运动休闲区ABCD的面积S表示为的函数，并求出S的最大值．

19．（本小题满分16分）

已知数列{an}，{bn}，a1=1，，n∈N*，设数列{bn}的前n项和为Sn．

（1）若，求Sn；

（2）是否存在等比数列{an}，使对任意n∈N*恒成立？若存在，求出所有满足条件的数列{an}的通项公式；若不存在，说明理由；

（3）若a1≤a2≤…≤an≤…，求证：0≤Sn＜2．

20．（本小题满分16分）

已知函数（a∈R）．

（1）若a=2，求在(1，e2)上零点的个数，其中e为自然对数的底数；

（2）若恰有一个零点，求a的取值集合；

（3）若有两零点x1，x2(x1＜x2)，求证：2＜x1+x2＜-1．

南通市2015届高三第三次调研测试

数学Ⅱ（附加题）

21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．

若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）

如图，BC为圆O的直径，A为圆O上一点，过点A作圆O的切线交BC的延长线于点P，AH⊥PB于H．

求证：．

B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）

在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，0)，B(2，0)，C(1，2)，矩阵，点A，B，C在矩阵M对应的变换作用下得到的点分别为，，，求△的面积．

C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数，r为常数，r＞0)．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．若直线l与曲线C交于A，B两点，且，求r的值．

D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）

已知实数a，b，c，d满足a＞b＞c＞d，求证：．

【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出

文字说明、证明过程或演算步骤．

22．（本小题满分10分）

如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，．

（1）求与平面所成角的正弦值；

（2）若点E在棱上，二面角E-BD-C1的余弦值为，

求的值．

23．（本小题满分10分）

袋中共有8个球，其中有3个白球，5个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个相同的白球放入袋中．重复上述过程n次后，袋中白球的个数记为Xn．

（1）求随机变量X2的概率分布及数学期望E(X2)；

（2）求随机变量Xn的数学期望E(Xn)关于n的表达式．

南通市2015届高三第三次调研测试

数学学科参考答案及评分建议

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

1． 设集合A={3，m}，B={3m，3}，且A=B，则实数m的值是 ▲ ．

【答案】0

2． 已知复数z=(i为虚数单位)，则z的实部为 ▲ ．

【答案】3

3． 已知实数x，y满足条件则z=2x+y的最小值是 ▲ ．

【答案】-3

4． 为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50，150]中，其频率分布直方图如图所示．已知在中的频数为100，则n的值为 ▲ ．

【答案】1000

5． 在如图所示的算法流程图中，若输出的y的值为26，则输入的x的值为 ▲ ．

【答案】-4

6． 从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取一个数记为x，则log2x为整数的概率为 ▲ ．

【答案】

7． 在平面直角坐标系xOy中，点F为抛物线x2=8y的焦点，则F到双曲线的渐近线的距离为 ▲ ．

【答案】

8． 在等差数列{an}中，若an+an+2=4n+6（n∈N*），则该数列的通项公式an= ▲ ．

【答案】2n+1

9． 给出下列三个命题：

①“a＞b”是“3a＞3b”的充分不必要条件；

②“α＞β”是“cosα＜cosβ”的必要不充分条件；

③“a=0”是“函数f(x) =x3+ax2（x∈R）为奇函数”的充要条件．

其中正确命题的序号为 ▲ ．

【答案】③

10．已知一个空间几何体的所有棱长均为1 cm，其表面展开图如图所示，则该空间几何体的体积

V= ▲ cm3．

【答案】

11． 如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E为AB的中点．以A为圆心，AE为半径，作弧交AD于点F．若P为劣弧上的动点，则的最小值为 ▲ ．

【答案】

12． 已知函数若函数f(x)的图象与x轴有且只有两个不同的交点，则实数m的取值范围为 ▲ ．

【答案】（-5，0）

13．在平面直角坐标系xOy中，过点P（-5，a）作圆x2+y2-2ax+2y-1=0的两条切线，切点分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)，且，则实数a的值为 ▲ ．

【答案】3或-2

14．已知正实数x，y满足，则xy的取值范围为 ▲ ．

【答案】[1，]

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、

证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，B1C⊥AB，侧面BCC1B1为菱形．

（1）求证：平面ABC1⊥平面BCC1B1；

（2）如果点D，E分别为A1C1，BB1的中点，

求证：DE∥平面ABC1．

解：（1）因三棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1为菱形，

故B1C⊥BC1．……………………………………………………………………… 2分

又B1C⊥AB，且AB，BC1为平面ABC1内的两条相交直线，

故B1C⊥平面ABC1． 5分

因B1C平面BCC1B1，

故平面ABC1⊥平面BCC1B1． 7分

（2）如图，取AA1的中点F，连DF，FE．

又D为A1C1的中点，故DF∥AC1，EF∥AB．

因DF平面ABC1，AC1平面ABC1，

故DF∥面ABC1． ………………… 10分

同理，EF∥面ABC1．

因DF，EF为平面DEF内的两条相交直线，

故平面DEF∥面ABC1．……………………………………………………………… 12分

因DE平面DEF，

故DE∥面ABC1．…………………………………………………………………… 14分

16．（本小题满分14分）

已知函数（其中A，，为常数，

且A＞0，＞0，）的部分图象如图所示．

（1）求函数f(x)的解析式；

（2）若，求的值．

解：（1）由图可知，A=2，…………………………………………………………… 2分

T=，故，所以，f(x) =．…………………………………… 4分

又，且，故．

于是，f(x) =．………………………………………………………… 7分

（2）由，得．………………………………………… 9分

所以，………………………… 12分

=．…………………………………… 14分

17．（本小题满分14分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆(a＞b＞0)的两焦点分别为F1(，0)，F2(，0)，且经过点(，)．

（1）求椭圆的方程及离心率；

（2）设点B，C，D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B与点D关于原点O对称．设直线CD，CB，OB，OC的斜率分别为k1，k2，k3，k4，且k1k2=k3k4．

①求k1k2的值；

②求OB2+OC2的值．

解：（1）方法一

依题意，c=，a2=b2+3，……………………………………………………… 2分

由，解得b2=1(b2=，不合，舍去)，从而a2=4．

故所求椭圆方程为：．

离心率e=．…………………………………………………………………… 5分

方法二

由椭圆的定义知，2a==4，

即a=2．…………………………………………………………………………… 2分

又因c=，故b2=1．下略．

（2）①设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则D(-x1，-y1)，

于是k1k2====．………………… 8分

②方法一

由①知，k3k4=k1k2=，故x1x2=．

所以，(x1x2)2=(-4y1y2)2，即(x1x2)2==，

所以，=4．…………………………………………………………………… 11分

又2==，故．

所以，OB2+OC2 ==5．………………………………………… 14分

方法二

由①知，k3k4=k1k2=．

将直线y=k3x方程代入椭圆中，得．…………………… 9分

同理，．

所以，==4．…………………… 11分

下同方法一．

18．（本小题满分16分）

为丰富市民的文化生活，市政府计划在一块半径为200 m，圆心角为120°的扇形地上建造市民广场．规划设计如图：内接梯形ABCD区域为运动休闲区，其中A，B分别在半径OP，OQ上，C，D在圆弧上，CD∥AB；△OAB区域为文化展示区，AB长为m；其余空地为绿化区域，且CD长不得超过200 m．

（1）试确定A，B的位置，使△OAB的周长最大？

（2）当△OAB的周长最大时，设∠DOC=，试将运动休闲

区ABCD的面积S表示为的函数，并求出S的最大值．

解：（1）设，

在△中，，

即，…………………………………………………… 2分

所以，，………… 4分

所以，当且仅当m=n=50时，取得最大值，此时△周长取得最大值．

答：当都为50 m时，△的周长最大． 6分

（2）当△AOB的周长最大时，梯形ACBD为等腰梯形．

过作OF⊥CD交CD于F，交AB于E，

则分别为AB，CD的中点，

所以，由，得． 8分

在△中，．

又在△中，，故． 10分

所以，

=

，．………… 12分

令，，

，，

又y=及y=在上均为单调递减函数，

故在上为单调递减函数．

因＞0，故＞0在上恒成立，……… 14分

于是，在上为单调递增函数．

所以当时，有最大值，此时S有最大值为．

答：当时，梯形面积有最大值，且最大值为m2．… 16分

19．（本小题满分16分）

已知数列{an}，{bn}中，a1=1，，n∈N*，数列{bn}的前n项和为Sn．

（1）若，求Sn；

（2）是否存在等比数列{an}，使对任意n∈N*恒成立？若存在，求出所有满足条件的数列{an}的通项公式；若不存在，说明理由；

（3）若a1≤a2≤…≤an≤…，求证：0≤Sn＜2．

解：（1）当an=时，bn==．……………………………………… 2分

所以，Sn=．……………………………………… 4分

（2）满足条件的数列{an}存在且只有两个，其通项公式为an=1和an=．

证明：在中，令n=1，得b3=b1．

设an=，则bn=．………………………………………………… 6分

由b3=b1，得．

若q=，则bn=0，满足题设条件．此时an=1和an=．………………… 8分

若q，则，即q2 =1，矛盾．

综上，满足条件的数列{an}存在，且只有两个，一是an=1，另一是an=． 10分

（3）因1=a1≤a2≤…≤an≤…，故，0＜≤1，于是0＜≤1．

所以，≥0，n=1，2，3，…．

所以，Sn=b1+b2+…+bn≥0．………………………………………………………… 13分

又，=

=≤．

故，Sn=b1+b2+…+bn≤

==＜2．

所以，0≤Sn＜2．………………………………………………………………… 16分

20．（本小题满分16分）

已知函数（a∈R）．

（1）若a=2，求函数在(1，e2)上的零点个数（e为自然对数的底数）；

（2）若恰有一个零点，求a的取值集合；

（3）若有两零点x1，x2(x1＜x2)，求证：2＜x1+x2＜-1．

解：（1）由题设，=，故在(1，e2)上单调递减．…………………… 2分

所以在(1，e2)上至多只有一个零点．

又＜0，故函数在(1，e2)上只有一个零点．…………… 4分

（2）=，令=0，得x=1．

当x＞1时，＜0，在上单调递减；

当0＜x＜1时，＞0，在(0，1)上单调递增，

故=f(1)=a-1．……………………………………………………… 6分

①当=0，即a=1时，因最大值点唯一，故符合题设；…………… 8分

②当＜0，即a＜1时，f(x)＜0恒成立，不合题设；

③当＞0，即a＞1时，一方面，＞1，＜0；

另一方面，＜1，≤2a-ea＜0(易证：ex≥ex)，

于是，f(x)有两零点，不合题设．

综上，a的取值集合为{1}．………………………………………………………… 10分

（3）证：先证x1+x2＞2．

依题设，有a==，于是．

记=t，t＞1，则，故．

于是，x1+x2=x1(t+1)=，x1+x2-2=．

记函数g(x)=，x＞1．

因＞0，故g(x)在上单调递增．

于是，t＞1时，g(t)＞g(1)=0．

又lnt＞0，所以，x1+x2＞2．…………………………………………………………… 13分

再证x1+x2＜-1．

因f(x)=0h(x)=ax-1-xlnx=0，故x1，x2也是h(x)的两零点．

由=a-1-lnx=0，得x= (记p=)．

仿（1）知，p是h(x)的唯一最大值点，故有

作函数h(x)=，则≥0，故h(x)单调递增．

故，当x＞p时，h(x)＞h(p)=0；当0＜x＜p时，h(x)＜0．

于是，ax1-1=x1lnx1＜．

整理，得＞0，

即，＞0．

同理，＜0．

故，＜，

，

于是，．

综上，2＜x1+x2＜-1．……………………………………………………… 16分

21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．

若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）

如图，BC为圆O的直径，A为圆O上一点，过点A作圆O的切线交BC的延长线于点P，AH⊥PB于H．

求证：PA·AH=PC·HB．

证：连AC，AB．

因BC为圆O的直径，故AC⊥AB．

又AH⊥PB，故AH2=CH·HB，即．……………………………… 5分

因PA为圆O的切线，故∠PAC=∠B．

在Rt△ABC中，∠B+∠ACB=90°．

在Rt△ACH中，∠CAH+∠ACB=90°．

所以，∠HAC=∠B．

所以，∠PAC=∠CAH，

所以，，即．

所以，，即PA·AH=PC·HB．………………………………………… 10分

B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）

在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，0），B（2，0），C（1，2），矩阵，点A，B，C在矩阵M对应的变换作用下得到的点分别为，，，求△的面积．

解：因，，，

即．…………………………………………………… 6分

故．……………………………………………………………… 10分

C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数，r为常数，r＞0）．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．若直线l与曲线C交于A，B两点，且，求r的值．

解：由，得，

即直线l的方程为．…………………………………………………… 3分

由得曲线的普通方程为，圆心坐标为，……… 6分

所以，圆心到直线的距离，由，则．……………… 10分

D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）

已知实数a，b，c，d满足a＞b＞c＞d，求证：．

证：因a＞b＞c＞d，故a-b＞0，b-c＞0，c-d＞0．

故，…………… 6分

所以，．………………………………………………… 10分

【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出

文字说明、证明过程或演算步骤．

22．（本小题满分10分）

如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，．

（1）求与面所成角的正弦值；

（2）点在侧棱上，若二面角E-BD-C1的余弦值为，

求的值．

解：（1）以为原点，DA，DC，DD1分别为轴，轴，轴，

建立如图所示空间直角坐标系D-xyz．

设，则D（0，0，0），A（1，0，0），

B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，0，2），

A1（1，0，2），B1（1，1，2），C1（0，1，2）． 2分

（1）设与面所成角的大小为，

，

设平面的法向量为n=（x，y，z），

，，则，即．

令，则，所以，，

所以与平面所成角的正弦值为．………………………… 6分

（2）设E(1，0，)，0≤≤2．

设平面的法向量为n1=（x1，y1，z1），平面的法向量为n2=（x2，y2，z2），

，

由，得，

令，则，，，

由，得，

令z2=1，则x2=2，y2=-2，，，

所以，得．所以．…………………………… 10分

23．（本小题满分10分）

袋中共有8个球，其中有3个白球，5个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中．重复上述过程n次后，袋中白球的个数记为Xn．

（1）求随机变量X2的概率分布及数学期望E(X2)；

（2）求随机变量Xn的数学期望E(Xn)关于n的表达式．

解：（1）由题意可知X2=3，4，5．

当X2=3时，即二次摸球均摸到白球，其概率是P(X2=3)==；

当X2=4时，即二次摸球恰好摸到一白，一黑球，其概率是P(X2=4)==；

当X2=5时，即二次摸球均摸到黑球，其概率是P(X2=5)==．…… 3分

所以随机变量X2的概率分布如下表：

数学期望E(X2)=．……………………………… 5分

（2）设P(Xn=3+k)=pk，k=0，1，2，3，4，5．

则p0+p1+p2+p3+p4+p5=1，E(Xn)=3p0+4p1+5p2+6p3+7p4+8p5．

P(Xn+1=3)=，P(Xn+1=4)=p0+p1，P(Xn+1=5)=p1+p2，P(Xn+1=6)=p2+p3，

P(Xn+1=7)=p3+p4，P(Xn+1=8)=p4+p5，

所以，E(Xn+1)

=3×p0+4×(p0+p1)+5×(p1+p2)+6×(p2+p3)+7×(p3+p4)+8×(p4+p5)

=p0+p1+p2+p3+p4+p5

= (3p0+4p1+5p2+6p3+7p4+8p5)+ p0+p1+p2+p3+p4+p5

=E(Xn)+1．

由此可知，E(Xn+1)-8= (E(Xn)-8)．

又E(X1)-8=，所以E(Xn)=．…………………………… 10分

2015南通市高三数学三模试卷