（冀教版）八年级数学上册（全册）单元测试汇总

第12章分式和分式方程单元测试

一、单选题（共10题；共30分）

1.化简分式bab+b2的结果为（　　）

A、1a+b B、1a+1b C、1a+b2 D、1ab+b

2.有理式① , ② , ③ , ④ 中, 是分式的有（）

A、①② B、③④ C、①③ D、①②③④

3.若x=3是分式方程 的根, 则a的值是（    ）.

A、5 B、﹣5 C、3 D、﹣3

4.给出下列式子：1a、3a2b3c4、56+x、x7+y8、9x+10y, 其中, 是分式的有（　　）

A.5个 B.4个 C.3个 D.2个

5.在式子y2、x、12π、2x-1中, 属于分式的个数是（　　）

A.0 B.1 C.2 D.3

6.如果1a+1b=1, 则a-2ab+b3a+2ab+3b的值为（　　）

A.15 B.-15 C.-1 D.-3

7.学校建围栏, 要为24000根栏杆油漆, 由于改进了技术, 每天比原计划多油400根, 结果提前两天完成了任务, 请问原计划每天油多少根栏杆？如果设原计划每天油x根栏杆, 根据题意列方程为（   ）

A. =  +2 B. = ﹣2

C. = ﹣2 D. =  +2

8.下列分式中最简分式为（   ）

A. B. C. D.

9.小明乘出租车去体育场, 有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米, 但交通比较拥堵, 路线二的全程是30千米, 平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%, 因此能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x千米/小时, 根据题意, 得（   ）

A.25x−30(1+80%)x=1060 B.25x−30(1+80%)x=10

C.30(1+80%)x−25x=1060 D.30(1+80%)x−25x=10

10.如果 , 那么 的值是(     )

A、 B、 C、 D、

二、填空题（共8题；共24分）

11.计算 ÷ 的结果是________．

12.分式方程 = 的解是________．

13.方程 ﹣ =0的解是________．

14.计算：-3xy24z•-8zy=________ 

15.计算：3a22b·4b9a=________ .

16.分式方程5x+3=1的解是________ ．

17.关于x的方程mxx-3=3x-3无解, 则m的值是________．

18.若分式 x2−1x+2 有意义, 则x的取值范围是________．

三、解答题（共5题；共36分）

19.解方程：3xx-1=1+11-x ．

20.先化简, 再求值： (1+1x−1)÷xx2−1 , 其中：x=﹣2．

21.某市在旧城改造过程中, 需要整修一段全长2400米的道路, 为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响, 实际工作效率比原计划提高了20%, 结果提前8小时完成任务, 问原计划每小时修路多少米？

22.昆明在修建地铁3号线的过程中, 要打通隧道3600米, 为加快城市建设, 实际工作效率是原计划工作效率的1.8倍, 结果提前20天完成了任务．问原计划每天打通隧道多少米？

23.下面是我校初二（8）班一名学生课后交送作业中的一道题： 计算： x3x−1−x2−x−1 ．

解：原式= x3x−1−(x2−x−1)=x3−(x−1)(x2+x+1)=x3−(x3−1)=1 ．

你同意她的做法吗？如果同意, 请说明理由；如果不同意, 请把你认为正确的做法写下来．

四、综合题（共1题；共10分）

24.解方程：

(1)1x=5x+3；

(2)xx−1−2=32x−2 ．

答案解析

一、单选题

1、【答案】A

【考点】约分

【解析】【分析】最简分式的标准是分子, 分母中不含有公因式, 不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式, 并且观察有无互为相反数的因式, 这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．

【解答】原式=bb(a+b)＝1a+b ．

故选：A．

【点评】分式的化简过程, 首先要把分子分母分解因式, 互为相反数的因式是比较易忽视的问题．在解题中一定要引起注意．

2、【答案】C

【考点】分式的定义

【解析】【解答】①③中分母中含有字,所以为分式. ②④中不含有字母.【分析】本题考查分式的定义,区分关键是分母中是否含有字母.

3、【答案】A

【考点】分式方程的解

【解析】【分析】首先根据题意, 把x=3代入分式方程 , 然后根据一元一次方程的解法, 求出a的值是多少即可．

【解答】∵x=3是分式方程 的根,

∴ ,

∴ ,

∴a﹣2=3,

∴a=5,

即a的值是5．

故选：A．

4、【答案】C

【考点】分式的定义

【解析】【解答】解：3a2b3c4、x7+y8的分母中均不含有字母, 因此它们是整式, 而不是分式．

1a、56+x、9x+10y, 分母中含有字母, 因此是分式．

故选C．

【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母, 如果含有字母则是分式, 如果不含有字母则不是分式．

5、【答案】B

【考点】分式的定义

【解析】【解答】解：式子y2、x、12π、2x-1中, 属于分式的有2x-1 ,

只有1个．

故选B．

【分析】根据分式的定义：一般地, 如果A, B表示两个整式, 并且B中含有字母, 那么式子AB叫做分式, 可得答案．

6、【答案】B

【考点】分式的化简求值

【解析】【解答】解：∵1a+1b=1, 即a+bab=1, ∴a+b=ab,

则原式=a+b-2ab3a+b+2ab=ab-2ab3ab+2ab=-ab5ab=-15 ．

故选B．

【分析】已知等式左边通分并利用同分母分式的加法法则计算整理得到a+b=ab, 代入原式计算即可得到结果．

7、【答案】D

【考点】由实际问题抽象出分式方程

【解析】【解答】解：设每天油x根栏杆, 根据题意列方程： 24000x  = 24000x+400  +2 故选：D．

【分析】如果设每天油x根栏杆, 要为24000根栏杆油漆, 开工后, 每天比原计划多油400根, 结果提前2天完成任务, 根据原计划天数=实际天数+2可列出方程．

8、【答案】B

【考点】最简分式

【解析】【解答】解：A、 42x=2x 可以约分, 错误； B、 2xx2+1 是最简分式, 正确；

C、 x−1x2−1=1x+1 可以约分, 错误；

D、 1−xx−1=1 可以约分, 错误；

故选：B

【分析】最简分式的标准是分子, 分母中不含有公因式, 不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式, 并且观察有无互为相反数的因式, 这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．

9、【答案】A

【考点】由实际问题抽象出分式方程

【解析】【解答】解：设走路线一时的平均速度为x千米/小时, 25x ﹣ 30(1+80%)x = 1060 ．

故选：A．

【分析】若设走路线一时的平均速度为x千米/小时, 根据路线一的全程是25千米, 但交通比较拥堵, 路线二的全程是30千米, 平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%, 因此能比走路线一少用10分钟到达可列出方程．

10、【答案】D

【考点】分式的基本性质

【解析】【解答】解：∵ ,

 

 

 , 故选D.

二、填空题

11、【答案】

【考点】分式的乘除法

【解析】【解答】 ÷ = = ．

故答案为： ．

【分析】利用分式的乘除法求解即可．

12、【答案】x=9

【考点】解分式方程

【解析】【分析】观察可得最简公分母是x（x﹣3）, 方程两边乘最简公分母, 可以把分式方程转化为整式方程求解．

【解答】方程的两边同乘x（x﹣3）, 得

3x﹣9=2x ,

解得x=9．

检验：把x=9代入x（x﹣3）=54≠0．

∴原方程的解为：x=9．

故答案为：x=9．

13、【答案】x=6

【考点】解分式方程

【解析】【分析】先去分母, 然后求出整式方程的解, 继而代入检验即可得出方程的根．

【解答】去分母得：3（x﹣2）﹣2x=0,

去括号得：3x﹣6﹣2x=0,

整理得：x=6,

经检验得x=6是方程的根．

故答案为：x=6．

14、【答案】6xy

【考点】分式的乘除法

【解析】【解答】解：原式=24xy2z4yz

=6xy．

故答案为：6xy．

【分析】原式利用分式相乘的方法计算, 约分即可得到结果．

15、【答案】23a

【考点】约分, 分式的乘除法

【解析】【解答】解：原式=23a ． 故答案为23a

【分析】两个分式相乘, 把分子相乘的积作为积的分子, 把分母相乘的积作为积的分母．然后进行约分、化简即可．

16、【答案】x=2

【考点】分式方程的解

【解析】【解答】解：方程的两边同乘（x+3）, 得

5=x+3,

解得x=2．

检验：把x=2代入（x+3）=5≠0．

所以原方程的解为：x=2．

故答案为x=2．

【分析】观察可得最简公分母是（x+3）, 方程两边乘最简公分母, 可以把分式方程转化为整式方程求解．

17、【答案】1或0

【考点】分式方程的解

【解析】【解答】解：去分母得mx=3,

∵x=3时, 最简公分母x﹣3=0, 此时整式方程的解是原方程的增根,

∴当x=3时, 原方程无解, 此时3m=3, 解得m=1,

当m=0时, 整式方程无解

∴m的值为1或0时, 方程无解．

故答案为：1或0．

【分析】先把分式方程化为整式方程得到mx=3, 由于关于x的分式方程mxx-3=3x-3无解, 当x=3时, 最简公分母x﹣3=0, 将x=3代入方程mx=3, 解得m=1, 当m=0时, 方程也无解．

18、【答案】x≠2

【考点】分式有意义的条件

【解析】【解答】解：由题意得：x+2≠0, 解得：x≠2,

故答案为：x≠2．

【分析】根据分式有意义的条件可得x+2≠0, 再解即可．

三、解答题

19、【答案】解：去分母得：3x=x﹣1﹣1,

解得：x=﹣1,

经检验x=﹣1是分式方程的解．

【考点】解分式方程

【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程, 求出整式方程的解得到x的值, 经检验即可得到分式方程的解．

20、【答案】解： , = ,

= ,

=x+1,

当x=﹣2时,

原式=﹣2+1,

=﹣1

【考点】分式的化简求值

【解析】【分析】本题需先对要求的式子进行整理, 再把x的值代入即可求出答案．

21、【答案】解：设原计划每小时修路x米, ,

解得, x=50,

经检验x=50时分式方程的解,

即原计划每小时修路50米

【考点】分式方程的应用

【解析】【分析】根据题意可以列出相应的分式方程, 然后解分式方程即可, 本题得以解决．

22、【答案】解：设原计划每天打通隧道x米, 由题意得： ﹣ =20, 解得：x=80,

经检验：x=80是原分式方程的解,

答：原计划每天打通隧道80米

【考点】分式方程的应用

【解析】【分析】首先设原计划每天打通隧道x米, 则实际每天打通隧道1.8x米, 根据题意可得等量关系：原计划所用时间﹣实际所用时间=20天, 根据等量关系列出方程, 再解即可．

23、【答案】解：原式= ﹣ ﹣ ﹣ =

【考点】分式的加减法

【解析】【分析】根据分式的加减, 可得答案．

四、综合题

24、【答案】（1）解：去分母得：x+3=5x,

解得：x= 34 ,

经检验x= 34 是分式方程的解

（2）解：去分母得：2x﹣4x+4=3,

解得：x= 12 ,

经检验x= 12 是分式方程的解

【考点】解分式方程

【解析】【分析】两分式方程去分母转化为整式方程, 求出整式方程的解得到x的值, 经检验即可得到分式方程的解．

第13章全等三角形单元测试

一、单选题（共10题；共30分）

1.下列说法错误的是（　　）

A.两个面积相等的圆一定全等

B.全等三角形是指形状、大小都相同的三角形

C.底边相等的两个等腰三角形全等

D.斜边上中线和一条直角边对应相等的两直角三角形全等

2.如图, 在四边形ABCD中, AD∥BC, ∠C=90°, BC=CD=8, 过点B作EB⊥AB, 交CD于点E．若DE=6, 则AD的长为（　　）

A.6 B.8 C.10 D.无法确定

3.下列说法正确的是（　　）

①代数式ab+1的意义是a除以b的商与1的和；

②要使y=3-xx有意义, 则x应该满足0＜x≤3；

③当2x﹣1=0时, 整式2xy﹣8x2y+8x3y的值是0；

④地球上的陆地面积约为149000000平方千米, 用科学记数法表示为1.49×108平方千米．

A.①④ B.①② C.②③ D.③④

4.（2016•娄底）下列命题中, 错误的是（　　）

A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形

B.有一个角是直角的平行四边形是矩形

C.有一组邻边相等的平行四边形是菱形

D.内错角相等

5.如图, ∠B=∠E=90°, AB=DE, AC=DF, 则△ABC≌△DEF的理由是（   ）

A.SAS B.ASA C.AAS D.HL

6.如图所示, AC=BD, AB=CD, 图中全等的三角形的对数是（   ）

A、2 B、3 C、4 D、5

7.对于命题“如果∠1+∠2=90°, 那么∠1≠∠2”, 说明它是假命题的反例可以是（   ）

A、∠1=50°, ∠2=40°

B、∠1=50°, ∠2=50°

C、∠1=40°, ∠2=40°

D、∠1=∠2=45°

8.如图, 在矩形ABCD中（AD＞AB）, 点E是BC上一点, 且DE=DA, AF⊥DE, 垂足为点F, 在下列结论中, 不一定正确的是（   ）

A.△AFD≌△DCE B.AF= 12  AD

C.AB=AF D.BE=AD﹣DF

9.下列四个命题中是真命题的是（   ）

A、相等的角是对顶角

B、两条直线被第三条直线所截, 同位角相等

C、垂直于同一条直线的两条直线互相平行

D、实数与数轴上的点是一一对应的

10.如图, 在四边形ABCD中, E是BC边的中点, 连接DE并延长, 交AB的延长线于F点, AB＝BF.添加一个条件, 使四边形ABCD是平行四边形．你认为下面四个条件中可选择的是(   )

A、AD＝BC B、CD＝BF C、∠A＝∠C D、∠F＝∠CDE

二、填空题（共8题；共24分）

11.如图为6个边长相等的正方形的组合图形, 则∠1+∠3=________ ．

12.下列几种说法：①全等三角形的对应边相等；②面积相等的两个三角形全等；③周长相等的两个三角形全等；④全等的两个三角形一定重合, 其中正确的有________ （填写正确的序号）

13.把命题“平行于同一直线的两直线平行”改写成“如果…, 那么…”的形式：​ ________

14.如图, 在四边形ABCD中, ∠A=120°, ∠C=60°, AB=2, AD=DC=4, 则BC边的长为________ ．

 

15.根据图中尺规作图的痕迹, 先判断得出结论：________ , 然后证明你的结论（不要求写已知、求证）

 

16.命题“对顶角相等”的“条件”是________．

17.命题“对顶角相等”的逆命题是________

18.（2014•义乌市）如图, 矩形ABCD中, AB=8, 点E是AD上的一点, 有AE=4, BE的垂直平分线交BC的延长线于点F, 连结EF交CD于点G．若G是CD的中点, 则BC的长是________．

三、解答题（共5题；共39分）

19.如图, 已知∠AOB=20°．

（1）若射线OC⊥OA, 射线OD⊥OB, 请你在图中画出所有符合要求的图形；

（2）请根据 （1）所画出的图形, 求∠COD的度数．

20.利用直尺或圆规画图（不写画法、保留作图痕迹, 以答卷上的图为准）

（1）利用图a中的网格, 过P点画直线AB的平行线；

（2）已知：如图b, 线段a, b；请按下列步骤画图；

     ①画线段BC, 使得BC=a﹣b；

     ②在直线BC外取一点A, 使线段BA=a﹣b, 画线段AB和射线AC．

21.在△ABC中, AE平分∠BAC交BC于E, DE∥AC交AB于D, 过D作DF∥BC交AC于F, 若AD=3, 求FC．

22.已知AB=AD, BC=DC．求证：AC平分∠BAD．

23.如图, 已知∠1=∠2, ∠3=∠4, EC=AD, 求证：AB=BE．

四、综合题（共1题；共7分）

24.如图, 已知△ABC内接于⊙O, AB是直径, OD⊥BC于点D, 延长DO交⊙O于F, 连接OC, AF．

(1)求证：△COD≌△BOD；

(2)填空：①当∠1=________时, 四边形OCAF是菱形； ②当∠1=________时, AB=2 OD．

答案解析

一、单选题

1、【答案】C

【考点】全等图形

【解析】【解答】解：A、两个面积相等的圆一定全等, 说法正确；

B、全等三角形是指形状、大小都相同的三角形, 说法正确；

C、底边相等的两个等腰三角形全等, 说法错误；

D、斜边上中线和一条直角边对应相等的两直角三角形全等, 说法正确；

故选：C．

【分析】根据圆的面积公式可得两个面积相等的圆半径一定也相等, 故A说法正确；根据全等三角形的概念可得B说法正确；底边相等的两个等腰三角形, 腰长不一定相等, 故C说法错误；斜边上中线相等的直角三角形, 斜边也相等, 再有一条直角边对应相等, 故两个直角三角形全等, 因此D说法正确．

2、【答案】C

【考点】全等三角形的判定与性质

【解析】【解答】解：作BF⊥AD与F,

∴∠AFB=BFD=90°,

∵AD∥BC,

∴∠FBC=∠AFB=90°,

∵∠C=90°,

∴∠C=∠AFB=∠BFD=∠FBC=90°．

∴四边形BCDF是矩形．

∵BC=CD,

∴四边形BCDF是正方形,

∴BC=BF=FD．

∵EB⊥AB,

∴∠ABE=90°,

∴∠ABE=∠FBC,

∴∠ABE﹣∠FBE=∠FBC﹣∠FBE,

∴∠CBE=∠FBA．

在△BCE和△BAF中

,

∴△BCE≌△BAF（ASA）,

∴CE=FA．

∵CD=BC=8, DE=6,

∴DF=8, CE=2,

∴FA=2,

∴AD=8+2=10．

故选C．



【分析】作BF⊥AD与F, 就可以得出BF∥CD, 就可以得出四边形BCDF是矩形, 进而得出四边形BCDF是正方形, 就有BF=BC, 证明△BCE≌△BAF就可以得出AF=CE, 进而得出结论．

3、【答案】D

【考点】命题与定理

【解析】【解答】解：代数式ab+1的意义是a除以b与1的和, 所以①错误；

要使y=3-xx有意义, 则x应该满足x≤3且x≠0, 所以②错误；

2xy﹣8x2y+8x3y=2xy（1﹣4x+4x2）=2xy（1﹣2x）2 , 当2x﹣1=0时, 原式的值是0, 所以③正确；

地球上的陆地面积约为149000000平方千米, 用科学记数法表示为1.49×108平方千米, 所以④正确．

故选D．

【分析】根据代数式的表示方法可对①进行判断；根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件可对②进行判断；先把2xy﹣8x2y+8x3y因式分解, 然后利用整体代入的方法计算, 则可对③进行判断；根据科学记数法的定义对④进行判断．

4、【答案】D

【考点】同位角、内错角、同旁内角, 平行四边形的判定, 菱形的判定, 矩形的判定, 命题与定理

【解析】【解答】解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形, 正确．

B、有一个角是直角的平行四边形是矩形, 正确．

C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形, 正确．

D、内错角相等, 错误, 缺少条件两直线平行, 内错角相等．

故选D．

【分析】根据平行四边形、矩形、菱形的判定方法即可判断A、B、C正确．本题考查命题与定理、平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定等知识, 解题的关键是熟练掌握特殊四边形的判定方法, 属于中考常考题型．

5、【答案】D

【考点】全等三角形的判定, 直角三角形全等的判定

【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC与Rt△DEF中, {AB=DEAC=DF ,

∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．

故选：D．

【分析】根据直角三角形的判定定理进行选择．

6、【答案】B

【考点】全等三角形的判定

【解析】【解答】解：∵AC=BD, AB=CD, BC=BC, ∴△ABC≌△DCB,

∴∠BAC=∠CDB．

同理得△ABD≌△DCA．

又因为AB=CD, ∠AOB=∠COD,

∴△ABO≌△DCO．

故选B．

【分析】利用SSS, SAS, AAS判定三角形全等, 在做题时要注意从已知开始, 由易到难, 循序渐进．

7、【答案】D

【考点】命题与定理

【解析】【解答】解：对于命题“如果∠1+∠2=90°, 那么∠1≠∠2”, 说明它是假命题的反例可以是∠1=∠2=45°,

故选：D．

【分析】根据题意、假命题的概念进行判断即可．

8、【答案】B

【考点】全等三角形的判定, 矩形的性质

【解析】【解答】解：（A）由矩形ABCD, AF⊥DE可得∠C=∠AFD=90°, AD∥BC, ∴∠ADF=∠DEC．

又∵DE=AD,

∴△AFD≌△DCE（AAS）, 故（A）正确；

（B）∵∠ADF不一定等于30°,

∴直角三角形ADF中, AF不一定等于AD的一半, 故（B）错误；

（C）由△AFD≌△DCE, 可得AF=CD,

由矩形ABCD, 可得AB=CD,

∴AB=AF, 故（C）正确；

（D）由△AFD≌△DCE, 可得CE=DF,

由矩形ABCD, 可得BC=AD,

又∵BE=BC﹣EC,

∴BE=AD﹣DF, 故（D）正确；

故选B．



【分析】先根据已知条件判定△AFD≌△DCE（AAS）, 再根据矩形的对边相等, 以及全等三角形的对应边相等进行判断即可．

9、【答案】D

【考点】命题与定理

【解析】【解答】解：A、相等的角不一定是对顶角, 故错误, 是假命题； B、两条平行直线被第三条直线所截, 同位角相等, 故错误；

C、同一平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行, 故错误, 是假命题；

D、实数与数轴上的点一一对应, 正确, 是真命题,

故选D．

【分析】利用对顶角的性质、平行线的性质、垂线的定义及实数的性质分别判断后即可确定正确的选项．

10、【答案】D

【考点】全等三角形的判定与性质, 平行四边形的判定

【解析】【解答】解：把A、B、C、D四个选项分别作为添加条件进行验证, D为正确选项．添加D选项, 即可证明△DEC≌△FEB, 从而进一步证明DC=BF=AB, 且DC∥AB．故选D.

二、填空题

11、【答案】90°

【考点】全等图形

【解析】【解答】解：∵在△ABC和△DBE中AB=BD∠A=∠DAC=ED ,

∴△ABC≌△DBE（SAS）,

∴∠3=∠ACB,

∵∠ACB+∠1=90°,

∴∠1+∠3=90°,

故答案为：90°．



【分析】首先利用SAS定理判定△ABC≌△DBE, 根据全等三角形的性质可得∠3=∠ACB, 再由∠ACB+∠1=90°, 可得∠1+∠3=90°．

12、【答案】①④

【考点】全等图形

【解析】【解答】解：①全等三角形的对应边相等, 正确；

②面积相等的两个三角形不一定全等, 故此选项错误；

③周长相等的两个三角形不一定全等, 故此选项错误；

④全等的两个三角形一定重合, 正确．

故答案为：①④．

【分析】直接利用全等三角形的性质分别判断得出即可．

13、【答案】如果两条直线都与第三条直线平行, 那么这两条直线互相平行．

【考点】命题与定理

【解析】【解答】解：命题可以改写为：“如果两条直线都与第三条直线平行, 那么这两条直线互相平行”．

故答案为：如果两条直线都与第三条直线平行, 那么这两条直线互相平行．

【分析】命题由题设和结论两部分组成, 通常写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设, “那么”后面接结论．

14、【答案】6

【考点】全等三角形的判定与性质

【解析】【解答】解：连结BD, 作DM⊥AB于M, DN⊥BC于N,

∵∠BAD=120°,

∴∠MAD=180°﹣120°=60°,

∵AD=4,

∴AM=2, DM=23 ,

∵∠C=60°,

∴DN=23 , NC=2,

在Rt△BDM与Rt△BDN中,

 DM=DNBD=BD ,

∴Rt△BDM≌Rt△BDN（HL）,

∴BN=BM=2+2=4,

∴BC=BN+NC=6．

故答案为：6．

 

【分析】连结BD, 作DM⊥AB于M, DN⊥BC于N, 根据三角函数可求AM=2, DM=23 , DN=23 , NC=2, 通过HL证明Rt△BDM≌Rt△BDN, 根据全等三角形的性质可得BN=BM, 再根据线段的和差关系即可求解．

15、【答案】OM平分∠BOA

【考点】作图—基本作图

【解析】【解答】解：结论：OM平分∠BOA,

证明：由作图的痕迹可知, OC=OD, CM=DM,

在△COM和△DOM中,

 ,

∴△COM≌△DOM,

∴∠COM=∠DOM,

∴OM平分∠BOA．

【分析】根据图中尺规作图的痕迹可知, OC=OD, CM=DM, 根据全等三角形的判定和性质得到答案．

16、【答案】两个角是对顶角

【考点】命题与定理

【解析】【解答】解：“对顶角相等”的“条件”是两个角是对顶角． 故答案为：两个角是对顶角．

【分析】根据命题由题设与结论组成可得到对顶角相等”的“条件”是若两个角是对顶角, 结论是这两个角相等．

17、【答案】相等的角为对顶角

【考点】命题与定理

【解析】【解答】解：命题“对顶角相等”的逆命题是“相等的角为对顶角”． 故答案为相等的角为对顶角．

【分析】交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题．

18、【答案】7

【考点】全等三角形的判定与性质, 线段垂直平分线的性质, 勾股定理, 矩形的性质

【解析】【解答】解：∵矩形ABCD中, G是CD的中点, AB=8, ∴CG=DG= 12 ×8=4,

在△DEG和△CFG中,

{∠D=∠DCF=90∘CG=DG∠DGE=∠CGF ,

∴△DEG≌△CFG（ASA）,

∴DE=CF, EG=FG,

设DE=x,

则BF=BC+CF=AD+CF=4+x+x=4+2x,

在Rt△DEG中, EG= DE2+DG2 = x2+16 ,

∴EF=2 x2+16 ,

∵FH垂直平分BE,

∴BF=EF,

∴4+2x=2 x2+16 ,

解得x=3,

∴AD=AE+DE=4+3=7,

∴BC=AD=7．

故答案为：7．

【分析】根据线段中点的定义可得CG=DG, 然后利用“角边角”证明△DEG和△CFG全等, 根据全等三角形对应边相等可得DE=CF, EG=FG, 设DE=x, 表示出BF, 再利用勾股定理列式求EG, 然后表示出EF, 再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BF=EF, 然后列出方程求出x的值, 从而求出AD, 再根据矩形的对边相等可得BC=AD．

三、解答题

19、【答案】解：（1）如图1、如图2, OC（或OC′）、OD（或OD′）为所作；

（2）如图1, ∵OC⊥OA, OD⊥OB,

∴∠BOD=∠AOC=90°,

∴∠COD=360°﹣90°﹣90°﹣20°=160°,

∠COD′=∠BOC﹣∠AOC=90°+20°﹣90°=20°,

如图2, 同理可得∠COD=160°, ∠COD′=20°,

∴∠COD=20°或160°．



【考点】作图—基本作图

【解析】【分析】（1）根据垂直的定义画射线OC⊥OA, 射线OD⊥OB；

（2）如图1, 由于OC⊥OA, OD⊥OB, 则∠BOD=∠AOC=90°, 于是利用周角的定义可计算出∠COD=160°, 利用∠COD′=∠BOC﹣∠AOC可得到∠COD′=20°, 如图2, 同理可得∠COD=160°, ∠COD′=20°．

20、【答案】解：（1）如图a所示．



（2）请按下列步骤画图：

①画线段BC, 使得BC=a﹣b；                 

②在直线BC外任取一点A, 使线段BA=a﹣b, 画直线AB和射线AC．



【考点】作图—复杂作图

【解析】【分析】（1）根据网格结构的特点, 利用直线与网格的夹角的关系找出与AB平行的格点即可；

（2）①画一条直线；用圆规以任意一点B为圆心截取a的长交直线于P点；再以P点为圆心截取b的长交线段于C点；则BC为所求线段；

②在直线BC外任取一点A, 画直线AB和射线AC即可．

21、【答案】解：∵AE平分∠BAC交BC于E,

∴∠1=∠3．

∵DE∥AC,

∴∠2=∠3,

∴∠1=∠3,

∴∠1=∠2,

∴AD=DE．

又∵DE∥AC, DF∥BC,

∴四边形DECF是平行四边形,

∴DE=FC,

∴AD=FC,

∵AD=3,

∴CF=3．

【考点】平行线的性质, 全等三角形的判定与性质

【解析】【分析】由平行线的性质得到∠1=∠2, 则AD=DE．利用“有两组对边分别平行的四边形是平行四边形”推知四边形DECF是平行四边形, 则DE=FC．由等量代换证得结论．

22、【答案】证明：在△BAC和△DAC中,

,

∴△BAC≌△DAC（SAS）,

∴∠BAC=∠DAC,

∴AC是∠BAD的平分线

【考点】全等三角形的判定与性质

【解析】【分析】根据全等三角形的判定定理SSS推出△BAC≌△DAC, 根据全等三角形的性质可得∠BAC=∠DAC即可．

23、【答案】证明：∵∠1=∠2, ∴∠ABD=∠EBC, ∵∠3=∠4, ∴∠A=∠E．

又EC=AD,

∴△ABD≌△EBC．

∴AB=BE．

【考点】全等三角形的判定与性质

【解析】【分析】求线段相等, 可把线段放进两个三角形中, 求解三角形全等, 由全等, 即可得出线段相等．

四、综合题

24、【答案】（1）证明：

∵AF=OC=OF=AO,

∴△AOF为等边三角形,

∴∠3=60°, 且∠3=∠DOB=60°,

又∵OD⊥BC,

∴D是BC的中点, ∠1=30°；

∵AB是直径,

∴∠ACB=90°,

∴∠2=60°,

∴△AOC是等边三角形,

∵△AOF是等边三角形,

∴AF=OC=OF=AO,

在△AOC和△OAF中, ,

∴△AOC≌△AOF（SAS）；

（2）30°；45°

【考点】全等三角形的判定与性质, 菱形的判定, 垂径定理, 三角形的外接圆与外心

【解析】【解答】（2）解：

当∠1=30°时, 四边形OCAF是菱形．

理由如下：

∵∠1=30°, AB是直径,

∴∠BCA=90°,

∴∠2=60°, 而OC=OA,

∴△OAC是等边三角形,

∴OA=OC=CA,

又∵D, O分别是BC, BA的中点,

∴DO∥CA,

∴∠2=∠3=60°而OC=OA=AF．

∴△OAF是等边三角形,

∴AF=OA=OF,

∴OC=CA=AF=OF,

∴四边形OCAF是菱形；

②当∠1=45°时, AB=2 OD,

∵∠1=45°,

∵OD⊥BC于点D,

∴△BOD是等腰直角三角形,

∴OB= OD,

∴AB=2OB=2 OD．

【分析】（1）证出△AOF和△AOC是等边三角形, 由SAS即可证出；△AOC≌△OAF；（2）①要四边形OCAF是菱形, 需OC=CA=AF=OF, 即△AOC为等腰三角形, ∠2=60°, 那么∠1=30°；②由等腰直角三角形的性质即可得到结论．

第14章实数单元测试

一、单选题（共10题；共30分）

1.如图, 若A是实数a在数轴上对应的点, 则关于a, -a, 1的大小关系表示正确的是（  ）

A、a＜1＜－a B、a＜－a＜1 C、1＜－a＜a D、－a＜a＜1

2.下列各数中, 没有平方根的是（   ）.

A、-（-2）3 B、3-3 C、a0 D、-（a2+1）

3.下列各数有平方根的是（   ）

A、-52 B、-53 C、-52 D、-33×5

4.9的算术平方根是

A、9 B、-3 C、3 D、±3

5.﹣1的立方根为（　　）

A、-1 B、±1 C、1 D、不存在

6.如图, Rt△MBC中, ∠MCB=90°, 点M在数轴﹣1处, 点C在数轴1处, MA=MB, BC=1, 则数轴上点A对应的数是（　　）

A.5+1 B.-5+1 C.-5-10 D.5-1

7.﹣27的立方根是（　　）

A.2 B.-2 C.3或﹣3 D.-3

8.实数4的算术平方根是（　　）

A.±2 B.2 C.-2 D.4

9.（2011•资阳）如图, 在数轴上表示实数 14 的点可能是（   ）

A.点M B.点N C.点P D.点Q

10.下列计算正确的是（   ）

A.30=0 B.﹣|﹣3|=﹣3 C.3﹣1=﹣3 D.

二、填空题（共8题；共27分）

11.化简：|3-2|=________ ．

12.计算：= ________．

13.﹣27的立方根与的平方根的和是________ 

14. 27的立方根为________．

15.观察下列各式： 1+13 =2 13 , 2+14 =3 14 , 3+15 =4 15 , …请你找出其中规律, 并将第n（n≥1）个等式写出来________．

16.﹣ 的相反数是________；比较大小：﹣π________﹣3.14．

17.已知直角三角形两边x、y的长满足|x2﹣4|+ =0, 则第三边长为________．

18.已知a=2255 , b=3344 , c=5533 , d=6622 , 则a, b, c, d的大小关系是________．

三、解答题（共6题；共43分）

19.若△ABC的三边a、b、c满足|a﹣15|+（b﹣8）2+=0, 试判断△ABC的形状, 并说明理由．

20.求下列各式中的x

（1）12(x-1)2=18；

（2）（x﹣7）3=27．

21.求出下列各式的值：

（1）﹣；

（2）+,

（3）﹣1；

（4）+．

22.若5a+1和a﹣19都是M的平方根, 求M的值．

23.已知一个正方体的体积是1000cm3 , 现在要在它的8个角上分别截去8个大小相同的小正方体, 使截去后余下的体积是488cm3 , 问截得的每个小正方体的棱长是多少？

24.在数轴上表示下列实数： 12 , |﹣2.5|, ﹣22 , ﹣（+2）, ﹣ 2 , 并用“＜”将它们连接起来．

答案解析

一、单选题

1、【答案】A

【考点】实数与数轴, 实数大小比较

【解析】【分析】根据数轴可以得到a＜1＜-a, 据此即可确定哪个选项正确．

【解答】∵实数a在数轴上原点的左边,

∴a＜0, 但|a|＞1, -a＞1,

则有a＜1＜-a．

故选A．

【点评】本题考查了实数与数轴的对应关系, 数轴上的数右边的数总是大于左边的数

2、【答案】C

【考点】平方根

【解析】【解答】A、-（-2)3=8＞0, 故本选项错误；

B、3-3=127＞0, 故本选项错误；

C、当a=0时, a0无意义, 故本选项错误；

D、∵a2≥0, ∴a2+1≥1, ∴-（a2+1)≤-1, 故本选项正确．

故选C．

【分析】由于负数没有平方根, 那么只要找出A、B、C、D中的负数即可．本题主要考查了平方根的定义及性质．

定义：如果一个数的平方等于a, 这个数就叫做a的平方根, 也叫做a的二次方根．

性质：一个正数有两个平方根, 它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．

3、【答案】C

【考点】平方根

【解析】【分析】正数有两个平方根, 它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.

A、-52=-25；B、-53=-125；D、-33×5=-135, 均没有平方根, 故错误；

C、-52=25, 平方根是±5. 故应选C.

【点评】本题属于基础应用题, 只需学生熟练掌握平方根的定义, 即可完成.

4、【答案】C

【考点】算术平方根

【解析】【分析】一个正数有两个平方根, 且它们互为相反数, 其中正的平方根叫它的算术平方根．

9的算术平方根是3, 故选C．

【点评】本题属于基础应用题, 只需学生熟练掌握算术平方根的定义, 即可完成．

5、【答案】A

【考点】立方根

【解析】【解答】解：因为（﹣1）3=﹣1,

所以﹣1的立方根为﹣1,

即-13​=﹣1,

故选A．

【分析】由立方根的概念：如果一个数x的立方等于a, 那么这个数x就叫做a的立方根．根据﹣1的立方等于﹣1即可求出﹣1的立方根．

6、【答案】D

【考点】实数与数轴

【解析】【解答】解：在Rt△MBC中, ∠MCB=90°,

∴MB=MC2+BC2 ,

∴MB=5 ,

∵MA=MB,

∴MA=5 ,

∵点M在数轴﹣1处,

∴数轴上点A对应的数是5﹣1．

故选：D．

【分析】通过勾股定理求出线段MB, 而线段MA=MB, 进而知道点A对应的数, 减去1即可得出答案．

7、【答案】D

【考点】立方根

【解析】【解答】解：∵（﹣3）3=﹣27,

∴ -273=﹣3

故选D．

【分析】根据立方根的定义求解即可．

8、【答案】B

【考点】算术平方根

【解析】【解答】解：实数4的算术平方根是2,

故选B．

【分析】利用算术平方根的定义计算即可得到结果．

9、【答案】C

【考点】实数与数轴, 估算无理数的大小

【解析】【解答】解：∵12.25＜14＜16, ∴3.5＜ 14 ＜4,

∴在数轴上表示实数 14 的点可能是点P．

故选C．

【分析】先对 14 进行估算, 再确定 14 是在哪两个相邻的整数之间, 然后确定对应的点即可解决问题．

10、【答案】B

【考点】绝对值, 算术平方根, 零指数幂, 负整数指数幂

【解析】【解答】解：A、30=1, 故A错误； B、﹣|﹣3|=﹣3, 故B正确；

C、3﹣1= , 故C错误；

D、 =3, 故D错误．

故选B．

【分析】根据平方根, 负指数幂的意义, 绝对值的意义, 分别计算出各个式子的值即可判断．

二、填空题

11、【答案】2﹣3

【考点】实数

【解析】【解答】解：∵3-2＜0

∴|3-2|=2﹣3．

故答案为：2﹣3．

【分析】要先判断出3-2＜0, 再根据绝对值的定义即可求解．

12、【答案】3

【考点】算术平方根

【解析】【解答】解：∵32=9,

∴9=3．

故答案为：3．

【分析】根据算术平方根的定义计算即可．

13、【答案】0或﹣6

【考点】平方根, 立方根

【解析】【解答】解：∵﹣27的立方根是﹣3, 的平方根是±3,

所以它们的和为0或﹣6．

故答案：0或﹣6．

【分析】分别利用平方根、立方根的定义求解即可．解题注意=9, 所以求的算术平方根就是求9的平方根．

14、【答案】3

【考点】立方根

【解析】【解答】解：∵33=27,

∴27的立方根是3,

故答案为：3．

【分析】找到立方等于27的数即可．考查了求一个数的立方根, 用到的知识点为：开方与乘方互为逆运算．

15、【答案】n+1n+2=(n+1)1n+2

【考点】算术平方根

【解析】【解答】解： 1+13 =（1+1） 11+2 =2 13 , 2+14 =（2+1） 12+2 =3 14 ,

3+15 =（3+1） 13+2 =4 15 ,

…

n+1n+2=(n+1)1n+2 ,

故答案为： n+1n+2=(n+1)1n+2 ．

【分析】根据所给例子, 找到规律, 即可解答．

16、【答案】；＜

【考点】实数大小比较

【解析】【解答】解：﹣ 的相反数是 ． ∵π＞3.14,

∴﹣π＜﹣3.14．

故答案为： ；＜．

【分析】依据相反数的定义、两个负数绝对值大的反而小进行解答即可．

17、【答案】

【考点】算术平方根, 解一元二次方程-因式分解法, 勾股定理

【解析】【解答】解：∵|x2﹣4|≥0, , ∴x2﹣4=0, y2﹣5y+6=0,

∴x=2或﹣2（舍去）, y=2或3, ①当两直角边是2时, 三角形是直角三角形, 则斜边的长为： = ；②当2, 3均为直角边时, 斜边为 = ；③当2为一直角边, 3为斜边时, 则第三边是直角, 长是 = ．

【分析】任何数的绝对值, 以及算术平方根一定是非负数, 已知中两个非负数的和是0, 则两个一定同时是0；

另外已知直角三角形两边x、y的长, 具体是两条直角边或是一条直角边一条斜边, 应分类讨论．

18、【答案】a＞b＞c＞d

【考点】实数大小比较, 幂的乘方与积的乘方

【解析】【解答】解：∵a=2255=（225）11 , b=3344=（334）11 , c=5533=（553）11 , d=6622=（662）11； 225＞334＞553＞662；

∴2255＞3344＞5533＞6622 , 即a＞b＞c＞d,

故答案为：a＞b＞c＞d．

【分析】本题应先将a、b、c、d化为指数都为11的乘方形式, 再比较底数的大小, 即可确定出a、b、c、d的大小．

三、解答题

19、【答案】解：△ABC是直角三角形,

理由如下：由题意得, a﹣15=0, b﹣8=0, c﹣17=0,

解得, a=15, b=8, c=17,

∵a2+b2=225+64=289, c2=289,

∴a2+b2=c2 ,

∴△ABC是直角三角形．

【考点】绝对值, 算术平方根, 无理数

【解析】【分析】根据非负数的性质列出算式, 求出a、b、c的值, 根据勾股定理的逆定理判断即可．

20、【答案】解：（1）12(x-1)2=18

（x﹣1）2=16

x﹣1=4或x﹣1=﹣4,

解得：x=5或﹣3；

（2）（x﹣7）3=27

x﹣7=3

x=10．

【考点】平方根, 立方根

【解析】【分析】（1）根据平方根, 即可解答；

             （2）根据立方根, 即可解答．

21、【答案】解：（1）﹣

=3﹣2

=1；

（2）+

=4+3

=7；

（3）﹣1

=﹣1

≈0.9565﹣1

=-0.0435；

（4）+

=8﹣3

=5．

【考点】平方根, 立方根

【解析】【分析】（1）根据立方根的定义解答；

（2）根据立方根和算术平方根的定义解答；

（3）利用计算器算出7的立方根, 再进行计算即可得解；

（4）根据算术平方根和立方根的定义解答．

22、【答案】解：①当5a+1+a﹣19=0时, 解得a=3,

∴5a+1=16, a﹣19=﹣16,

∴M=（±16）2=256；

②当5a+1=a﹣19时,

解得：a=﹣5,

则M=（﹣25+1）2=576,

故M的值为256或576

【考点】平方根

【解析】【分析】一个非负数的平方根有2个, 它们互为相反数, 依此列式计算即可, 但有两种情况．

23、【答案】解：设截得的每个小正方体的棱长xcm, 依题意得

1000﹣8x3=488,

∴8x3=512,

∴x=4,

答：截得的每个小正方体的棱长是4cm

【考点】立方根

【解析】【分析】由于个正方体的体积是1000cm3 , 现在要在它的8个角上分别截去8个大小相同的小正方体, 使截去后余下的体积是488cm3 , 设截得的每个小正方体的棱长xcm, 根据已知 条件可以列出方程1000﹣8x3=488, 解方程即可求解．

24、【答案】解： , |﹣2.5|=2.5, ﹣22=﹣4, ﹣（+2）=﹣2, ﹣ , 表示在数轴上, 如图所示：



则﹣22＜﹣（+2）＜﹣ ＜ ＜|﹣2.5|

【考点】实数与数轴, 实数大小比较

【解析】【分析】各数计算得到结果, 比较大小即可．

第15章二次根式单元测试

一、单选题（共10题；共30分）

1.要使代数式有意义, 必须(      )

A、x≤2 B、x≥2 C、x≤-2 D、x≥-2

2.若0＜x＜1, 那么x+1+的化简结果是（     ）

A、2x B、2 C、0 D、2x+2

3.下列计算正确的是（   ）

A、 B、 C、 D、

4.下列各式（题中字母均为正实数）中化简正确的是（   ）

A、 B、

C、 D、

5.下面计算正确的是（  ）

A、4+=4 B、÷=3 C、·= D、=±2

6.下列二次根式中, 能与合并的是（   ）

A、 B、 C、－ D、

7.已知xy＞0, 化简二次根式x 的正确结果为（　　）

A、 B、 C、- D、-

8.下列运算正确的是（   ）

A、﹣ = B、=2 C、﹣ = D、=2﹣

9.下列计算正确的是（   ）

A、 B、=

C、 D、=﹣2

10.下列二次根式中, 不能与 合并的是（   ）

A、 B、 C 、 D、

二、填空题（共8题；共24分）

11.若x＜0, y＞0, 化简=________ ．

12.三角形的三边长分别为3、m、5, 化简﹣=________ 

13.计算：=________ 

14.已知y= , 则 =________．

15.若 =3﹣x, 则化简 ﹣ =________．

16.计算： • =________．

17.化简： （b＜a＜0）得________．

18.计算：（2 ）2=________．

三、解答题（共6题；共46分）

19.若实数a、b、c满足, 求2a﹣3b+c2的值．

20.已知y=+18, 求代数式的值．

21.化简:（1）       （2）  

22.计算：﹣2cos45°•tan45°

23.若是整数, 求自然数x．

24.已知：实数a, b在数轴上的位置如图所示, 化简：﹣|a﹣b|．

答案解析

一、单选题

1、【答案】D

【考点】二次根式有意义的条件

【解析】【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可求解．

【解答】根据题意得, x+2≥0,

解得x≥-2．

故选D．

【点评】本题考查了二次根式的意义, 概念：式子（a≥0)叫二次根式．意义：二次根式中的被开方数必须是非负数, 否则二次根式无意义

2、【答案】B

【考点】二次根式的性质与化简

【解析】【分析】根据x的取值范围, 先判断x-1的符号, 再开方合并.

【解答】∵0＜x＜1,

∴|x-1|=1-x

∴x+1+=x+1+|x-1|

=x+1+1-x

=2

故选B.

【点评】本题主要考查了绝对值和开平方根的计算能力.

3、【答案】C

【考点】二次根式的性质与化简, 二次根式的乘除法, 二次根式的加减法

【解析】【分析】根据二次根式的运算法则依次分析各选项即可作出判断.

【解答】A、与不是同类二次根式, 无法合并, B、, D、, 故错误；

C、, 本选项正确.

选C

【点评】本题属于基础应用题, 只需学生熟练掌握二次根式的运算法则, 即可完成.

4、【答案】D

【考点】二次根式的性质与化简

【解析】【分析】根据二次根式的性质依次分析各选项即可作出判断.

A、, B、, C、, 故错误；

选D

【点评】解题的关键是熟练掌握二次根式的性质：当时, ；当时, ．

5、【答案】B

【考点】二次根式的混合运算

【解析】【分析】A．4+=4, 不能合并, 本选项错误；

B．, 本选项正确；

C．, 故本选项错误；

D．, 故本选项错误.

故选B.