小专题(四) 数学思想方法在等腰三角形中的渗透

类型一：分类思想

1.(呼和浩特中考)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，求等腰三角形的底角的度数.

2.已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD=BC，求△ABC底角的度数.

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3.已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12和15两部分，求这个三角形的三边长.

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类型二：方程思想

4.如图所示,点D在AC上,点E在AB上,且AB=AC,BC=BD,AD=DE=BE,求∠A的度数.

5.如图，△ABC中，AB=BC=AC=12 cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1 cm/s，点N的速度为2 cm/s.当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动.21世纪教育网版权所有

(1)点M、N运动几秒后，M、N两点重合？

(2)点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？

(3)当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间.21cnjy.com

类型三：面积法

6.如图，C为线段AE上一动点(不与点A，E重合)，在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，CO，求证：OC平分∠AOE.21·cn·jy·com

7.(1)如图1，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，则r1，r2与h之间的数量关系为.21教育网

(2)如图2，△ABC为等边三角形，P为三角形内部的任意一点，P点到各边的距离分别为r1，r2，r3，等边△ABC的高为h，试证明：r1+r2+r3=h.www.21-cn-jy.com

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参考答案

1.在三角形ABC中，设AB=AC，BD⊥AC于D.①若三角形是锐角三角形，如图1，顶角∠A=90°-36°=54°，则底角∠C=(180°-54°)÷2=63°；图略2·1·c·n·j·y

②若三角形是钝角三角形，如图2，顶角∠BAC=36°+90°=126°，则底角∠C=(180°-126°)÷2=27°.综上所述，等腰三角形底角的度数是63°或27°.【来源：21·世纪·教育·网】

2.如图1：AB=AC，∵AD⊥BC，∴BD=CD=BC，∠ADB=90°.∵AD=BC，∴AD=BD.∴∠B=45°，即此时△ABC底角的度数为45°；图略21·世纪*教育网

如图2，AC=BC，∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°.∵AD=BC，∴AD=AC，∴∠C=30°.∴∠CAB=75°，此时△ABC底角的度数为75°.综上，△ABC底角的度数为45°或75°.

3.在△ABC中，AB=AC，且AD=CD，设AB=x，BC=y.①当AB+AD=15，DC+BC=12时，有+x=15,www-2-1-cnjy-com

+y=12. 解得x=10,y=7;②当AB+AD=12，BC+CD=15时，有+x=12,+y=15. 解得x=8,21世纪教育网2-1-c-n-j-y

y=11;且这两种情况三角形的三边都符合三角形的三边关系，故得这个三角形的三边长为10，10，7或8，8，11.　　21*cnjy*com

4.设∠A=x°,∵AD=DE=BE,∴∠DEA=∠A=x°,∠EBD=∠EDB=x°.∴∠BDC=∠A+∠ABD=x°.∵AB=AC,BC=BD,∴∠BDC=∠C=∠ABC=x°.在△ABC中,x+x+x=180.解得x=45.即∠A=45°.【来源：21cnj*y.co*m】

5.(1)设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，则x×1+12=2x.解得x=12.(2)图1设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图1，AM=t×1=t，AN=AB-BN=12-2t，∵三角形△AMN是等边三角形，∴t=12-2t.解得t=4.∴点M、N运动4秒后，可得到等边三角形△AMN.(3)图2当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，由(1)知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，如图2，假设△AMN是等腰三角形，∴AN=AM.∴∠AMN=∠ANM.∴∠AMC=∠ANB.∵AB=BC=AC，∴∠C=∠B.在△ACM和△ABN中，AC=AB,∠C=∠B,【出处：21教育名师】

∠AMC=∠ANB,∴△ACM≌△ABN.∴CM=BN.设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，∴CM=y-12，NB=36-2y，CM=NB.∴y-12=36-2y.解得y=16.故假设成立.∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M、N运动的时间为16秒.【版权所有：21教育】

6.证明：∵△ABC和△CDE是等边三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE.∴∠ACD=∠BCE.∴△ACD≌△BCE.∴AD=BE，S△ACD=S△BCE∴点C到AD，BE的距离相等.(全等三角形对应边上的高相等)∴OC平分∠AOE.21教育名师原创作品

7.(1)r1+r2=h(2)证明：连接PA、PB、PC，则S△ABP+S△ACP+S△BCP=S△ABC,即：BC·r1+AC·r2+AB·r3=BC·h.∵AB=AC=BC,∴r1+r2+r3=h(定值).

八年级数学上册专题