用轴对称求最短距离

最值问题，也就是最大值和最小值问题，这类问题出现的试题，内容丰富，知识点多，涉及面广，解法灵活多样，本文举例介绍一些常见的求解方法，供读者参考。

例1. （湖北潜江）如图１，小河边有两个村庄Ａ、Ｂ．要在河边建一自来水厂向Ａ村与Ｂ村供水．
　（１）若要使厂部到Ａ、Ｂ村的距离相等，则应选择在哪建厂？
　（２）若要使厂部到Ａ、Ｂ村的水管最省料，应建在什么地方？
　　分析（１）到Ａ、Ｂ两点距离相等，可联想到“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”．
　（２）要使厂部到Ａ村、Ｂ村的距离和最短，可联想到“两点之间线段最短”．

　解：（１）如图２，取线段ＡＢ的中点Ｇ，过中点Ｇ画ＡＢ的垂线，交ＥＦ与Ｐ，则Ｐ到Ａ、Ｂ的距离相等．
　　（２）如图３，画出点Ａ关于河岸ＥＦ的对称点Ａ′，连结Ａ′Ｂ交ＥＦ于Ｐ，则Ｐ到ＡＢ的距离和最短．

点评：如果我们注意一下，在我们的生活中有很多都利用了轴对称，如果平时多观察、多思考，就会发现轴对称还可以帮助我们解决问题.

例2. 如图3，两条公路OA、OB相交，在两条公路的中间有一个油库，设为点P，如在两条公路上各设置一个加油站，，请你设计一个方案，把两个加油站设在何处，可使运油车从油库出发，经过一个加油站，再到另一个加油站，最后回到油库所走的路程最短.

分析 这是一个实际问题，我们需要把它转化为数学问题，经过分析，我们知道此题是求运油车所走路程最短，OA与OB相交，点P在∠AOB内部，通常我们会想到轴对称，分别做点P关于直线OA和OB的对称点P1、P2 ,连结P1P2分别交OA、OB于C、D，C、D两点就是使运油车所走路程最短，而建加油站的地点，那么是不是最短的呢？我们可以用三角形的三边关系进行说明.
    解：分别做点P关于直线OA和OB的对称点P1、P2,
连结P1P2分别交OA、OB于C、D，
则C、D就是建加油站的位置.
若取异于C、D两点的点，
则由三角形的三边关系，可知在C、D两点建加油站运油车所走的路程最短.
　 点评：在这里没有详细说明为什么在C、D两点建加油站运油车所走的路程最短，请同学们思考弄明白。

例3. （湖北荆门）要在河边word/media/image4_1.png修建一个水泵站，分别向A、B两村送水，水泵站应修建在河边的什么地方，可使所用的水管最短？

分析 要解决这个问题，找出点A关于直线word/media/image4_1.png的对称点word/media/image6_1.png，连结word/media/image7_1.png交直线word/media/image4_1.png于点P，则点P就是到A、B两村庄的距离之和最短的点的位置。

理由 根据轴对称的性质可知word/media/image8_1.png

word/media/image9_1.png

如果另外任选一点word/media/image10_1.png（异于P），连结word/media/image11_1.png

在word/media/image12_1.png中，word/media/image13_1.png

即word/media/image14_1.png

因此，word/media/image15_1.png为最短

由此可见，轴对称帮我们找到了符合要求的点的位置。

点评：该问题的解决为我们提供了一种解题的思路和线索，触类旁通，由此产生了一系列问题的解题思路。使学生在操作活动的过程中感受知识的自然呈现，体验数学的神秘与乐趣。

用轴对称求最短距离