圆

24.1.1 圆

知识点一 圆的定义

圆的定义：第一种：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫作圆。固定的端点 O 叫作圆心，线段 OA 叫作半径。第二种：圆心为 O，半径为 r 的圆可以看成是所有到定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合。

比较圆的两种定义可知：第一种定义是圆的形成进行描述的，第二种是运用集合的观点下的定义，但是都说明确定了定点与定长，也就确定了圆。

知识点二 圆的相关概念

（1） 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。

（2） 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。（3） 等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。

（4） 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。

24.1.2 垂直于弦的直径

知识点一 圆的对称性

圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。知识点二 垂径定理

（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。如图所示，直径为 CD，AB 是弦，且 CD⊥AB，

垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧如上图所示，直径 CD 与非直径弦 AB 相交于点 M，

CD⊥AB AM=BM AC=BC AD=BD

注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不是直径，否则结论不成立。

24.1.3 弧、弦、圆心角

知识点 弦、弧、圆心角的关系（1） 弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

（2） 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量也相等。

（3） 注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件，如果丢掉这个条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等，比如两个同心圆中，两个圆心角相同，但此时弧、弦不一定相等。

24.1.4 圆周角

知识点一 圆周角定理

（1） 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

（2） 圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对弦是直径。

（3） 圆周角定理揭示了同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的大小关系。“同弧或等弧”是不能改为“同弦或等弦”的，否则就不成立了，因为一条弦所对的圆周角有两类。

知识点二 圆内接四边形及其性质

圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。

24.2 点、直线、圆和圆的位置关系

24.2.1 点和圆的位置关系

知识点二 过已知点作圆（1） 经过一个点的圆（如点 A）

以点 A 外的任意一点（如点 O）为圆心，以 OA 为半径作圆即可，如图，这样的圆可以作无数个。

·O1

A ·O2

·O3

（2） 经过两点的圆（如点 A、B）

以线段 AB 的垂直平分线上的任意一点（如点 O）为圆心，以 OA（或 OB）为半径作圆即可，如图，这样的圆可以作无数个。

A

B

（3） 经过三点的圆

① 经过在同一条直线上的三个点不能作圆

② 不在同一条直线上的三个点确定一个圆，即经过不在同一条直线上的三个点可以作圆，且只能作一个圆。如经过不在同一条直线上的三个点 A、B、C 作圆，作法：连接 AB、BC（或 AB、AC 或 BC、AC）并作它们的垂直平分线，两条垂直平分线相交于点 O，以点 O 为圆心，以 OA（或 OB、OC）的长为半径作圆即可，如图，这样的圆只能作一个。

O

知识点三 三角形的外接圆与外心（1） 经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。

（2） 外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。知识点四 反证法

（1） 反证法：假设命题的结论不成立，经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明命题的方

法叫做反证法。

（2） 反证法的一般步骤：

① 假设命题的结论不成立；

② 从假设出发，经过逻辑推理，推出或与定义，或与公理，或与定理，或与已知等相矛盾的结论；

③ 由矛盾判定假设不正确，从而得出原命题正确。

24.2.2 直线和圆的位置关系

知识点四 三角形的内切圆和内心

(1) 三角形的内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。这个三角形叫做圆的外切三角形。

(2) 三角形的内心：三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心。

(3) 注意：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，所以当三角形的内心已知时，过三角形的顶点和内心的射线，必平分三角形的内角。

24.2.3 圆和圆的位置关系

知识点一 圆与圆的位置关系（1） 圆与圆的位置关系有五种：

① 如果两个圆没有公共点，就说这两个圆相离，包括外离和内含两种；

② 如果两个圆只有一个公共点，就说这两个圆相切，包括内切和外切两种；

③ 如果两个圆有两个公共点，就说这两个圆相交。

（2） 圆与圆的位置关系可以用数量关系来表示：

若设两圆圆心之间的距离为 d，两圆的半径分别是 r1 r2,且 r1 ＜ r2，则有

两圆外离 d＞r1+r2 两圆外切 d=r1+r2 两圆相交 2-r1＜d＜r1+r2 两圆内切 d=r2-r1 两圆内含 d＜r2-r1

24.3 正多边形和圆

知识点一 正多边形的外接圆和圆的内接正多边形

正多边形与圆的关系非常密切，把圆分成 n（n 是大于 2 的自然数）等份，顺次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。

正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。

正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。正多边形的边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距。

知识点二 正多边形的性质

（1） 正 n 边形的半径和边心距把正多边形分成 2n 个全等的直角三角形。

（2） 所有的正多边形都是轴对称图形，每个正 n 边形共有 n 条对称轴，每条对称轴都经过正 n 边形的中心；当正 n 边形的边数为偶数时，这个正 n 边形也是中心对称图形，正 n 边形的中心就是对称中心。

24.4 弧长和扇形面积

nπR 2

在半径为 R 的圆中，360°的圆心角所对的扇形面积就是圆的面积 S=πR2，所以圆心角为 n°的扇形的面积为 S 扇形= 360 。

比较扇形的弧长公式和面积公式发现：

知识点三 圆锥的侧面积和全面积

圆锥的侧面积是曲面，沿着圆锥的一条母线将圆锥的侧面展开，容易得到圆锥的侧面展开图是一个扇形。设圆锥的母线长为 l，底面圆的半径为 r，那么这个扇形的半径为 l，扇形的弧长为 2πr，因此圆锥的侧面积 s圆锥侧 = 12 ⋅ 2πr ⋅ l = πrl 。圆锥的全面积为

s圆锥全 = s圆锥侧 + s底 = πrl + πr 2 。

练习：

一．选择题（共10小题）

1．下列说法，正确的是（　　）

　 A．弦是直径 B． 弧是半圆

　 C．半圆是弧 D． 过圆心的线段是直径

2．如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC=（　　）

　 A．3cm B． 4cm C． 5cm D． 6cm

（2题图） （3题图） （4题图） （5题图） （8题图）

3．一个隧道的横截面如图所示，它的形状是以点O为圆心，5为半径的圆的一部分，M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E．若CD=6，则隧道的高（ME的长）为（　　）

　 A．4 B． 6 C． 8 D． 9

4．如图，AB是⊙O的直径，==，∠COD=34°，则∠AEO的度数是（　　）

　 A．51° B． 56° C． 68° D． 78°

5．如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB，∠BOC=50°，则∠OAB的度数为（　　）

　 A．25° B． 50° C． 60° D． 30°

6．⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA=3cm，则点A与圆O的位置关系为（　　）

　 A．点A在圆上 B． 点A在圆内

C．点A在圆外 D． 无法确定

7．已知⊙O的直径是10，圆心O到直线l的距离是5，则直线l和⊙O的位置关系是（　　）

　 A．相离 B． 相交 C． 相切 D． 外切

8．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（　　）

　 A．2， B． 2，π C． ， D． 2，

9．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠B=135°，则的长（　　）

　 A．2π B． π C． D．

10．如图，直径AB为12的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B旋转到点B′，则图中阴影部分的面积是（　　）

　 A．12π B． 24π C． 6π D． 36π

二．填空题（共10小题）

11．如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，已知CD=4，AE=1，则⊙O的半径为　　　　　　．

　（9题图） （10题图） （11题图） （12题图）

12．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则的度数为　　　　　　．

13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为的中点．若∠A=40°，则∠B=　　　　　　度．

　 （13题图） （14题图） （15题图） （17题图）

14．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为　　　　　　．

15．如图，点O是正五边形ABCDE的中心，则∠BAO的度数为　　　　　　．

16．已知一条圆弧所在圆半径为9，弧长为π，则这条弧所对的圆心角是　　　　　　．

17．如图，在边长为4的正方形ABCD中，先以点A为圆心，AD的长为半径画弧，再以AB边的中点为圆心，AB长的一半为半径画弧，则两弧之间的阴影部分面积是　　　　　　（结果保留π）．

18．已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为5，则圆锥的全面积是　　　　　　．

19．如果圆柱的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆柱的侧面积是　　　　　　．

20．半径为R的圆中，有一弦恰好等于半径，则弦所对的圆心角为　　　　　　．

三．解答题（共5小题）

21．如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．

（1）请证明：E是OB的中点；

（2）若AB=8，求CD的长．

22．已知：如图，C，D是以AB为直径的⊙O上的两点，且OD∥BC．求证：AD=DC．

23．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F．

（1）求证：DF⊥AC；

（2）若⊙O的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积．

24．如图，△OAB中，OA=OB=4，∠A=30°，AB与⊙O相切于点C，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）

25．一个几何体的三视图如图所示，根据图示的数据计算出该几何体的表面积．

新人教版九年级数学上册第二十四章圆单元试题参考答案

一．选择题（共10小题）

1．C 2．B 3．D 4．A 5．A 6．B 7．C 8．D 9．B 10．B

二．填空题（共10小题）

11． 12．50° 13．70 14．1或5 15．54° 16．50° 17．2π

18．24π 19．20πcm2 20．60°　

三．解答题（共5小题）

21．（1）证明：连接AC，如图　∵直径AB垂直于弦CD于点E，∴，∴AC=AD，

∵过圆心O的线CF⊥AD，∴AF=DF，即CF是AD的中垂线，∴AC=CD，

∴AC=AD=CD．即：△ACD是等边三角形，∴∠FCD=30°，

在Rt△COE中，，∴，∴点E为OB的中点；

（2）解：在Rt△OCE中，AB=8，∴，

又∵BE=OE，∴OE=2，∴，∴．

（21题图） （22题图） （23题图） （24题图）

22．证明：连结OC，如图，

∵OD∥BC，∴∠1=∠B，∠2=∠3，　又∵OB=OC，∴∠B=∠3，∴∠1=∠2，∴AD=DC．

23．（1）证明：连接OD，∵OB=OD，∴∠ABC=∠ODB，

∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ODB=∠ACB，∴OD∥AC，

∵DF是⊙O的切线，∴DF⊥OD，∴DF⊥AC．

（2）解：连接OE，∵DF⊥AC，∠CDF=22.5°，∴∠ABC=∠ACB=67.5°，∴∠BAC=45°，

∵OA=OE，∴∠AOE=90°，∵⊙O的半径为4，∴S扇形AOE=4π，S△AOE=8 ，∴S阴影=4π﹣8．

24．解：连接OC，∵AB与圆O相切，∴OC⊥AB，

∵OA=OB，∴∠AOC=∠BOC，∠A=∠B=30°，

在Rt△AOC中，∠A=30°，OA=4，∴OC=OA=2，∠AOC=60°，

∴∠AOB=120°，AC==2，即AB=2AC=4，

则S阴影=S△AOB﹣S扇形=×4×2﹣=4﹣．故阴影部分面积4﹣．

25．解：由三视图可知该几何体是圆锥，圆锥的高为12，圆锥的底面圆的半径为5，

所以圆锥的母线长==13，　　所以圆锥的表面积=π•52+•2π•5•13=90π．

人教版九年级数学上册圆知识点归纳及练习（含答案）