2020年怀化市中考数学试卷

一、选择题（共10小题）.

1．下列数中，是无理数的是（　　）

A．﹣3 B．0 C． D．

2．下列运算正确的是（　　）

A．a2+a3＝a5 B．a6÷a2＝a4

C．（2ab）3＝6a3b3 D．a2•a3＝a6

3．《三国演义》《红楼梦》《水浒传》《西游记》是我国古典长篇小说四大名著．其中2016年光明日报出版社出版的《红楼梦》有350万字，则“350万”用科学记数法表示为（　　）

A．3.5×106 B．0.35×107 C．3.5×102 D．350×104

4．若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9

5．如图，已知直线a，b被直线c所截，且a∥b，若∠α＝40°，则∠β的度数为（　　）

A．140° B．50° C．60° D．40°

6．小明到某公司应聘，他想了解自己入职后的工资情况，他需要关注该公司所有员工工资的（　　）

A．众数 B．中位数 C．方差 D．平均数

7．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD＝3，则DE的长为（　　）

A．3 B． C．2 D．6

8．已知一元二次方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数根，则k的值为（　　）

A．k＝4 B．k＝﹣4 C．k＝±4 D．k＝±2

9．在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10

10．在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝k1x+b与反比例函数y2＝（x＞0）的图象如图所示、则当y1＞y2时，自变量x的取值范围为（　　）

A．x＜1 B．x＞3 C．0＜x＜1 D．1＜x＜3

二、填空题（每小题3分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上）

11．代数式有意义，则x的取值范围是　 　．

12．因式分解：x3﹣x＝　 　．

13．某校招聘教师，其中一名教师的笔试成绩是80分，面试成绩是60分，综合成绩笔试占60%，面试占40%，则该教师的综合成绩为　 　分．

14．如图，在△ABC和△ADC中，AB＝AD，BC＝DC，∠B＝130°，则∠D＝　 　°．

15．如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是　 　（结果保留π）．

16．如图，△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△An﹣1BnAn，都是一边在x轴上的等边三角形，点B1，B2，B3，…，Bn都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点A1，A2，A3，…，An，都在x轴上，则An的坐标为　 　．

三、解答题（本大题共8小题，共86分）

17．计算：+2﹣2﹣2cos45°+|2﹣|．

18．先化简，再求值：（﹣）÷，然后从﹣1，0，1中选择适当的数代入求值．

19．为了丰富学生们的课余生活，学校准备开展第二课堂，有四类课程可供选择，分别是“A．书画类、B．文艺类、C．社会实践类、D．体育类”．现随机抽取了七年级部分学生对报名意向进行调查，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图表信息回答下列问题：

（1）本次被抽查的学生共有　 　名，扇形统计图中“A．书画类”所占扇形的圆心角的度数为　 　度；

（2）请你将条形统计图补全；

（3）若该校七年级共有600名学生，请根据上述调查结果估计该校学生选择“C．社会实践类”的学生共有多少名？

（4）本次调查中抽中了七（1）班王芳和小颖两名学生，请用列表法或画树状图法求她们选择同一个项目的概率．

20．如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树的高度，在距离古树A点处测得古树顶端D的仰角为30°，然后向古树底端C步行20米到达点B处，测得古树顶端D的仰角为45°，且点A、B、C在同一直线上求古树CD的高度．（已知：≈1.414，≈1.732，结果保留整数）

21．定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．

（1）下面四边形是垂等四边形的是　 　；（填序号）

①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形

（2）图形判定：如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，过点D作BD垂线交BC的延长线于点E，且∠DBC＝45°，证明：四边形ABCD是垂等四边形．

（3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用：在图2中，面积为24的垂等四边形ABCD内接于⊙O中，∠BCD＝60°．求⊙O的半径．

22．某商店计划采购甲、乙两种不同型号的平板电脑共20台，已知甲型平板电脑进价1600元，售价2000元；乙型平板电脑进价为2500元，售价3000元．

（1）设该商店购进甲型平板电脑x台，请写出全部售出后该商店获利y与x之间函数表达式．

（2）若该商店采购两种平板电脑的总费用不超过39200元，全部售出所获利润不低于8500元，请设计出所有采购方案，并求出使商店获得最大利润的采购方案及最大利润．

23．如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，延长AB到点D，使CD＝CA，且∠D＝30°．

（1）求证：CD是⊙O的切线．

（2）分别过A、B两点作直线CD的垂线，垂足分别为E、F两点，过C点作AB的垂线，垂足为点G．求证：CG2＝AE•BF．

24．如图所示，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点．

（1）求点C及顶点M的坐标．

（2）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN、CN求△BCN面积的最大值及此时点N的坐标．

（3）若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动点，是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点G的坐标；若不存在，试说明理由．

（4）直线CM交x轴于点E，若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案

一、选择题（每小题3分，共40分；每小題的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上）

1．下列数中，是无理数的是（　　）

A．﹣3 B．0 C． D．

【分析】根据无理数的三种形式求解即可．

解：﹣3，0，是有理数，是无理数．

故选：D．

2．下列运算正确的是（　　）

A．a2+a3＝a5 B．a6÷a2＝a4

C．（2ab）3＝6a3b3 D．a2•a3＝a6

【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的除法法则、积的乘方与同底数幂的乘法法则计算各项，进而可得答案．

解：a2与a3不是同类项，不能合并，因此选项A计算错误，不符合题意；

a6÷a2＝a4，因此选项B计算正确，符合题意；

（2ab）3＝8a3b3≠6a3b3，因此选项C计算错误，不符合题意；

a2•a3＝a5≠a6，因此选项D计算错误，不符合题意．

故选：B．

3．《三国演义》《红楼梦》《水浒传》《西游记》是我国古典长篇小说四大名著．其中2016年光明日报出版社出版的《红楼梦》有350万字，则“350万”用科学记数法表示为（　　）

A．3.5×106 B．0.35×107 C．3.5×102 D．350×104

【分析】科学记数法的形式是：a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数．所以a＝3.5，n取决于原数小数点的移动位数与移动方向，n是小数点的移动位数，往左移动，n为正整数，往右移动，n为负整数．本题小数点往左移动到3的后面，所以n＝6．

解：350万＝350×104＝3.5×102×104＝3.5×106．

故选：A．

4．若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9

【分析】首先设这个多边形的边数为n，由n边形的内角和等于180°（n﹣2），即可得方程180（n﹣2）＝1080，解此方程即可求得答案．

解：设这个多边形的边数为n，

根据题意得：180（n﹣2）＝1080，

解得：n＝8．

故选：C．

5．如图，已知直线a，b被直线c所截，且a∥b，若∠α＝40°，则∠β的度数为（　　）

A．140° B．50° C．60° D．40°

【分析】首先根据对顶角相等可得∠1的度数，再根据平行线的性质可得∠β的度数．

解：∵∠α＝40°，

∴∠1＝∠α＝40°，

∵a∥b，

∴∠β＝∠1＝40°．

故选：D．

6．小明到某公司应聘，他想了解自己入职后的工资情况，他需要关注该公司所有员工工资的（　　）

A．众数 B．中位数 C．方差 D．平均数

【分析】根据题意，结合该公司所有员工工资的情况，从统计量的角度分析可得答案．

解：根据题意，小明到某公司应聘，了解这家公司的员工的工资情况，就要全面的了解中间员工的工资水平，

故最应该关注的数据是中位数，

故选：B．

7．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD＝3，则DE的长为（　　）

A．3 B． C．2 D．6

【分析】根据角平分线的性质即可求得．

解：∵∠B＝90°，

∴DB⊥AB，

又∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，

∴由角平分线的性质得DE＝BE＝3，

故选：A．

8．已知一元二次方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数根，则k的值为（　　）

A．k＝4 B．k＝﹣4 C．k＝±4 D．k＝±2

【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＝0，即可得出关于k的方程，解之即可得出k值．

解：∵一元二次方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数根，

∴△＝（﹣k）2﹣4×1×4＝0，

解得：k＝±4．

故选：C．

9．在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10

【分析】根据矩形的性质得到OA＝OB＝OC＝OD，推出S△ADO＝S△BCO＝S△CDO＝S△ABO＝2，即可求出矩形ABCD的面积．

解：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，

∴AC＝BD，且OA＝OB＝OC＝OD，

∴S△ADO＝S△BCO＝S△CDO＝S△ABO＝2，

∴矩形ABCD的面积为4S△ABO＝8，

故选：C．

10．在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝k1x+b与反比例函数y2＝（x＞0）的图象如图所示、则当y1＞y2时，自变量x的取值范围为（　　）

A．x＜1 B．x＞3 C．0＜x＜1 D．1＜x＜3

【分析】根据函数图象得到两个交点的横坐标，再观察一次函数图象在反比例函数图象上方的部分，即可得到x的取值范围．

解：由图象可得，

当y1＞y2时，自变量x的取值范围为1＜x＜3，

故选：D．

二、填空题（每小题3分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上）

11．代数式有意义，则x的取值范围是　x＞1　．

【分析】根据二次根式和分式有意义的条件可得x﹣1＞0，再解不等式即可．

解：由题意得：x﹣1＞0，

解得：x＞1，

故答案为：x＞1．

12．因式分解：x3﹣x＝　x（x+1）（x﹣1）　．

【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可．

解：原式＝x（x2﹣1）＝x（x+1）（x﹣1），

故答案为：x（x+1）（x﹣1）

13．某校招聘教师，其中一名教师的笔试成绩是80分，面试成绩是60分，综合成绩笔试占60%，面试占40%，则该教师的综合成绩为　72　分．

【分析】根据综合成绩笔试占60%，面试占40%，即综合成绩等于笔试成绩乘以60%，加上面试成绩乘以40%，即可求解．

解：根据题意知，该名老师的综合成绩为80×60%+60×40%＝72（分）

故答案为：72．

14．如图，在△ABC和△ADC中，AB＝AD，BC＝DC，∠B＝130°，则∠D＝　130　°．

【分析】根据全等三角形的判定定理得出△ABC≌△ADC，根据平行线的性质得出∠D＝∠B，代入求出即可．

【解答】证明：∵在△ADC和△ABC中

，

∴△ABC≌△ADC（SSS），

∴∠D＝∠B，

∵∠B＝130°，

∴∠D＝130°，

故答案为：130．

15．如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是　24π　（结果保留π）．

【分析】根据三视图确定该几何体是圆柱体，再计算圆柱体的侧面积．

解：由三视图可知该几何体是圆柱体，其底面半径是4÷2＝2，高是6，

圆柱的侧面展开图是一个长方形，长方形的长是圆柱的底面周长，长方形的宽是圆柱的高，

且底面周长为：2π×2＝4π，

∴这个圆柱的侧面积是4π×6＝24π．

故答案为：24π．

16．如图，△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△An﹣1BnAn，都是一边在x轴上的等边三角形，点B1，B2，B3，…，Bn都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点A1，A2，A3，…，An，都在x轴上，则An的坐标为　（2，0）　．

【分析】如图，过点B1作B1C⊥x轴于点C，过点B2作B2D⊥x轴于点D，过点B3作B3E⊥x轴于点E，先在△OCB1中，表示出OC和B1C的长度，表示出B1的坐标，代入反比例函数解析式，求出OC的长度和OA1的长度，表示出A1的坐标，同理可求得A2、A3的坐标，即可发现一般规律．

解：如图，过点B1作B1C⊥x轴于点C，过点B2作B2D⊥x轴于点D，过点B3作B3E⊥x轴于点E，

∵△OA1B1为等边三角形，

∴∠B1OC＝60°，OC＝A1C，

∴B1C＝OC，

设OC的长度为t，则B1的坐标为（t，t），

把B1（t，t）代入y＝得t•t＝，解得t＝1或t＝﹣1（舍去），

∴OA1＝2OC＝2，

∴A1（2，0），

设A1D的长度为m，同理得到B2D＝m，则B2的坐标表示为（2+m，m），

把B2（2+m，m）代入y＝得（2+m）×m＝，解得m＝﹣1或m＝﹣﹣1（舍去），

∴A1D＝，A1A2＝，OA2＝，

∴A2（，0）

设A2E的长度为n，同理，B3E为n，B3的坐标表示为（2+n，n），

把B3（2+n，n）代入y＝得（2+n）•n＝，

∴A2E＝，A2A3＝，OA3＝，

∴A3（，0），

综上可得：An（，0），

故答案为：．

三、解答题（本大题共8小题，共86分）

17．计算：+2﹣2﹣2cos45°+|2﹣|．

【分析】按照公式、特殊角的三角函数值、化简二次根式、取绝对值符号进行运算，最后计算加减即可．

解：原式＝

＝

＝

＝．

18．先化简，再求值：（﹣）÷，然后从﹣1，0，1中选择适当的数代入求值．

【分析】根据分式的运算法则进行运算求解，最后代入x＝0求值即可．

解：原式＝

＝

＝

＝．

∵x+1≠0且x﹣1≠0且x+2≠0，

∴x≠﹣1且x≠1且x≠﹣2，

当x＝0时，分母不为0，代入：

原式＝．

19．为了丰富学生们的课余生活，学校准备开展第二课堂，有四类课程可供选择，分别是“A．书画类、B．文艺类、C．社会实践类、D．体育类”．现随机抽取了七年级部分学生对报名意向进行调查，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图表信息回答下列问题：

（1）本次被抽查的学生共有　50　名，扇形统计图中“A．书画类”所占扇形的圆心角的度数为　72　度；

（2）请你将条形统计图补全；

（3）若该校七年级共有600名学生，请根据上述调查结果估计该校学生选择“C．社会实践类”的学生共有多少名？

（4）本次调查中抽中了七（1）班王芳和小颖两名学生，请用列表法或画树状图法求她们选择同一个项目的概率．

【分析】（1）用条形统计图中D类的人数除以扇形统计图中D类所占百分比即可求出被抽查的总人数，用条形统计图中A类的人数除以总人数再乘以360°即可求出扇形统计图中A类所占扇形的圆心角的度数；

（2）用总人数减去其它三类人数即得B类人数，进而可补全条形统计图；

（3）用C类人数除以总人数再乘以600即可求出结果；

（4）先利用列表法求出所有等可能的结果数，再找出王芳和小颖两名学生选择同一个项目的结果数，然后根据概率公式计算即可．

解：（1）本次被抽查的学生共有：20÷40%＝50（名），

扇形统计图中“A．书画类”所占扇形的圆心角的度数为；

故答案为：50，72；

（2）B类人数是：50﹣10﹣8﹣20＝12（人），

补全条形统计图如图所示：

（3）名，

答：估计该校学生选择“C．社会实践类”的学生共有96名；

（4）列表如下：

由表格可得：共有16种等可能的结果，其中王芳和小颖两名学生选择同一个项目的结果有4种，

∴王芳和小颖两名学生选择同一个项目的概率＝．

20．如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树的高度，在距离古树A点处测得古树顶端D的仰角为30°，然后向古树底端C步行20米到达点B处，测得古树顶端D的仰角为45°，且点A、B、C在同一直线上求古树CD的高度．（已知：≈1.414，≈1.732，结果保留整数）

【分析】设CB＝CD＝x，根据tan30°＝即可得出答案．

解：由题意可知，AB＝20，∠DAB＝30°，∠C＝90°，∠DBC＝45°，

∵△BCD是等腰直角三角形，

∴CB＝CD，

设CD＝x，则BC＝x，AC＝20+x，

在Rt△ACD中，

tan30°＝＝，

解得x＝10+10≈10×1.732+10＝27.32≈27，

∴CD＝27，

答：CD的高度为27米．

21．定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．

（1）下面四边形是垂等四边形的是　④　；（填序号）

①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形

（2）图形判定：如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，过点D作BD垂线交BC的延长线于点E，且∠DBC＝45°，证明：四边形ABCD是垂等四边形．

（3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用：在图2中，面积为24的垂等四边形ABCD内接于⊙O中，∠BCD＝60°．求⊙O的半径．

【分析】（1）根据垂等四边形的性质对每个图形判断即可；

（2）根据已知条件可证明四边形ACED是平行四边形，即可得到AC＝DE，再根据等腰直角三角形的性质即可得到结果；

（3）过点O作OE⊥BD，根据面积公式可求得BD的长，根据垂径定理和锐角三角函数即可得到⊙O的半径．

解：（1）①平行四边形的对角线互相平分但不垂直和相等，故不是垂等四边形；

②矩形对角线相等但不垂直，故不是垂等四边形；

③菱形的对角线互相垂直但不相等，故不是垂等四边形；

④正方形的对角线互相垂直且相等，故正方形是垂等四边形；

故选：④；

（2）∵AC⊥BD，ED⊥BD，

∴AC∥DE，

又∵AD∥BC，

∴四边形ADEC是平行四边形，

∴AC＝DE，

又∵∠DBC＝45°，

∴△BDE是等腰直角三角形，

∴BD＝DE，

∴BD＝AC，

又∵BD⊥AC，

∴四边形ABCD是垂等四边形；

（3）如图，过点O作OE⊥BD，

∵四边形ABCD是垂等四边形，

∴AC＝BD，

又∵垂等四边形的面积是24，

∴AC•BD＝24，

解得，AC＝BD＝4，

又∵∠BCD＝60°，

∴∠DOE＝60°，

设半径为r，根据垂径定理可得：

在△ODE中，OD＝r，DE＝，

∴r＝＝＝4，

∴⊙O的半径为4．

22．某商店计划采购甲、乙两种不同型号的平板电脑共20台，已知甲型平板电脑进价1600元，售价2000元；乙型平板电脑进价为2500元，售价3000元．

（1）设该商店购进甲型平板电脑x台，请写出全部售出后该商店获利y与x之间函数表达式．

（2）若该商店采购两种平板电脑的总费用不超过39200元，全部售出所获利润不低于8500元，请设计出所有采购方案，并求出使商店获得最大利润的采购方案及最大利润．

【分析】（1）根据利润等于每台电脑的利润乘以台数列得函数关系式即可；

（2）根据题意列不等式组，求出解集，根据解集即可得到四种采购方案，由（1）的函数关系式得到当x取最小值时，y有最大值，将x＝12代入函数解析式求出结果即可．

解：（1）由题意得：y＝（2000﹣1600）x+（3000﹣2500）（20﹣x）＝﹣100x+10000，

∴全部售出后该商店获利y与x之间函数表达式为y＝﹣100x+10000；

（2）由题意得：，

解得12≤x≤15，

∵x为正整数，

∴x＝12、13、14、15，

共有四种采购方案：

①甲型电脑12台，乙型电脑8台，

②甲型电脑13台，乙型电脑7台，

③甲型电脑14台，乙型电脑6台，

④甲型电脑15台，乙型电脑5台，

∵y＝﹣100x+10000，且﹣100＜0，

∴y随x的增大而减小，

∴当x取最小值时，y有最大值，

即x＝12时，y最大值＝﹣100×12+10000＝8800，

∴采购甲型电脑12台，乙型电脑8台时商店获得最大利润，最大利润是8800元．

23．如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，延长AB到点D，使CD＝CA，且∠D＝30°．

（1）求证：CD是⊙O的切线．

（2）分别过A、B两点作直线CD的垂线，垂足分别为E、F两点，过C点作AB的垂线，垂足为点G．求证：CG2＝AE•BF．

【分析】（1）连接OC，∠CAD＝∠D＝30°，由OC＝OA，进而得到∠OCA＝∠CAD＝30°，由三角形外角定理得到∠COD＝∠A+∠OCA＝60°，在△OCD中由内角和定理可知∠OCD＝90°即可证明；

（2）证明AC是∠EAG的角平分线，CB是∠FCG的角平分线，得到CE＝CG，CF＝CG，再证明△AEC∽△CFB，对应线段成比例即可求解．

【解答】（1）证明：连接OC，如右图所示，

∵CA＝CD，且∠D＝30°，

∴∠CAD＝∠D＝30°，

∵OA＝OC，

∴∠CAD＝∠ACO＝30°，

∴∠COD＝∠CAD+∠ACO＝30°+30°＝60°，

∴∠OCD＝180°﹣∠D﹣∠COD＝180°﹣30°﹣60°＝90°，

∴OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切线；

（2）∵∠COB＝60°，且OC＝OB，

∴△OCB为等边三角形，

∴∠CBG＝60°，

又∵CG⊥AD，

∴∠CGB＝90°，

∴∠GCB＝∠CGB﹣∠CBG＝30°，

又∵∠GCD＝60°，

∴CB是∠GCD的角平分线，

∵BF⊥CD，BG⊥CG，

∴BF＝BG，

又∵BC＝BC，

∴Rt△BCG≌Rt△BCF（HL），

∴CF＝CG．

∵∠D＝30°，AE⊥ED，∠E＝90°，

∴∠EAD＝60°，

又∵∠CAD＝30°，

∴AC是∠EAG的角平分线，

∵CE⊥AE，CG⊥AB，

∴CE＝CG，

∵∠E＝∠BFC＝90°，∠EAC＝30°＝∠BCF，

∴△AEC∽△CFB，

∴，即AE•BF＝CF•CE，

又CE＝CG，CF＝CG，

∴AE•BF＝CG2．

24．如图所示，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点．

（1）求点C及顶点M的坐标．

（2）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN、CN求△BCN面积的最大值及此时点N的坐标．

（3）若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动点，是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点G的坐标；若不存在，试说明理由．

（4）直线CM交x轴于点E，若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）令抛物线解析式中x＝0即可求出C点坐标，写出抛物线顶点式，即可求出顶点M坐标；

（2）过N点作x轴的垂线交直线BC于Q点，设N（n，n2﹣2n﹣3），求出BC解析式，进而得到Q点坐标，最后根据S△BCN＝S△NQC+S△NQB即可求解；

（3）设D点坐标为（1，t），G点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），然后分成①DG是对角线；②DB是对角线；③DC是对角线时三种情况进行讨论即可求解；

（4）连接AC，由CE＝CB可知∠B＝∠E，求出MC的解析式，设P（x，﹣x﹣3），然后根据△PEO相似△ABC，分成和讨论即可求解．

解：（1）令y＝x2﹣2x﹣3中x＝0，此时y＝﹣3，

故C点坐标为（0，﹣3），

又∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，

∴抛物线的顶点M的坐标为（1，﹣4）；

（2）过N点作x轴的垂线交直线BC于Q点，连接BN，CN，如图1所示：

令y＝x2﹣2x﹣3＝0，

解得：x＝3或x＝﹣1，

∴B（3，0），A（﹣1，0），

设直线BC的解析式为：y＝ax+b，

代入C（0，﹣3），B（3，0）得：，

解得，

∴直线BC的解析式为：y＝x﹣3，

设N点坐标为（n，n2﹣2n﹣3），故Q点坐标为（n，n﹣3），其中0＜n＜3，

则＝＝，（其中xQ，xC，xB分别表示Q，C，B三点的横坐标），且QN＝（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）＝﹣n2+3n，xB﹣xC＝3，

故，其中0＜n＜3，

当时，S△BCN有最大值为，

此时点N的坐标为（），

（3）设D点坐标为（1，t），G点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），且B（3，0），C（0，﹣3）

分情况讨论：

①当DG为对角线时，则另一对角线是BC，由中点坐标公式可知：

线段DG的中点坐标为，即，

线段BC的中点坐标为，即，

此时DG的中点与BC的中点为同一个点，

∴，解得，

经检验此时四边形DCGB为平行四边形，此时G坐标为（2，﹣3）；

②当DB为对角线时，则另一对角线是GC，由中点坐标公式可知：

线段DB的中点坐标为，即，

线段GC的中点坐标为，即，

此时DB的中点与GC的中点为同一个点，

∴，解得，

经检验此时四边形DCBG为平行四边形，此时G坐标为（4，5）；

③当DC为对角线时，则另一对角线是GB，由中点坐标公式可知：

线段DC的中点坐标为，即，

线段GB的中点坐标为，即，

此时DB的中点与GC的中点为同一个点，

∴，解得，

经检验此时四边形DGCB为平行四边形，此时G坐标为（﹣2，1）；

综上所述，G点坐标存在，为（2，﹣3）或（4，5）或（﹣2，1）；

（4）连接AC，OP，如图2所示：

设MC的解析式为：y＝kx+m，

代入C（0，﹣3），M（1，﹣4）得，

解得

∴MC的解析式为：y＝﹣x﹣3，令y＝0，则x＝﹣3，

∴E点坐标为（﹣3，0），

∴OE＝OB＝3，且OC⊥BE，

∴CE＝CB，

∴∠B＝∠E，

设P（x，﹣x﹣3），

又∵P点在线段EC上，

∴﹣3＜x＜0，

则，，

由题意知：△PEO相似△ABC，

分情况讨论：

①△PEO∽△CBA，

∴，

∴，

解得，满足﹣3＜x＜0，此时P的坐标为；

②△PEO∽△ABC，

∴，

∴，

解得x＝﹣1，满足﹣3＜x＜0，此时P的坐标为（﹣1，﹣2）．

综上所述，P点的坐标为或（﹣1，﹣2）．

2020年湖南省怀化市中考数学试卷（解析版）