课时跟踪检测（二） 余弦定理

层级一　学业水平达标

1．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，则角A等于(　　)

A．30°　　　　　　　　　　 B．60°

C．120° D．150°

解析：选B　∵(b＋c)2－a2＝b2＋c2＋2bc－a2＝3bc，

∴b2＋c2－a2＝bc，

∴cos A＝c3d0416d250dbeba3c95b51774040e26.png＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png，∴A＝60°.

2．在△ABC中，若a＝8，b＝7，cos C＝9536ea9bcf793b318db2e455efa14edb.png，则最大角的余弦值是(　　)

A．－126f8d196d9a1d04aab0b871fe021416.png　　　B．－fdfdd2aaaa125d4b9b3386103d4c44a3.png　　　C．－07a259d3e3c2ccb207739fa1a11ea8be.png　　　D．－bc763c40c1afc46fbe981d117a65141c.png

解析：选C　由余弦定理，得

c2＝a2＋b2－2abcos C＝82＋72－2×8×7×9536ea9bcf793b318db2e455efa14edb.png＝9，

所以c＝3，故a最大，

所以最大角的余弦值为

cos A＝c3d0416d250dbeba3c95b51774040e26.png＝28271dbf49b7d99a1e26598cc4342216.png＝－07a259d3e3c2ccb207739fa1a11ea8be.png.

3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2062aa969b19220407bf1b2e953a54d3.png>0，则△ABC(　　)

A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形

C．一定是钝角三角形 D．是锐角或直角三角形

解析：选C　由2062aa969b19220407bf1b2e953a54d3.png>0得－cos C>0，

所以cos C<0，从而C为钝角，因此△ABC一定是钝角三角形．

4．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为(　　)

A.b6ad479a47924ebb75f5c54d546eb338.png B．8－49097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png

C．1 D.6b947573d14816876763af57c7a89b2e.png

解析：选A　由(a＋b)2－c2＝4，得a2＋b2－c2＋2ab＝4，由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcos C＝2abcos 60°＝ab，则ab＋2ab＝4，∴ab＝b6ad479a47924ebb75f5c54d546eb338.png.

5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2＋c2－b2)tan B＝9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.pngac，则角B的值为(　　)

A.b0d7892a1bcc5ddedd63a3b4fc04cbdf.png B.5a777e0b4347abb14c3c394ee80f7e68.png或6866f5f55bcdb05fc3c4a4512c010e8b.png

C.5a777e0b4347abb14c3c394ee80f7e68.png D.b0d7892a1bcc5ddedd63a3b4fc04cbdf.png或40e0e164a635c508463915d501d1f617.png

解析：选B　因为(a2＋c2－b2)tan B＝9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.pngac，

所以2accos Btan B＝9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.pngac，即sin B＝b702758df4d9b7bf8fe7a0882928ea08.png，

所以B＝5a777e0b4347abb14c3c394ee80f7e68.png或B＝6866f5f55bcdb05fc3c4a4512c010e8b.png，故选 B.

6．已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝________.

解析：∵b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－2accos 120°

＝a2＋c2＋ac，

∴a2＋c2＋ac－b2＝0.

答案：0

7．在△ABC中，若b＝1，c＝9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png，C＝6866f5f55bcdb05fc3c4a4512c010e8b.png，则a＝________.

解析：∵c2＝a2＋b2－2abcos C，

∴(9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png)2＝a2＋12－2a×1×cos 6866f5f55bcdb05fc3c4a4512c010e8b.png，

∴a2＋a－2＝0，即(a＋2)(a－1)＝0，

∴a＝1，或a＝－2(舍去)．∴a＝1.

答案：1

8．在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cos B＝－70e7efdd0b858341812e625a071abd09.png，则b＝________.

解析：因为b＋c＝7，所以c＝7－b.

由余弦定理得：b2＝a2＋c2－2accos B，

即b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×737a1e2bbb2909cd2f7e788d53fb39bf.png，

解得b＝4.

答案：4

9．在△ABC中，A＋C＝2B，a＋c＝8，ac＝15，求b.

解：在△ABC中，∵A＋C＝2B，A＋B＋C＝180°，

∴B＝60°.

由余弦定理，

得b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac－2accos B

＝82－2×15－2×15×df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png＝19.

∴b＝f1e0add8d588cb32f83de5419eab7d54.png.

10．在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角和sin C.

解：∵a>c>b，∴A为最大角．

由余弦定理的推论，得

cos A＝c3d0416d250dbeba3c95b51774040e26.png＝25987205994e5e744a67b4864190deeb.png＝－df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png.

又∵0°<A<180°，

∴A＝120°，

∴sin A＝sin 120°＝b702758df4d9b7bf8fe7a0882928ea08.png.

由正弦定理，得sin C＝858b424f5119e581c33a092e03ce3bca.png＝cf8474449feedd9d766b501e7bd3822f.png＝b0baa86b022ff7919a46dcc83f8a8123.png.

∴最大角A为120°，sin C＝b0baa86b022ff7919a46dcc83f8a8123.png.

层级二　应试能力达标

1．在△ABC中，有下列关系式：

①asin B＝bsin A；②a＝bcos C＋ccos B；③a2＋b2－c2＝2abcos C；④b＝csin A＋asin C.

一定成立的有(　　)

A．1个　　　　　　　　　 B．2个

C．3个 D．4个

解析：选C　对于①③，由正弦、余弦定理，知一定成立．对于②，由正弦定理及sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋sin Ccos B，知显然成立．对于④，利用正弦定理，变形得sin B＝sin Csin A＋sin Asin C＝2sin Asin C，又sin B＝sin(A＋C)＝cos Csin A＋cos Asin C，与上式不一定相等，所以④不一定成立．故选C.

2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C＝120°，c＝1553867a52c684e18d473467563ea33b.pnga，则a，b的大小关系为(　　)

A．a>b B．a<b

C．a＝b D．不能确定

解析：选A　在△ABC中，c2＝a2＋b2－2abcos 120°＝a2＋b2＋ab.∵c＝1553867a52c684e18d473467563ea33b.pnga，∴2a2＝a2＋b2＋ab，∴a2－b2＝ab>0，∴a2>b2，∴a>b.

3．在△ABC中，cos231ff94b5d3076d42e4db3421c4ea6347.png＝bf2f1fd55417c69f091d2656920fd498.png，则△ABC是(　　)

A．正三角形

B．直角三角形

C．等腰三角形或直角三角形

D．等腰直角三角形

解析：选B　∵cos231ff94b5d3076d42e4db3421c4ea6347.png＝bf2f1fd55417c69f091d2656920fd498.png，∴dc82ed080fa9ef843274c36c86d8d03a.png＝bf2f1fd55417c69f091d2656920fd498.png，

∴cos B＝95556b86e8df989368d275ad122a8955.png，∴978a43745ed554fbb5414a2a31d12110.png＝95556b86e8df989368d275ad122a8955.png，∴a2＋c2－b2＝2a2，

即a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形．

4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b2＋c2＋bc－a2＝0，则327e7e0756ede096fdfc01c03cef5abf.png＝(　　)

A.df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png B.b702758df4d9b7bf8fe7a0882928ea08.png

C．－df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png D．－b702758df4d9b7bf8fe7a0882928ea08.png

解析：选A　由余弦定理得cos A＝c3d0416d250dbeba3c95b51774040e26.png，又b2＋c2＋bc－a2＝0，则cos A＝－df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png，又0°<A<180°，则A＝120°，有B＝60°－C，所以df46272566c0723995f65f4fdf4755eb.png＝713047f4c51acfebab29bf1917c750dc.png＝e2ef205edafcae964feb102c5a4b866c.png＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png.故选A.

5．在△ABC中，AB＝2，AC＝fa4a92309c2de95d317265960bf451b0.png，BC＝1＋9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png，AD为边BC上的高，则AD的长是________．

解析：∵cos C＝623bb62e27a433cc9d9b2b21b258c375.png＝193acac34cd52a51c1973c3ce22b6172.png，∴sin C＝193acac34cd52a51c1973c3ce22b6172.png，

∴AD＝ACsin C＝9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png.

答案：9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png

6．在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则af5575be5da2c7812b42ca431ffdf2e2.png的值为________．

解析：由余弦定理可得49＝AC2＋25－2×5×AC×cos 120°，整理得：

AC2＋5·AC－24＝0，

解得AC＝3或AC＝－8(舍去)，

再由正弦定理可得af5575be5da2c7812b42ca431ffdf2e2.png＝bee5e06d61bca23f58f564faea15680a.png＝2e6bc1de54d06d6caa3cab8880a44998.png.

答案：2e6bc1de54d06d6caa3cab8880a44998.png

7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知f375fad91a4f59bfdf572a86c88b392e.png＝b791ebc076728340c4ff00f0e446b62b.png.

(1)求52bac86b72c43149148e11f4bc800318.png的值；

(2)若cos B＝70e7efdd0b858341812e625a071abd09.png，△ABC的周长为5，求b的长．

解：(1)由正弦定理可设32d68671299269b87e1e61df1a8d70cf.png＝4532e33590da37c58474922e01b8465d.png＝90be629f6e972220aa61602b2666ea03.png＝k，

则b791ebc076728340c4ff00f0e446b62b.png＝8e0617fc12d00061f75187a2677a3f5e.png＝4af5f8ca178cb47f3cc914e6eb08022c.png，

所以f375fad91a4f59bfdf572a86c88b392e.png＝4af5f8ca178cb47f3cc914e6eb08022c.png，

即(cos A－2cos C)sin B＝(2sin C－sin A)cos B，

化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)．

又A＋B＋C＝π，所以sin C＝2sin A，

因此52bac86b72c43149148e11f4bc800318.png＝2.

(2)由52bac86b72c43149148e11f4bc800318.png＝2，得c＝2a.

由余弦定理及cos B＝70e7efdd0b858341812e625a071abd09.png，

得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋4a2－4a2×70e7efdd0b858341812e625a071abd09.png＝4a2，

所以b＝2a.

又a＋b＋c＝5，所以a＝1，因此b＝2.

8．如图，D是直角三角形△ABC斜边BC上一点，AC＝9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.pngDC.

(1)若∠DAC＝30°，求B；

(2)若BD＝2DC，且AD＝21553867a52c684e18d473467563ea33b.png，求DC.

解：(1)在△ADC中，根据正弦定理，

有5455bb9456b0ef2c9a3a635a44907aa5.png＝6cbc8bf2e4cf3643fe7ff9dd31efbba2.png，

∵AC＝9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.pngDC，所以sin∠ADC＝9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.pngsin∠DAC＝b702758df4d9b7bf8fe7a0882928ea08.png，

又∠ADC＝∠B＋∠BAD＝∠B＋60°>60°，

∴∠ADC＝120°，

∴∠C＝180°－120°－30°＝30°，∴∠B＝60°.

(2)设DC＝x，则BD＝2x，BC＝3x，AC＝9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.pngx，

∴sin B＝25108e5db3de248d2b0b9c02e72e38b1.png＝a59ce3117b23ea9d9e111f3a6c270771.png，cos B＝e68f71b82be7f74ae04acf5043ae4925.png，AB＝fa4a92309c2de95d317265960bf451b0.pngx，

在△ABD中，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos B，

即(21553867a52c684e18d473467563ea33b.png)2＝6x2＋4x2－2×fa4a92309c2de95d317265960bf451b0.pngx×2x×e68f71b82be7f74ae04acf5043ae4925.png＝2x2，

得x＝2.故DC＝2.

高中数学三维设计必修5：（二） 余弦定理