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2010年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（必修+选修Ⅱ）

本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

注意事项：

1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并帖好条形码．请认真核准条形码的准考证号、姓名和科目．

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．

3．第I卷共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式

P(A+B)=P(A)+P(B)

如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径

P(A·B)=P(A)·P(B) 球的体积公式

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么

n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径

一、选择题

（1）复数

（A） （B） （C） （D）

（2）记，那么

（A） （B）- （C） （D）-

（3）若变量满足约束条件则的最大值为

（A）4 （B）3 （C）2 （D）1

（4）已知各项均为正数的等比数列中，=

（A） （B）7 （C）6 （D）

（5）的展开式中x的系数是

（A）-4 （B）-2 （C）2 （D）4

（6）某校开设A类选修课3门，B类选择题4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有

（A）30种 （B）35种 （C）42种 （D）48种

（7）正方体ABCD—A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为

（A） （B） （C） （D）

（8）设，则

（A） （B） （C） （D）

（9）已知F1、F2为双曲线的左、右焦点，点P在C上，，则P到x轴的距离为

（A） （B） （C） （D）

（10）已知函数，则的取值范围是

（A） （B） （C） （D）

（11）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为

（A） （B） （C） （D）

（12）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AC=CD=2，则四面体ABCD的体积的最大值为

（A） （B） （C） （D）

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2010年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（必修+选修Ⅱ）

第Ⅱ卷

注意事项：

1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效。

3．第Ⅱ卷共10小题，共90分。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上。

（注意：在试题卷上作答无效）

（13）不等式的解集是 。

（14）已知为第三象限的角，，则 。

（15）直线与曲线有四个交点，则的取值范围是 。

（16）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为 。

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分10分）（注意：在试题卷上作答无效）

已知内角A，B及其对边，满足，求内角C。

（18）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审，若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的主审，则予以录用，否则不予录用。高稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3。各专家独立评审。

（Ⅰ）求设到该杂志的1篇稿件被录用的概率；

（Ⅱ）记X表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X的分布列及期望。

（19）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

如图，四棱锥S—ABCD中，底面ABCD，AB//DC，，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC。

（Ⅰ）证明：SE=2EB；

（Ⅱ）求二面角A—DE—C的大小。

（20）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

已知函数

（Ⅰ）若，求的取值范围；

（Ⅱ）证明：

（21）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

已知抛物线的焦点为F，过点K（-1，0）的直线与C相交于A、B两点，点A关于轴的对称点为D。

（Ⅰ）证明：点F在直线BD上；

（Ⅱ）设，求的内切圆M的方程。

（22）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

已知数列中，

（Ⅰ）设，求数列的通项公式；

（Ⅱ）求使不等式成立的的取值范围。

参考答案

一、选择题

（1）A （2）B （3）B （4）A （5）C （6）A

（7）D （8）C （9）B （10）C （11）D （12）B

二、填空题

（13）]

（14）

（15）

（16）

三、解答题：

（17）解：

由及正弦定理得

，

从而

又

故，

所以

（18）解：（Ⅰ）记A表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；

B表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；

C表示事件：稿件能通过复审专家的评审；

D表示事件：稿件被录用。

则

（Ⅱ），其分布列为：

，

，

，

，

期望

（19）解法一：

（Ⅰ）连结BD，取DC的中点G，连结BG，

由此知DG=GC=BG=1，即为直角三角形，

故

又平面ABCD，故BCSD，

所以，BC平面BDS，BCDE。

作BKEC，K为垂足，因平面EDC平面SBC，

故BK平面EDC，BKDE。DE与平面SBC内的两条相交直线BK、BC都垂直。

DE平面SBC，DEEC，DESB…………4分

所以SE=2EB。

（Ⅱ）由

知，

又AD=1。

故为等腰三角形，

取ED中点F，连接AF，则AFDE，

所以，是二面角A—DE—C的平面角。

连结AG，

所以，二面角A—DE—C的大小为120°。

解法二：以D为坐标原点 ，射线DA为轴正半轴，

建立如图所示的直角坐标系

设，则

（Ⅰ）

设平面SBC的法向量为

由得

故

令

又设，则

设平面CDE的法向量

则，得

故

令

由平面DEC平面SBC得

故SE=2EB。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

取DE中点E，则

故，由此得

又，故，

由此得，

向量与的夹角等于二面角A—DE—C的平面角。

于是

所以，二面角A—DE—C的大小为120°。

（20）解：

（Ⅰ）

题设等价于

令

当时，0' altImg='bdb1b826acd593af45089831b06e7f4b.png' w='78' h='21' class='_4'>；

当时，，

的最大值点，

综上，的取值范围是

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即

当时，

当时；

所以

（21）解：

设，的方程为

（Ⅰ）将并整理得

从而

直线BD的方程为

即

令，得

所以点F（1，0）在直线BD上。

（Ⅱ）由①知，

因为

故

解得

所以的方程为

又由①知

故直线BD的斜率

因而直线BD的方程为

因为KF为的平分线，故可设圆心，及BD的距离分别为

由

（舍去），

故圆M的半径

所以圆M的方程为

（22）解：

（Ⅰ），

，

即

，

又

所以是首项为，公比为4的等比数列，

（Ⅱ）

用数学归纳法证明：当时，

（i）当时，，命题成立；

（i i）设当时，，则当时，

故由（i），（ii）知当时，

当时，令，

由得

当时，

当时，，于是

，

当时，

因此不符合要求。

所以的取值范围是

2010年全国1卷高考数学（含答案）