1．2．4　诱导公式(二)

课时目标　1．借助单位圆及三角函数定义理解公式四的推导过程．2．能运用公式四进行有关计算与证明．

1．诱导公式四

公式四：sin＝__________，cos＝__________，

tan＝－cot α，cot＝－tan α．

以－α替代公式四中的α，可得：

sin＝__________，cos＝__________，

tan＝cot α，cot＝tan α．

2．诱导公式四的记忆

＋α，－α的三角函数值，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”．

一、选择题

1．已知f(sin x)＝cos 3x，则f(cos 10°)的值为(　　)

A．－ B． C．－ D．

2．若sin(3π＋α)＝－，则cos 等于(　　)

A．－ B． C． D．－

3．已知sin＝，则cos的值等于(　　)

A．－ B． C． D．

4．若sin(π＋α)＋cos＝－m，则cos＋2sin(2π－α)的值为(　　)

A．－ B． C．－ D．

5．已知cos＝，且|φ|＜，则tan φ等于(　　)

A．－ B． C．－ D．

6．已知cos(75°＋α)＝，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是(　　)

A． B． C．－ D．－

二、填空题

7．若sin＝，则cos＝________．

8．代数式sin2(A＋45°)＋sin2(A－45°)的化简结果是______．

9．sin21°＋sin22°＋…＋sin288°＋sin289°＝________．

10．已知tan(3π＋α)＝2，则＝________．

三、解答题

11．求证：＝－tan α．

12．已知sin·cos＝，且<α<，求sin α与cos α的值．

能力提升

13．化简：sin＋cos (k∈Z)．

14．是否存在角α，β，α∈，β∈(0，π)，使等式

同时成立．

若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．

1．学习了本节知识后，连同前面的诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”的诱导公式．当k为偶数时，得α的同名函数值；当k为奇数时，得α的异名函数值，然后前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号．

2．诱导公式统一成“k·±α(k∈Z)”后，记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”．

1．2．4　诱导公式(二) 答案

知识梳理

1．cos α　－sin α　cos α　sin α

作业设计

1．A　[f(cos 10°)＝f(sin 80°)＝cos 240°

＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－．]

2．A　[∵sin(3π＋α)＝－sin α＝－，∴sin α＝．

∴cos＝cos＝－cos

＝－sin α＝－．]

3．A　[cos＝sin

＝sin＝－sin＝－．]

4．C　[∵sin(π＋α)＋cos

＝－sin α－sin α＝－m，

∴sin α＝．cos＋2sin(2π－α)

＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－m．]

5．C　[由cos＝－sin φ＝，得sin φ＝－，

又∵|φ|<，∴φ＝－，∴tan φ＝－．]

6．D　[sin(α－15°)＋cos(105°－α)

＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)]

＝－sin[90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α)

＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α)

＝－2cos(75°＋α)＝－．]

7．－

解析　cos＝cos

＝－sin＝－．

8．1

解析　原式＝sin2(A＋45°)＋sin2(45°－A)

＝sin2(A＋45°)＋cos2(A＋45°)＝1．

9．

解析　原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋sin246°)＋sin245°＝44＋＝．

10．2

解析　原式＝＝＝＝2．

11．证明　左边＝

＝

＝

＝＝－＝－tan α＝右边．

∴原等式成立．

12．解　sin＝－cos α，

cos＝cos＝－sin α．

∴sin α·cos α＝，即2sin α·cos α＝． ①

又∵sin2α＋cos2α＝1， ②

①＋②得(sin α＋cos α)2＝，

②－①得(sin α－cos α)2＝，

又∵α∈，∴sin α>cos α>0，

即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0，

∴sin α＋cos α＝， ③

sin α－cos α＝， ④

③＋④得sin α＝，③－④得cos α＝．

13．解　原式＝sin＋cos．

当k为奇数时，设k＝2n＋1 (n∈Z)，则

原式＝sin

＋cos

＝sin＋cos

＝sin＋

＝sin－cos

＝sin－sin＝0；

当k为偶数时，设k＝2n (n∈Z)，则

原式＝sin＋cos

＝－sin＋cos

＝－sin＋cos

＝－sin＋sin＝0．

综上所述，原式＝0．

14．解　由条件，得

①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2，③

又因为sin2α＋cos2α＝1，④

由③④得sin2α＝，即sin α＝±，

因为α∈，所以α＝或α＝－．

当α＝时，代入②得cos β＝，又β∈(0，π)，

所以β＝，代入①可知符合．

当α＝－时，代入②得cos β＝，又β∈(0，π)，

所以β＝，代入①可知不符合．

综上所述，存在α＝，β＝满足条件．

高中数学(人教B版，必修4)课时作业与单元检测第一章基本初等函数()1.2.4（二）