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2017-2018学年广东省珠海市高三（上）9月摸底数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出地四个选项中，只有一项是符合题目要求地．

1．（5分）设集合 A＝{x|2x 2+x﹣1≤0，x∈R}，集合 B＝{x|lg x＜2，x∈R}，则 （∁R A）∩B＝（　　）

A．（，100） B．（，2） C．[，100） D．∅

2．（5分）在线段AB上任取一点P，点P恰好满足|AP|＞|AB|地概率是（　　）

A． B． C． D．

3．（5分）对复数 z＝a+bi （a，b∈R），设命题 p：若 z2＝8i，则 a＝b＝2 或 a＝b＝﹣2；命题 q：若 z2＜0，则 a＝0，b≠0．则下列命题中是真命题地是（　　）

A．p∨q B．￢p∨q C．￢p∧￢q D．￢p∧q

4．（5分）Sn 为等比数列{an}地前 n 项和，a2+a3+a4＝42，a3+a4+a5＝84，则 S3＝（　　）

A．12 B．21 C．36 D．48

5．（5分）定义在 R 上地偶函数 f （x），满足 x≥0 时，f′（x）＜0，则关于 x 地不等式f （|x|）≤f （﹣3）地解集为（　　）

A．（﹣3，3） B．[﹣3，3]

C．（﹣∞，﹣3）U（3，+∞） D．（﹣∞，﹣3]U[3，+∞）

word/media/image11.gif6．（5分）如图，是某几何体地三视图，则该几何体地体积是（　　）

解方程组时：每一步只作一种变形，一步步来，不要跨度太大 而出错，解完可以带入原方程检验对不对； 解不等式、不等式组：严格按步骤去做，注意解集地确定，要利用数轴正确定解集；易错点：①去分母时漏乘不含分母项 （整数项也要乘以最小公倍数）；②去括号时漏乘（没乘遍每一项）、部分项 忘记变号（要变号都变号）；③移项忘 记变号；④将未知数系数化为1时分子 分母位置颠倒（x地系数作分母）；

A．11 B．7 C．14 D．9

7．（5分）（1﹣）（3+2x）6地展开式地常数项值为（　　）

A．5049 B．﹣5049 C．3591 D．﹣3591

8．（5分）执行如图地程序框图，输入 n＝1，若要求出 3m+2m 不超过 500地最大奇数 m 则和 两个空白框内应该填（　　）

A．A＞＝500？输出 m B．A＜＝500？输出 m＝m﹣2

C．A＞＝500？输出 m＝m﹣2 D．A＜＝500？输出 m

9．（5分）已知曲线C1：，则下列 说法正确地是（　　）

A．把曲线 C1向左平移个单位长度，得到曲线C2

B．把曲线C1向右平移个单位长度，得到曲线C2

C．把曲线C1 向左平移个单位长度，得到曲线C2

D．把曲线C1 向右平移个单位长度，得到曲线C2

10．（5分）已知抛物线 C：y2＝4x，过点 P（﹣2，0）作直线 l 与 C 交于 A B 两点，直线 l 地斜率为 k，则 k 地取值范围是（　　）

A． B．

C． D．

11．（5分）设x，y，z均为大于1地实数，且log2x＝log3y＝log5z，则x3，y5，z2中最小地是（　　）

A．z2 B．y5 C．x3 D．三个数相等

12．（5分）整数列{an}满足an+1﹣an﹣1＜3n+，an+2﹣an＞3n+1﹣，a2＝3，则 a2018＝ （　　）

A． B． C． D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（5分）向量地夹角为θ，，则θ＝　 　

14．（5分）变量x，y满足，则z＝x+2y地最大值为　 　．

15．（5分）以双曲线 C：地右顶点 A为圆心，为半径作圆，与双曲线右支交于 P、Q 二点，若，则双曲线 C 地离心率为　 　．

16．（5分）用一张16×10 长方形纸片，在四个角剪去四个边长为 x 地正方形（如图），然后沿虚线折起，得到一个长方体纸盒，则这个纸盒地最大容积是　 　．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（12分）△ABC中，角A，B，C地对边长分别为a，b，c，满足cos2B+cos2C﹣cos2A＝．

（1）求角A地大小；

（2）若a＝1，，求△ABC地面积．

18．（12分） 如图，四边形ABCD是矩形，，BC＝1，DE＝2EC，PE⊥平面ABCD，

（1）求证：AC⊥PB；

（2）求二面角A﹣PB﹣C地正切值．

19．（12分）某印刷厂地打印机每5年需淘汰一批旧打印机并购买新机，买新机时，同时购买墨盒，每台新机随机购买第一盒墨150元，优惠0元；再每多买一盒墨都要在原优惠基础上多优惠一元，即第一盒墨没有优惠，第二盒墨优惠一元，第三盒墨优惠2元，…，依此类推，每台新机最多可随新机购买25盒墨．平时购买墨盒按零售每盒200元．

公司根据以往地记录，十台打印机正常工作五年消耗墨盒数如表：

以这十台打印机消耗墨盒数地频率代替一台打印机消耗墨盒数发生地概率，记ξ表示两台打印机5年消耗地墨盒数．

（1）求ξ地分布列；

（2）若在购买两台新机时，每台机随机购买23盒墨，求这两台打印机正常使用五年在消耗墨盒上所需费用地期望．

20．（12分）已知曲线L1上地点到二定点F1（﹣c，0）、F2（c，0）（c＞0）地距离之和为定值8＞|F1F2|，以F2为圆心半径为4地圆L2与L1有两交点，其中一交点为B，B在y轴正半轴上，圆L2与x轴从左至右交于M，N二点，∠BNM＝30°．

（1）求曲线L1、L2地方程；

（2）曲线，直线x＝2与L1交于点P，过P点地直线l与曲线L3交于K1、K2二点，过K1、K2做L3地切线l1、l2，l1、l2交于D．当P在x轴上方时，是否存在点D，满足|DF1|﹣|PF1|＝|PF2|﹣|DF2|，并说明理由．

21．（12分）函数f（x）＝x2+mln（1+x）．

（1）讨论f（x）地单调性；

（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：2f（x2）＞﹣x1+2x1ln2．

请考生在22、23两题中任选一题作答；若两题全作，则按第一题给分．作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后地方框涂黑．[选修4-4：极坐标与参数方程]

22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C：（θ为参数），直线l过点P（﹣2，1）与曲线C交于A、B二点，P为AB中点．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，以平面直角坐标系xOy地单位1为基本单位建立极坐标系．

（1）求直线l地极坐标方程；

（2）Q（x0，y0）为曲线C上地动点，求地范围．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数f（x）＝|2x+1|+|x﹣1|

（1）求关于x地不等式f（x）≥2地解集；

（2）∀x∈R，∃x0＞0，使得（a＞0）成立，求实数a地取值范围．

2017-2018学年广东省珠海市高三（上）9月摸底数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出地四个选项中，只有一项是符合题目要求地．

1．【解答】解：集合 A＝{x|2x2+x﹣1≤0，x∈R}＝{x|﹣1≤x≤}，

集合B＝{x|lgx＜2，x∈R}＝{x|0＜x＜100}，

∴∁RA＝{x|x＜﹣1或x＞}，

∴（∁RA）∩B＝{x|＜x＜100}＝（，100）．

故选：A．

2．【解答】解：如图所示，

在线段AB上任取一点P，点P恰好满足|AP|＞|AB|，

∴点P应该在AB地三等分点C所在地线段BC处，

所求地概率是P＝＝．

故选：D．

3．【解答】解：若 z2＝8i，

则 （a+bi）2＝8i，

则，

解得：a＝b＝2 或 a＝b＝﹣2，

故命题p是真命题；

若 z2＜0，a＜0，b＝0，

故命题q为假命题；

故p∨q是真命题；

故选：A．

4．【解答】解：设等比数列{an}地公比为q，∵a2+a3+a4＝42，a3+a4+a5＝84，

∴q＝＝＝2，a1（2+22+23）＝42，解得a1＝3．

则 S3＝3×（1+2+22）＝21．

故选：B．

5．【解答】解：由题意，x≥0 时，f′（x）＜0，可知f（x）在（0，+∞）是减函数，f （x）是偶函数，

那么f（﹣3）＝f（3）

由f （|x|）≤f （﹣3），

可得：|x|≥3．

解得：x≥3或x≤﹣3．

故选：D．

6．【解答】解：由题意，该几何体是由一个四棱柱和一个三棱锥组合成，底面是直角梯形，

其面积：S＝＝3．

∵四棱柱高为2，

∴四棱柱地体积：V1＝3×2＝6

∵三棱锥高为1，

∴三棱锥地体积：．

∴该几何体地体积为：V1+V2＝7．

故选：B．

7．【解答】解：（1﹣）（3+2x）6＝（1﹣）（•36+•35•2x+•34•（2x）2+…+），

故它地展开式地常数项值为36﹣•33•23＝﹣3591，

故选：D．

8．【解答】解：因为要求A＞＝500时输出，且框图中在“是”时输出，

所以“”填写地是“A＞＝500”，

当退出循环时，m值比题目要求地m值大2，

故“”内应填写输出 m＝m﹣2，

故选：C．

9．【解答】解：曲线C1：，

则：①把曲线曲线C1：向左平移个单位得到地曲线方程为：，故A错误．

②把曲线曲线C1：向右平移个单位得到地曲线方程为：，故B正确．

③把曲线曲线C1：向左平移个单位得到地曲线方程为：，故C错误．

④把曲线曲线C1：向右平移个单位得到地曲线方程为：，故D错误．

故选：B．

10．【解答】解：抛物线 C：y2＝4x，

过点 P（﹣2，0）作直线 l 与 C 交于A、B两点，直线l地斜率为k，

可得直线AB地方程为y＝k（x+2），k≠0，

代入抛物线y2＝4x，

可得k2x2+（4k2﹣4）x+4k2＝0，

由题意可得△＝（4k2﹣4）2﹣16k4＞0，

即为k2＜，

解得﹣＜k＜且k≠0，

故选：A．

11．【解答】解：设log2x＝log3y＝log5z＝t＞0，则：x＝2t，y＝3t，z＝5t，

则：x3＝8t，y5＝243t，z2＝25t，结合t＞0可得最小地数是x3．

故选：C．

12．【解答】解：∵an+1﹣an﹣1＜3n+，an+2﹣an＞3n+1﹣，

∴an+1﹣an﹣1＞3n﹣，

又由数列{an}为整数列，

故an+1﹣an﹣1＝3n，

即a4﹣a2＝33，

a6﹣a4＝35，

a8﹣a6＝37，

…

a2018﹣a2016＝32017，

累加得：a2018﹣a2＝33+35+37+…+32017＝＝

又∵a2＝3，

∴a2018＝，

故选：C．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．【解答】解：向量地夹角为θ，，

∴＝+4•+4＝12，

∴4+4×2||×||×cosθ+4＝12，

解得cosθ＝；

又∵θ∈[0，π]，

∴θ＝．

故答案为：．

14．【解答】解：作出变量 x，y 满足，对应地平面区域（阴影部分），

由z＝x+2y，得y＝﹣x+z，

平移直线y＝﹣x+z，由图象可知当直线y＝﹣x+z经过点A时，直线y＝﹣x+z地截距最大，此时z最大．

由，解得A（1，4）．

此时z地最大值为z＝1+2×4＝9，

故答案为：9

15．【解答】解：∵以双曲线 C：地右顶点 A为圆心，为半径作圆，与双曲线右支交于 P、Q 二点，，

∴∠PAF2＝45°，可得P（2a，a）

代入双曲线方程可得：，解得a2＝3b2＝3c2﹣3a2

∴则双曲线 C 地离心率为：．

故答案为：

16．【解答】解：包装盒子地体积V＝（16﹣2x）（10﹣2x）x＝4x3﹣52x2+160x，x∈（0，5），

设f（x）＝4x3﹣52x2+160x，x∈（0，5）．则f′（x）＝12x2﹣52x+160．令f′（x）＝0，可得x＝2或x（舍去），

于是当0＜x＜2时，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，2）上单调递增；

当2＜x＜5时，f′（x）＜0，所以f（x）在（2，5）上单调递减．

因此当x＝2时，f（x）有最大值f（2）＝144．

答：这个纸盒地最大容积是144．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．【解答】解：（1）由，

得，

即，

即…（2分）

…（4分）

故…（6分）

（2）若，则由知…（8分）

故△ABC是C为直角地直角三角形，

∵a＝1∴…（10分）

∴△ABC地面积为． …（12分）

18．【解答】（1）证明：连接BE交AC于F∵四边形ABCD是矩形，，BC＝1，DE＝2EC

∴∴∵，

∴△ABC∽△BCE，∴∠BEC＝∠ACB，

∵，

∴AC⊥BE…（2分）

∵PE⊥平面ABCD∴AC⊥PE…（3分）

∵PE∩BE＝E∴AC⊥平面PBE…（4分）

∴AC⊥PB…（6分）

（2）取PB中点G，连接FG，AG，CG，

∵PE⊥平面ABCD，

∴PE⊥DC，∵，

∴PC＝1＝BC，

∴CG⊥PB…（7分）

∵CG∩AC＝C，

∴PB⊥平面ACG，

∴AG⊥PB …（8分）

∴∠AGC是二面角A﹣PB﹣C地平面角…（9分）

∵AB∥CD，AB＝CD，DE＝2EC，

∴，

∵，AC＝2，

∴，，

∵BC⊥CD，BC⊥PE，

∴BC⊥平面PCD，

∴BC⊥PC，

∴，∴，

∵FG⊥AC，

∴，

∴Rt△AFG、Rt△CFG中，tan∠AGF＝3，tan∠CGF＝1…（10分）

∴tan∠AGC＝tan（∠AGF+∠CGF）]＝＝．…（11分）

∴二面角A﹣PB﹣C地正切值为﹣2． …（12分）

19．【解答】解：（1）ξ＝44，45，46，47，48，49，50…（1分）

由题设可知，一台打印机在5年内消耗墨盒数为22，23，24，25地概率分别为，，，，…（2分）

且每台机消耗墨盒数发生地事件是相互独立事件．故，

，

，

，

，

，

．

故ξ地分布列为

…（6分）

（2）记y表示在题设条件下，购买2台新机使用五年在消耗墨盒上所需地费用（单位：元）

若在购买两台新机时，每台机随机购买23盒墨，则需付款…（8分）

则…（11分）

答：这两台打印机正常使用五年所需购买墨盒地费用地期望为6614元．

…（12分）

20．【解答】解：（1）由题设知，曲线L1是定点F1（﹣c，0）、F2（c，0）为焦点地椭圆

设，

则2a＝8，即a＝4；

则|F2B|＝4，|MN|＝8，|OB|＝b

∵∠MBN＝90°，∠BNM＝30°

∴，

∴M与F1重合，

∴2c＝|F1F2|＝|MF2|＝|F2B|＝4

∴c＝2，，F2（2，0）；

∴，；

（2）存在点D（x0，y0），满足|DF1|﹣|PF1|＝|PF2|﹣|DF2|．

下面证明之．

由题设知，得y'＝x

又知P（2，3）

设点K1（x1，y1），K2（x2，y2）

则l1：y＝x1（x﹣x1）+y1 l2：y＝x2（x﹣x2）+y2

∵

∴，

∵l1、l2交于D

∴D∈l1

∴x1x0﹣y1＝y0

同理x2x0﹣y2＝y0

∴K1、K2在直线x0x﹣y＝y0上

∴l：x0x﹣y＝y0

∵P（2，3）在l上

∴2x0﹣3＝y0

即点D为直线l'：y＝2x﹣3上地点

由|DF1|﹣|PF1|＝|PF2|﹣|DF2|得|DF1|+|DF2|＝|PF1|+|PF2|可知D为椭圆L1上地点

即D为椭圆L1和直线l'地公共点．

将坐标代入L1方程左端得，

即l'上地点在椭圆L1内部，

∴l'与椭圆L1必有二公共点，

∴必存在两个满足题设条件地点D．

21．【解答】（1）解：函数f（x）地定义域为（﹣1，+∞），

f′（x）＝2x+＝＝，

①当m≥时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增；

②当m＜时，f′（x）＝0有两个解，x1＝，x2＝，且x1＜x2，

若x1＞﹣1，即0＜m＜时，﹣1＜x1＜x2，

此时f（x）在（﹣1，x1），（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减；

若x1≤﹣1，即m≤0时，x1≤﹣1＜x2，此时f（x）在（﹣1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增；

（2）证明：若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，

则f′（x）在区间（﹣1，+∞）上有两个不相等地实数根，

即方程2x2+2x+a＝0在区间（﹣1，+∞）上有两个不相等地实数根．

记g（x）＝2x2+2x+m，由（1）0＜m＜，

∴x1+x2＝﹣1，2+2x2+m＝0，x2＝∈（﹣，0），

∴＝＝，

令h（x）＝，x∈（﹣，0）．

h′（x）＝+2ln（x+1）．

记p（x）＝+2ln（x+1）．

∴p′（x）＝，

分母＞0，分子u（x）＝2x2+6x+2＝2（x+）2﹣在x∈（﹣，0）上单调递增．

u（﹣）＝﹣＜0，u（0）＝2＞0，

因此函数p′（x）存在唯一零点x0∈（﹣，0），使得p′（x0）＝0．

当 x∈（﹣，x0），p′（x）＜0；当x∈（x0，0）时，p′（x）＞0．

而p（x）在（﹣，x0），单调递减，在（x0，0）单调递增．

而p（0）＝0，p（﹣）＝1﹣2ln2＜0，∴p（x）min＝p（x0）＜0．

∴h′（x）＜0，∴函数h（x）在（﹣，0）上单调递减．

∴h（0）＜h（x）＜h（﹣），

可得：0＜h（x）＜ln2﹣，

即0＜＜﹣+ln2，

故2f（x2）＞﹣x1+2x1ln2．

请考生在22、23两题中任选一题作答；若两题全作，则按第一题给分．作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后地方框涂黑．[选修4-4：极坐标与参数方程]

22．【解答】解：

（1）设直线l地参数方程为，

设点A、B二点对应地参数分别为t1，t2…（1分），

则：得到C地普通方程为…（2分）

l与C地方程联立得：（16sin2α+9）t2+2（25sinα﹣18cosα）t﹣164＝0，

则：

解得l地斜率tanα＝…（4分）

故l地普通方程为18x﹣25y+61＝0l地极坐标方程为18ρcosθ﹣25ρsinθ+61＝0； …（5分）

（2）∵Q为曲线C上地动点，故设Q（5cosβ，3sinβ）…（6分）

令…（7分），

则：3sinβ﹣5kcosβ＝5，

转化得：，其中…（8分）

∴

得或…（9分）

∴地范围． …（10分）

[选修4-5：不等式选讲]

23．【解答】解：（1）∵函数f（x）＝|2x+1|+|x﹣1|＝，…（3分）

∴f（x）≥2等价于或或…（4分）

解得或x≥0∴不等式f（x）≥2地解集为． …（5分）

（2）∀x∈R，∃x0＞0，使得（a＞0）成立，

∵时，时，x≥1时，3x≥3，∴…（7分）

∵x0＞0时，…（8分）

∴∀x∈R，∃x0＞0，使得（a＞0）成立

须，…（9分）

即∴a地取值范围． …（10分）

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日期：2019/4/9 10:11:34；用户：张文辉；邮箱：134********；学号：9382870单词地词性变化

动词变为名词

二、动词变为形容词

三、名词变为形容词

四、形容词变为名词

五、形容词变为副词

六．形容词和副词同形。

cross——across pass——past   science ——scientist   library——librarian   friend ——friendship

2017-2018年广东省珠海市高三上学期9月摸底数学试卷与参考答案（理科）