[创新方案](浙江专版)2015届高考数学一轮复习 第二章 第九节 函数模型及其应用突破热点题型 文
发布时间:2014-09-02 19:12:24
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第九节 函数模型及其应用
1.以二次函数为模型的应用题常出现在高考试题中,既有选择题、填空题,也有解答题,难度适中,属中档题.
2.高考对一次函数、二次函数模型的考查主要有以下两个命题角度:
(1)单一考查一次函数或二次函数模型的建立及最值问题;
(2)以分段函数的形式考查一次函数和二次函数.
[例1] (1)(2013·陕西高考)在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x为________m.
(2)(2011·湖北高考)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/时.研究表明:当20≤x≤200时,车流速度v是车流密度x的一次函数.
①当0≤x≤200时,求函数v(x)的表达式;
②当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/时)f(x)=x·v(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到1辆/时)
[自主解答] (1)设内接矩形另一边长为y,则由相似三角形性质可得=,解得y=40-x,所以面积S=x(40-x)=-x2+40x=-(x-20)2+400(0<x<40),
当x=20时,Smax=400.
(2)①由题意,当0≤x≤20时,v(x)=60;
当20≤x≤200时,设v(x)=ax+b,
再由已知得解得
故函数v(x)的表达式为v(x)=
②依题意并由(1)可得f(x)=
当0≤x≤20时,f(x)为增函数,
故当x=20时,其最大值为60×20=1 200;
当20≤x≤200时,f(x)=x(200-x)≤
2=,当且仅当x=200-x,
即x=100时,等号成立.
所以当x=100时,f(x)在区间[20,200]上取得最大值.
综上,当x=100时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值≈3 333,
即当车流密度为100辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为3 333辆/时.
[答案] (1)20
一次函数、二次函数模型问题的常见类型及解题策略
(1)直接考查一次函数、二次函数模型.解决此类问题应注意三点:①二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决,但一定要密切注意函数的定义域,否则极易出错;②确定一次函数模型时,一般是借助两个点来确定,常用待定系数法;③解决函数应用问题时,最后要还原到实际问题.
(2)以分段函数的形式考查.解决此类问题应关注以下三点:①实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出,而是由几个不同的关系式构成,如出租车票价与路程之间的关系,应构建分段函数模型求解;②构造分段函数时,要力求准确、简洁,做到分段合理、不重不漏;③分段函数的最值是各段的最大(或最小)者的最大者(最小者).
1.(2013·上海高考)甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10),每一小时可获得的利润是100元.
(1)求证:生产a千克该产品所获得的利润为100a·元;
(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求此最大利润.
解:(1)生产a千克该产品所用的时间是小时,
∵每一小时可获得的利润是100 元,
∴获得的利润为100×元.
因此生产a千克该产品所获得的利润为100 a元.
(2)生产900千克该产品获得的利润为90 000元,1≤x≤10.
设f(x)=-++5,1≤x≤10.
则f(x)=-32++5,当且仅当x=6取得最大值.
故获得最大利润为90 000×=457 500元.
因此甲厂应以6千克/小时的速度生产,可获得最大利润457 500元.
2.据气象中心观察和预测:发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动,其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示,过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l,梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km).
(1)当t=4时,求s的值;
(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来;
(3)若N城位于M地正南方向,且距M地650 km,试判断
这场沙尘暴是否会侵袭到N城,如果会,在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城?如果不会,请说明理由.
解:(1)由图象可知:
当t=4时,v=3×4=12,
∴s=×4×12=24.
(2)当0≤t≤10时,s=·t·3t=t2;
当10<t≤20时,s=×10×30+30(t-10)=30t-150;
当20<t≤35时,s=×10×30+10×30+(t-20)×30-×(t-20)×2(t-20)=-t2+70t-550.
综上,可知s=
(3)沙尘暴会侵袭到N城.
∵t∈[0,10]时,smax=×102=150<650,
t∈(10,20]时,smax=30×20-150=450<650,
∴当t∈(20,35]时,令-t2+70t-550=650.
解得t1=30,t2=40.
∵20<t≤35,∴t=30.
∴沙尘暴发生30 h后将侵袭到N城.
[例2] 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系C(x)=(0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元,设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
(1)求k的值及f(x)的表达式;
(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值.
[自主解答] (1)由已知条件得C(0)=8,则k=40,
因此f(x)=6x+20C(x)=6x+(0≤x≤10).
(2)f(x)=6x+10+-10
≥2-10
=70(万元),
当且仅当6x+10=,
即x=5时等号成立.
所以当隔热层厚度为5 cm时,总费用f(x)达到最小值,最小值为70万元.
【方法规律】
把实际问题数学化、建立数学模型一定要过好的三关
(1)事理关:通过阅读、理解,明确问题讲的是什么,熟悉实际背景,为解题找出突破口;
(2)文理关:将实际问题的文字语言转化为数学符号语言,用数学式子表达数学关系;
(3)数理关:在构建数学模型的过程中,对已知数学知识进行检索,从而认定或构建相应的数学模型.
(2014·杭州模拟)某村计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室,在温室内,沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道,沿前侧内墙保留3 m宽的空地,当矩形温室的边长各为多少时,蔬菜的种植面积最大?最大面积是多少?
解:设温室的左侧边长为x m,
则后侧边长为m.
∴蔬菜种植面积
y=(x-4)=808-2 (4<x<400).
∵x+≥2=80,
∴y≤808-2×80=648.
当且仅当x=,
即x=40时取等号,
此时=20,y最大值=648(m2).
即当矩形温室的边长各为40 m、20 m时,蔬菜的种植面积最大,最大面积是648 m2.
[例3] 已知某物体的温度θ(单位:摄氏度)随时间t(单位:分钟)的变化规律是θ=m·2t+21-t(t≥0,并且m>0).
(1)如果m=2,求经过多长时间,物体的温度为5摄氏度;
(2)若物体的温度总不低于2摄氏度,求m的取值范围.
[自主解答] (1)若m=2,
则θ=2·2t+21-t=2,
当θ=5时,2t+=,
令2t=x(x≥1),则x+=,
即2x2-5x+2=0,
解得x=2或x=(舍去),此时t=1.
所以经过1分钟,物体的温度为5摄氏度.
(2)物体的温度总不低于2摄氏度,
即θ≥2恒成立,
亦m·2t+≥2恒成立.
亦即m≥2恒成立.
令=y,则0<y≤1,
∴m≥2(y-y2)恒成立,
由于y-y2≤,∴m≥.
因此,当物体的温度总不低于2摄氏度时,m的取值范围是.
【方法规律】
应用指数函数模型应注意的问题
(1)指数函数模型,常与增长率相结合进行考查,在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决;
(2)应用指数函数模型时,关键是对模型的判断,先设定模型,再将已知有关数据代入验证,确定参数,从而确定函数模型;
(3)y=a(1+x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解.
一个人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少,为了保障交通安全,某地根据《道路交通安全法》规定:驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL,那么,此人至少经过________小时才能开车.(精确到1小时)
解析:设经过x小时才能开车.
由题意得0.3(1-25%)x≤0.09,
∴0.75x≤0.3,x≥log0.750.3≈5.
答案:5
—————————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————
1个防范——实际问题的定义域
要特别关注实际问题的自变量的取值范围,合理确定函数的定义域.
1个步骤——解决实际应用问题的一般步骤
(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;
(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;
(3)求模:求解数学模型,得出数学结论;
(4)还原:将数学问题还原为实际问题的意义.
以上过程用框图表示如下:
答