第8章 中学数学基础知识的教学

1．什么是事物的本质属性？本质属性与属性有何区别？

答：在感性认识的基础上，经过比较、分析、综合、概括，抽象出一种事物所独有而其它事物所不具有的属性，则称其为这种事物的本质属性．

一个对象的某个属性，可以是其他对象也具有的，但是本质属性是它区别于其他对象的属性．一般的，一个概念的本质属性完全刻划了这个概念，从这一点来说，它是不可分割的．它的一部分只是这个概念的属性，但不一定是本质属性．

2．什么是数学概念？数学概念是怎样产生的？

答：客观世界的许许多多事物都有各种各样的性质，事物之间存在各式各样的关系，这些性质和关系都是事物的属性．事物由于性质相同或不同，形成各种不同的类，属性相同的事物形成一类，性质不同的事物就形成不同的类．在人们在实践活动中，接受客观事物的各种各样信息，形成观念，这是感性认识阶段．在感性认识的基础上，经过比较、分析、综合、概括，抽象出一种事物所独有而其它事物所不具有的属性，即本质属性和特征，从而形成了反映事物的本质属性的特征和各种各样的概念．而各门学科都有它自己研究的对象，各门学科的概念总是反映事物某方面的本质属性．数学的研究对象是现实世界的空间形式和数量关系．数学概念是反映数学对象的本质属性和特征的思维形式．

数学概念的产生和发展的途径是不同的．有的数学概念是从它的现实模型直接反映得来的．例如，几何中的点、线、面、体等概念都是从物体的形状、位置、大小关系等具体形象抽象概括得来的；有些数学概念是在一些相对具体的概念的基础上，经过多级抽象概括的过程才产生和发展而成的．例如，复数的概念是在实数概念的基础上产生出来的，而实数的概念是在有理数概念的基础上产生出来的，有理数概念是在自然数概念的基础上产生出来的；另外，有的数学概念是经过人们的思维加工，把客观事物的属性理想化、纯粹化才得到的．例如，直线的“笔直”、“可以无限延伸”等特征是从笔直的条形物体的形状理想化、纯粹化得来的；还有些数学概念是从数学的内部需要产生出来的．例如，为了数的乘法通行，规定一个数乘以0的积是0．又如，为了把正整数指数幂的运算法则扩充到有理数指数幂，以至实数指数幂，在数学中产生了零指数、分数指数、无理数指数等概念；还有一些数学概念是根据理论上有存在的可能而提出来的。例如，自然数集、无限远点、无理数等概念都是在一定的理论基础上提出来的。还有一些数学概念是在一定的数学对象的结构中产生出来的。例如多边形的顶点、边、对角线、内角、外角等概念都是从多边形的结构中得来的．还要指出，数学中许多概念随着数学的发展而发展成为新的概念．例如，从具有公共端点的两条射线所成的角的概念发展成为射线绕它的端点旋转所成的角的概念就是一个明显的例子．又如关于几何量角的三角函数发展成为实数的三角函数也是一个例子．

由此可见，数学概念的产生和发展的过程是非常复杂的，但不管数学概念的形成如何复杂，也不管其如何抽象，它们总是在一定的感性认识基础上或者在一定的理性认识基础上产生出来并逐步发展的．

3．什么是概念的外延和内涵？分别举出代数、几何中的几个概念，说明其外延与内涵．

答：一个概念所反映的对象的总和，称为这个概念的外延，而它所反映的对象的本质属性的总和称为这个概念的内涵．

例如，在自然数系中，偶数这个概念的外延是0，2，4，6，8，…，2n，…等数组成的集合，它的内涵是“能被２整除”这个性质．又如，三角形ABC的顶点这个概念的外延是指A、B、C三点的集合．它的内涵包括点的性质和其中任一点同在这个三角形两边之上这个性质．

4．什么是概念的定义？常用的定义方法有哪几种？举例说明．正确的定义应符合哪些要求？

答：定义是建立概念的逻辑方法．人们在认识事物的过程中，经过抽象，形成概念，就要借助语言或符号，加以明确、固定和传递，这就要给概念下定义．常常是在抽象出事物的本质属性之后，运用逻辑的方法和精练的语言或符号揭示出对象的本质属性．常用的定义方法有以下几种：

（1）属概念加种差定义法．我们先看平行四边形的定义：“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．”这里，“平行四边形”是被定义的概念，“四边形”是已有定义的，它是属概念，“两组对边分别平行”是平行四边形与其它四边形的差别，称之为“种差”，这种定义方法就是属概念加种差定义法．

（2）发生式定义法．不是直接揭示概念的基本内涵或外延，而是通过指出概念所反映的对象产生的过程，由此来定义概念的方法，叫做发生式定义法．例如，“平面内一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形叫做角．”“把数和表示数的字母用代数运算符号联结起来的式子叫代数式，单独一个数或一个字母也是代数式．”用的都是发生式定义法．

（3）揭示外延定义法．有些数学概念的外延是单一的对象或是几个简单明显的对象组成的集合，往往直接揭示概念的外延作为定义．例如，“有理数和无理数统称为实数”，“我们规定a0=1（a≠0）”等都是用的揭示外延定义法．

（４）归纳定义法．例如用递推公式an=an-1+d定义等差数列，就是归纳定义法．

给概念下定义的要求有：

（１）定义应当相称．即必须使定义所确定的概念和人们已经形成的概念相一致．必须准确揭示要建立的概念的基本内涵，或者说必须使由所下定义确定的概念外延和人们又如，不能把“有理数是开不尽的方根”当作无理数的定义，因为无理数概念外延中还包括了除此而外的许多其它数，象π、e、tan2等等．已经形成的，已建立的概念的外延相同，这就是定义应当相称的意思．

（２）定义不能恶性循环．如果把甲概念作为已知概念来定义乙概念，又把乙概念作为已知概念来定义甲概念，就是循环定义，犯了逻辑错误．循环定义既不能揭示概念的基本内涵，又不能确定概念的外延．例如，用两直线垂直来定义直角，又用两直线成直角来定义垂直，就是循环定义．

（３）定义一般不用否定形式．定义要揭示概念所反映对象的本质属性，而否定形式一般不能做到这一点．例如不能把“不是有理数的数叫做无理数”当作无理数的定义，因为这既没有揭示出无理数的基本内涵，也没有确定无理数的外延．当然也有例外的情形，如平行线的定义．不过，这个定义表面上看，是否定形式，但它实际上揭示出了平行线“在同一平面内，没有公共点”的本质属性．

（４）定义中应没有多余的条件．定义中列举的属性对于揭示概念反映的对象的本质属性来说应是必不可少的．所谓必不可少是指每一个属性都是独立的，不能由列举出的其它属性推出．凡是可由列举的其它属性推出的，对于定义来说都是多余的条件，应删去．例如，把“四个角都是直角的平行四边形叫做矩形”当作矩形定义，条件就多余了．

５．什么叫概念的分类？它的作用是什么？正确的分类应符合哪些条件？两个交叉关系的概念能否同在一个概念的分类中出现？

答：把一个属概念分成若干个种概念，来揭示概念外延的逻辑方法叫做概念的分类．

通过概念的分类可以揭示被分类概念的外延以及概念间的各种关系，并把概念知识系统化．在数学教学中，常常用分类方法把所学概念

正确的分类应符合下列条件：

（１）所分成的种概念之间应是全异关系，即是说任两个种概念的外延的交集应是空集．换言之，属概念反映的任一个对象只能属于一个种概念的外延，不能有重复．

（２）分类应是相称的．即是说所分成的全异种概念的外延的并集等于属概念的外延．换言之，属概念反映的任一对象都应属于一个种概念的外延，没有遗漏．

（３）每次分类都应按照同一个依据进行．在一次分类中用不同的根据就造成了混乱．

（４）分类不应越级．应把属概念分为最邻近的种概念．

两个交叉关系的概念不能同在一个概念的分类中出现．

６．对于原始概念、用概念形成的形式引入的概念、概念同化形式引入的概念（分别对各种不同类型）、发生式定义引入的概念，在概念引入的教学中各有何注意点？结合实例加以说明．

答：（１）对于原始概念的的引入：一般通过具体事例的观察来加以描述，让学生理解．例如通过针尖刺木板的痕迹引入点的概念，并让学生领会点只表示位置，而没有形状、大小．尽管这种强调在采用公理化定义时是没有任何必要和意义的（因为原始概念的意义只由公理系统规定），但在中学数学教学中还是有必要加以强调，以使得学生能把数学概念与日常生活中的概念加以区别．

（２）对于用概念形成的形式引入的概念：一般可通过观察实例，启发学生抽象出本质属性，师生共同进行讨论，最后再准确定义．例如，为了建立直线和平面垂直的概念，可让学生观察自然悬挂的电灯线与天花板的相互位置，回顾把一根杆子在地面上立直的生活经验等等，让学生尝试描述其本质属性．

（３）对于用同化形式引入的概念：①用属概念加种差定义的概念．这时，新概念是已知概念的特例，新概念可从认知结构中原有的具有较高概括性的概念中繁衍出来．几何概念的学习大多属于此类情形．教学中要注意讲清种概念是属概念的特例，它具有属概念的一切属性，并且相对于属概念还有它自己特有的属性——种差．②由概念的推广引入的概念．概念的推广是从特殊到一般的发展过程，也体现了概念间的联系和概念的深化．例如，绝对值的概念随着数系的扩充而深化；三角函数的概念，从锐角三角函数发展为任意角三角函数；指数概念，从正整数指数扩充了零指数、负整数指数而发展到整数指数，又扩充了分数指数而发展到有理数指数（在中学数学中，只是提到无理数指数，并没有真正引入概念）．在运用概念的推广来引入新概念时，必须注意讲清三点．一是推广的目的意义，即是概念得到拓广、深化，从而有更广泛的应用；二是推广的合理性，即旧概念作为新概念的特殊情况；三是概念在推广之后，已有更广泛的含义，虽然它含旧概念作为其特殊情况，但不能再局限在原来的范围，不能再停留在旧概念上来理解新概念．讲清第三点是尤其重要的，否则对旧概念的思维定势将产生消极影响，给学生的进一步学习造成心理障碍．③采用对比方法引入新概念．当新概念与认知结构中已有概念不能产生从属关系，但与已有的旧概念有相似之处时，可采用对比方法引入新概念，这在心理学中属于并列结合学习．例如可以对比分数来引入分式；对比等式来引入不等式；对比三角形全等来引入三角形相似等等．④根据逆反关系引入新概念．这在心理学中也属于并列结合学习．例如由多项式的乘法引入多项式的因式分解；由乘方引入开方；由指数引入对数；由三角函数引入反三角函数等等．教学中特别要注意的是讲清两者之间的逆反关系，这样，学生才能把新概念同化而纳入原认知结构．

（４）对于用发生式定义的概念：这是用对象被构造出来的过程下的定义．在教学中，如果直接给出定义，即直接给出构造的过程，在许多情况下效果不够好，可以通过观察实例或引导学生思考，进行讨论，自然地得出构造过程，也就是揭示出定义的合理性．例如，“直线和平面所构成的角”这一概念的引入，可以让学生考虑一条直线AB和一个平面α相交，如何来衡量直线对平面的倾斜程度．

7．把新概念纳入已有概念体系的常用方法有哪些？

答：把新概念纳入已有概念体系的方法通常有：概念的形成和概念的同化．

8．什么是判断？表示全称肯定判断、全称否定判断、特称肯定判断和特称否定判断之间关系的逻辑方阵是怎样的？

答：对思维对象有所肯定或否定的思维形式叫做判断．

全称肯定判断、全称否定判断、特称肯定判断和特称否定判断四种判断之间的关系可用逻辑方阵表示．

9．什么是数学判断？什么是数学命题？

答：关于数学对象及其属性的判断叫做数学判断．

在数学中，既研究命题的内容，又研究命题的形式．只有把内容和形式统一起来，才成为数学命题．

10．说出逻辑联结词“非”、“合取”、“析取”、“蕴涵”、“当且仅当”的意义，并分别写出定义它们的真值表．研究它们的意义何在．

答：（1）否定（非）．对于每个命题，都有一个与它意义相反的命题，这个命题称为原来命题的否定．若用P表示一个命题，它的否定，为命题“非P”，记作┐P．命题联结词“非”由下表（称为真值表）严格定义．

（2）合取（与，且）．用命题联结词合取（与，且），把两个命题P和Q联结起来，构成新命题“P合取Q”，记作P∧Q．它的意义是，只有在P、Q都真时，P∧Q才为真．命题联结词“合取”由以下真值表严格定义．

（３）析取（或）．把两个命题P和Q用命题联结词“析取”联结起来，得到新命题“P析取Q”，记作P∨Q．它的意义是，只要P、Q中有一个为真时，P∨Q就为真．命题联结词“析取（或）”由下面的真值表严格定义．

（4）蕴涵（如果…，则…）．把命题P、Q用“如果…，则…”联结起来，构成新命题“如果P，则Q”，记作P→Q，称为蕴涵式．它的含义是，只有在P真且Q假时，P→Q方为假．其中的P称为前件，Q为后件．命题联结词“蕴涵”由下面的真值表严格定义．

（5）当且仅当．把命题P、Q用“当且仅当”联结起来，得到新命题“P当且仅当Q”，记作“PQ”，称为当且仅当式．“PQ”的含义是，只有当P、Q同为真或同为假时，“PQ”的真值方为真．“PQ”由下表的真值表严格定义．

11．什么是数学中的条件命题？条件命题的四种形式间的关系如何？

答：在数学中，如果命题具有形式“P→Q”，并且P、Q都存在，P、Q之间在内容、意义上联系着，P是给出事物具有（或不具有）某种属性，则称这个命题为条件命题（或假言命题）．

条件命题的这四种形式之间的关系，显然可用下图表示．

13．如何进行公理教学？

答：数学公理在命题体系中所处的地位与作用，和原始概念在概念体系中所处的地位作用相当．因此，在中学数学教学中，公理的教学类似于原始概念的教学．教学中主要是使学生理解公理的真实性，再者是记住公理的内容并与所指对象紧密联系起来．因此，公理教学，采用由学生熟知的具体事例或生活经验归纳出规律，容易收到好的效果．如果能让学生自己动手探索，则收效更佳．这样学生便对公理笃信无疑．

14．定理、公式的引入有哪些常用的较好的引入方法？

答：数学中的定理、公式是从现实世界的空间形式和数量关系中抽象出来的一般规律．定理、公式的引入方法直接关系到教学的效果．以下是几种比较好的引入方法：（1）通过对具体事物观察和实验与实践活动，作出猜想．（2）通过推理直接发现结论．（3）通过命题间的关系，由一个命题制作出它的逆命题（或偏逆命题）．

15．形式逻辑的基本规律有哪些？说明它们的名称与内容，并举例说明．

答：逻辑思维的基本规律是客观事物在人们头脑中的反映．形式逻辑是从思维的形式结构方面研究思维规律的科学．它的基本规律有四条：同一律、矛盾律、排中律和充足理由律．

（１）同一律的内容包括三个方面：①在同一个思维过程中，思维的对象必须保持同一；②在同一个思维过程中，使用的概念必须保持同一；③在同一时间，从同一方面，对同一思维对象作出的判断必须保持同一．例如，数是可以比较大小的．虚数是数．所以虚数可以比较大小．结论是错误的．产生的原因是，第一句中的“数”是指实数，第二句中的“数”是指复数，偷换了概念．

（２）矛盾律的内容是，在同一时间，从同一方面，对同一思维对象不能作出有矛盾关系或反对关系的判断．例如，对于两个实数和，“”与“” 是两个矛盾判断，至少有一个是错误的；“”与“”是两个反对判断，也至少有一个是错误的．

（３）排中律的内容是，对于只有互相矛盾的两种可能的问题，必须肯定其一，两者不能同假．例如，对于一个给定的数，“是有理数”和“是无理数”就是两个矛盾的判断，根据排中律，其中必有一个为真．

（４）充足理由律的内容是，任何判断都必须有充足的理由才被认为是真的．数学正确判断必须有充足的理由，否则会造成错误．例如，设，等式两边乘以，得，两边减去，得两边分解因式，得，两边除以，得，以代，得，两边除以，得，所得结果显然是错误的，错误的原因在于以除等式两边．因为，而，用０除等式两边，这是错误的．

16．数学中常用的推理有哪些？各有何特点与作用？

答：数学中常用的推理有归纳推理、演绎推理和类比推理．它们各有其特点及作用．

演绎和完全归纳是必然性的推理，是严格的科学证明方法．在数学的论证推理中，演绎是最基本的、最主要的方法，因为在用完全归纳法时，在对所研究对象的一切情况进行讨论的每个具体过程中，常常都要用演绎的方法．这一点，在数学归纳法中表现得特别明显．数学归纳法属于完全归纳法，总体上是归纳，而每一步又是演绎．单纯演绎推理没有想象的成分，这使得演绎推理具有了严谨性，然而它的创造性也比较小．在一定前提下，由演绎可以获得推出知识．不完全归纳和类比只是或然性的推理，但却是猜想的重要来源，有助于发现结论，作出判断，有时也能从中得到证明方法的启示．对于数学科学，最重要的是结论及其证明，但在中学数学教学中，还应重视结论引入的方法，让学生了解和体会是如何想到这些结论的，并逐步学会运用不完全归纳和类比这两种推理．这有助于形成和发展辩证思维和创造性思维，有助于培养分析问题和解决问题的能力．这正是传统数学教学比较忽视的．当前的数学教学改革对此已给予了高度的重视．当然，由不完全归纳和类比得到的结论，还要用其它方法研究其是否正确．正确的要用演绎法或数学归纳法加以证明，不正确的，要举出反例．以上两方面在数学归纳法研究中是互相结合，相辅相成的．最典型的，体现于用数学归纳法研究问题的完整过程中．第一步是观察、实验；第二步是进行不完全归纳，猜想出结论；第三步是用数学归纳法加以证明．

17．什么是数学证明？直接证法与间接证法的区别是什么？

答：应用逻辑方法来判断数学命题真实性的过程叫做数学证明．

由论题的已知条件和已知定义，公理，定理等作为论据，运用逻辑推理法则来证明论题结论真实性的证明方法，叫做直接证法．间接证法不是直接证明论题的真实性，而是证明反论题不真，或者证明与论题等效的命题的真实性，或者在互逆命题等效的条件下，通过证明论题的逆命题的真实性，从而肯定论题的真实性的一种证明方法．

18．什么是综合法、分析法？试深刻比较它们的异同与优缺点．

答：在数学的证明中“由因导果”的方法通常称为综合法，而“执果索因”的方法称为“分析法”．

综合法与分析法的逻辑依据是相同的，都是蕴涵的传递性，只是思考的顺序相反．其中每个蕴涵都是已知的真命题．在数学中，证明一般都用综合法表述，因为综合法显得简捷，逻辑关系表现得很清楚．但是在数学教学中，综合法的表述常表现出它的弱点，每一步是在做什么，怎样做，并不那么容易看清楚，而每一步怎么想到的更容易使人困惑，尤其困难的是如何找出作为论证出发点的真命题，还有，为什么取那一个真命题为出发点也很难说清楚．因此，在教学中照本宣科地用综合法来论证，学生不仅难以弄明白，而且往往觉得是人为地想出来的．一般地，用分析法思考时，要给予论证的命题本身就是出发点，学生知道了应当从什么地方开始工作，就能够自觉地，充满信心地思考．显然综合法与分析法各有其优缺点，可以互相补充，各自的优点正好可以弥补另一方的不足．在实际论证一个命题时，先用分析法思考，发现可以作为论证出发点的真命题，再用综合法表达出证明过程，这常常是行之有效的方法，在数学教学中尤其应注意这一点．当然，分析法并不是总是行得通的．还有，对于一个论题，特别是较为复杂的论题，在实际思考探索它的证明时，常常不是单一地循着一个顺序，而是可以同时从题设和题断出发，分别使用综合法与分析法．逐步过渡到一个共同的中间过程，从而使思路得以接通．

19．什么是逆证法？它与分析法有何异同？逆证法的应用有何局限性？常在哪些情况下使用？

答：要证明“若则”．逆证法的证明过程如下：

1）证明…；

2）上面每一步的推理都是可逆的．

则得出“”．

分析法与逆证法虽然都是以题断为出发点，但分析法的每一步都是寻求使一个命题成立的充分条件，而逆证法的1）中每一步是寻求使一个命题成立的必要条件．逆证法的1）是证了命题“若则”为真，因此2）是重要的，不可缺少的，也不能只是形式上说一说，必须每一步都加以真正检查．逆证法的2）实际上是保证了1）的每一步中，后者也是前者的充分条件，即…，从而证得“”．因此，逆证法在逻辑上是成立的．

逆证法常常在证明不等式或恒等式等情况使用，首先对不等式或恒等式进行变形，逐步推出一个已知的不等式或恒等式，这比较直截了当，检查这些变形是可逆的并不困难．但在一般情况下使用逆证法并不省事．

逆证法有明显的局限性，它只适应于证明部分特殊命题，即题设与题断互为充要条件的命题，而分析法则具有普遍意义．可以使用逆证法的，当然可用分析法，但反之则不然．

20．反证法的逻辑基础是什么？并用等值公式表示出来．在实际应用反证法时，对于简单命题和条件命题，又具体表现为怎样的等值公式？

答：反证法的逻辑基础是形式逻辑的排中律，原论题和它的反论题是矛盾关系，其中必有一个为真，得出反论题为假，那么原论题必真．或者说反证法的逻辑基础是等值公式： （）（事实上，显然有：），它表明要证为真，可转化为证真，即在肯定时，证．

当为一个简单命题时，等值公式（）表现为前面的等值公式：

当为条件命题“”时，为，利用真值表很容易直接验证出：．即是说“”的反命题是．这时等值公式（）表现为前面的等值公式：

21．什么是同一法？从本质说，同一法与逆证法的关系如何？

答：我们知道，一个定理的逆命题在一般情况下是不成立的，但在特定条件下，即在定理的条件和结论所指概念的外延具有全同关系时，它的逆命题也成立．在这个情况下，证题时往往先构造论题的逆命题，并且证明这个逆命题的真实性，然后指出逆命题中题设所指的对象与原命题结论所指对象是同一对象，从而肯定原命题的真实性．这种证明方法称为同一法．

同一法与前面谈过的逆证法有某些相似之处，在适用范围上，都是只适用于题设和题断互为充要条件的那些特殊命题．在证明的步骤上第一步实际都是先证逆命题为真．但它们证明的第二步是不同的，逆证法是根据每一步可逆，相当于用综合法证原论题，而同一法是根据同一法则．

22．定理、公式的教学要掌握哪几个环节？

答：（1）使学生切实分清定理、公式的条件与结论．这既是弄清命题本身的要求，又是对命题进行证明的前提，也是应用命题来解决问题的需要．（2）弄清与定理、公式有关的概念．定理、公式与数学概念密切联系着，表达人们应用数学概念所作出的正确判断．因此，弄清与定理、公式有关的概念，是学习定理、公式的前提．（3）使学生掌握所学定理、公式的证明方法．定理（公式）的证明是定理的重要组成部分，是定理教学的重点，也是整个中学数学教学的重点之一．处理好定理证明的教学，可以使学生建立起所学定理与已有认知结构间的联系，加深对定理的理解，从而感到心理明白，记忆牢固，用起来踏实．许多定理的证明方法本身就是重要的数学方法，所以定理的证明不仅是得出结论的手段，它本身也是学生学习的重要内容．定理证明的教学还是学生学习思维方法，发展思维能力，培养良好的思维品质和思维习惯的最为重要的过程．

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