习题课(二)　直线的位置关系

1．两直线的平行与垂直．

(1)l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，

则l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2；

l1⊥l2⇔k1k2＝－1.

(2)l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0；l1⊥l2⇒A1A2＋B1B2＝0.

2．若l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)．

当≠，即A1B2≠A2B1时，l1与l2相交；

当A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1时，l1∥l2；

当A1B2＝A2B1且A1C2＝A2C1时，l1与l2重合．

3．定点问题．

含有一个待定系数(参数)的二元一次方程过定点问题的解法为：

(1)特殊值法．利用不论参数取何值，方程都有解，给方程中的参数取两个特殊值，可得关于x，y的两个方程，从中解出的x，y的值，即为所求定点的坐标．

(2)分离参数法．将方程整理为m(A1x＋B1y＋C1)＋A2x＋B2y＋C2＝0，则该方程表示的直线一定过直线A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0的交点，而交点就是定点．

将含有参数的直线方程写成点斜式y－y0＝m(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)．

一、选择题

1．直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是(C)

A．(－6，－2) B.

C. D.

解析：解法一　联立两直线方程求交点，其横、纵坐标均为正解出k范围．

解法二　取值检验排除法，取k＝0符合，故可排除A、B、D.

2．直线y＝2x＋10，y＝x＋1，y＝ax－2交于一点，则a的值为(C)

A. B.

C. D.

解析：求y＝2x＋10与y＝x＋1交点，代入y＝ax－2，解出a＝.

3．方程(a－1)x－y＋2a＋1＝0(a∈R)所表示的直线(A)

A．恒过定点(－2，3)

B．恒过定点(2，3)

C．恒过点(－2，3)和点(2，3)

D．都是平行直线

解析：将方程整理为：a(x＋2)－x－y＋1＝0，

由解得

4．两条直线mx＋y－n＝0和x＋my＋1＝0互相平行的条件是(D)

A．m＝1

B．m＝±1

C.

D.或

(提示：小心两直线不能重合)

5．若直线x＋ay－a＝0与直线ax－(2a－3)y－1＝0垂直，则a的值为(C)

A．2 B．－3或1

C．2或0 D．1或0

6．直线ax＋3y－9＝0与直线x－3y＋b＝0关于原点对称，则a，b的值依次是(B)

A．1，9 B．－1，－9

C．1，－9 D．－1，9

解析：ax＋3y－9＝0关于原点对称直线为－ax－3y－9＝0.

即ax＋3y＋9＝0与x－3y＋b＝0表示同一直线．

∴＝＝，∴a＝－1，b＝－9.

7．直线l与直线x－3y＋10＝0，2x＋y－8＝0分别交于点M，N，若MN的中点是(0，1)，则直线l的方程是(A)

A．x＋4y－4＝0 B．4x＋y－4＝0

C．x－4y＋4＝0 D．x－4y－4＝0

8．在坐标平面内，与点A(1，2)距离为1，且与点B(3，1)距离为2的直线共有(B)

A．1条 B．2条

C．3条 D．4条

解析：∵|AB|＝，∴A、B必在直线的同侧，共有2条．

二、填空题

9．点P(2，3)关于直线l：x－y－4＝0的对称点Q为______．

解析：设P关于l对称点为P′(x0，y0)，

则×1＝－1且－－4＝0，

解得

故所求点：(7，－2)．

答案：(7，－2)

10．直线x－y－2＝0关于直线3x－y＋3＝0对称的直线方程为：____________．

答案：7x＋y＋22＝0

11．已知a，b∈R，且a＋b＋1＝0，则(a－2)2＋(b－3)2的最小值是________．

答案：18

12．顺次连接A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)所组成的图形是________．

答案：直角梯形

三、解答题

13．a为何值时，三条直线l1：ax－3y－5＝0，l2：3x＋4y－2＝0，l3：2x＋y＋2＝0不能围成三角形？

解析：①若l2与l3的交点P(－2，2)在l1上，则a＝－.

②若l1∥l2，则a＝－，若l1∥l3，则a＝－6，

故欲使l1，l2，l3围不成三角形，则

a＝－或－或－6.

14．(1)求证：不论m为何实数，直线(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0必过定点；

(2)过这定点引一直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这点平分，求这条直线的方程．

(1)证明：直线方程可写成

m(x－2y－3)＋2x＋y＋4＝0.

由得

∴点(－1，－2)适合方程(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0，因此，直线(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0过定点(－1，－2)．

(2)解析：设过点(－1，－2)所引的直线与x轴、y轴分别交于A(a，0)、B(0，b)点，

∵(－1，－2)是线段AB的中点，

∴　解得

故所求直线方程为2x＋y＋4＝0.

[金版学案]2015-2016高中数学 第三章 直线与方程习题课（二）新人教A版必修2