时间：120分钟　满分：150分

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1．(2017·江西金溪一中月考)已知△ABC中，a＝，b＝，B＝60°，那么∠A＝(　　)

A．45°　　　　　B．90° C．130°或45° D．150°或30°

2．在△ABC中，B＝，AB＝8，BC＝5，则△ABC外接圆的面积为(　　)

B．16π D．15π

3．(2017·黑龙江鸡西期末)已知锐角△ABC的面积为3，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为(　　)

A．75° B．60° C．45° D．30°

4．在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sinB·sinC＋sin2C，则A等于(　　)

A．30° B．60° C．120° D．150°

5．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且a>b>c, a2<b2＋c2，则∠A的取值范围是(　　)

6．(2017·阆中中学质检)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果bcosC＋ccosB－asinA＝0，那么△ABC的形状为(　　)

A．直角三角形 B．锐角三角形

C．钝角三角形 D．不确定

7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知8b＝5c，C＝2B，则cosC＝(　　)

C．－ D．±

8．(2017·青海师范大学附属中学月考)在△ABC中，A＝30°，B＝60°，C＝90°，那么三边之比a∶b∶c等于(　　)

A．1∶2∶3 B．3∶2∶1 C．1∶∶2 D．2∶∶1

9．在△ABC中，b＝8, c＝8， S△ABC＝16，则∠A等于(　　)

A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°

10．(2017·莆田六中期末)如图，已知A，B两点分别在河的两岸，某测量者在点A所在的河岸边另选定一点C，测得AC＝50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为(　　)

A．50 m B．25 m C．25 m D．50 m

11．在锐角△ABC中，B＝2A，则的取值范围是(　　)

A．(－2,2) B．(，2) C．(0，) D．(，)

，B两地相距200 m，且A地在B地的正东方．一人在A地测得建筑C在正北方，建筑D在北偏西60°；在B地测得建筑C在北偏东45°，建筑D在北偏西15°，则两建筑C和D之间的距离为(　　)

A．200 m B．100 m C．100 m D．100(－1)m

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，则角C＝________.

14．(2017·唐山一中月考)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若＋＝6cosC，则＋＝________.

15．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为________．

16．已知△ABC的面积为，AC＝，∠ABC＝，则△ABC的周长等于_________．

三、解答题(本大题共6小题，共70分)

17．(10分)在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD＝5，AB＝7，∠BDA＝60°，∠CBD＝15°，求BC的长．

18.(12分)(2017·贵州铜仁期中)设a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，S是△ABC的面积，已知a＝4，b＝5，S＝5.

(1)求角C；

(2)求c边的长度．

19．(12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且＝S△ABC(其中S△ABC为△ABC的面积)．

(1)求sin2＋cos2A；

(2)若b＝2，△ABC的面积为3，求a.

20.(12分)(2017·河北开滦一中期末)如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，BD交AC于E，AB＝2.

(1)求cos∠CBE的值；

(2)求AE.

21．(12分)(2017·山西省朔州期末)在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝4，cosA＝，sinB＝，c>4.

(1)求b； (2)求证：C＝2A.

22．(12分)如图所示，一辆汽车从O点出发，沿海岸一条直线公路以100 km/h的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在O点南偏东方向距O点500 km，且与海岸距离为300 km的海上M处有一快艇，与汽车同时发出，要把一件重要物品递送给这辆汽车的司机，问快艇至少必须以多大的速度行驶，才能把物品送到司机手中，并求快艇以最小速度行驶的行驶方向与OM所成的角．

答案与解析

1．A　由正弦定理＝，

得sinA＝＝＝.

又a<b，∴A<B，∴A＝45°.

2．A　由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝64＋25－2×8×5×＝49，∴AC＝7.

由正弦定理得＝2R(R为△ABC外接圆的半径)，∴R＝＝＝.∴△ABC外接圆的面积S＝πR2＝.

3．B　S△ABC＝BC·CA·sinC，

∴×4×3·sinC＝3，

∴sinC＝，

又△ABC是锐角三角形，∴C＝60°，故选B.

4．C　由正弦定理，得sinA＝， sinB＝， sinC＝(其中R为△ABC外接圆半径)，代入sin2A＝sin2B＋sinB·sinC＋sin2C，得a2＝b2＋bc＋c2＝b2＋c2＋bc，即b2＋c2－a2＝－bc，由余弦定理得cosA＝＝＝－.

又0°<∠A<180°，∴∠A＝120°.故选C.

5．C　解法一：cosA＝，

∵a2<b2＋c2, a>b>c, cosA<＝<＝，∴cosA>0，且cosA<.

∴∠A的范围为，故选C.

解法二：∵a>b>c, ∴a为最长边，∠A>.

又a2<b2＋c2, ∴∠A<. ∴<∠A<.故选C.

6．A　bcosC＋ccosB－asinA＝0，

∴sinBcosC＋sinCcosB－sin2A＝0.

∴sin(B＋C)－sin2A＝0.

∴sinA－sin2A＝0，∴sinA＝0(舍去)或sinA＝1，

∴A＝.故选A.

7．A　∵C＝2B，∴sinC＝sin2B＝2sinBcosB.又∵8b＝5c，＝，∴＝＝.∴cosB＝＝×＝.

∴cosC＝cos2B＝2cos2B－1＝2×2－1＝.

8．C　a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝∶∶1＝1∶∶2，故选C.

9．C　∵S△ABC＝bcsinA, ∴sinA＝＝.

∴∠A＝30°或150°，经检验均满足已知条件，故选C.

10．D　∠CBA＝180°－∠ACB－∠CAB＝180°－45°－105°＝30°，

∴＝，∴AB＝＝＝50 m．故选D.

11．D　∵B＝2A，

∴＝＝＝2cosA，

∵△ABC是锐角三角形，

∴

∴＜A＜，

∴＜2cosA＜，故选D.

12．C　由题可知△BCA是等腰直角三角形，

∴AB＝AC＝200，BC＝200，

∠DBC＝15°＋45°＝60°，

∵∠DAB＝90°－60°＝30°，

∴∠BDA＝45°，∴＝.

∴DB＝＝100，

∴DC2＝DB2＋BC2－2DB·BC·cos60°

＝(100)2＋(200)2－2×100×200×

＝6×1002，

∴DC＝100 m，故选C.

解析：由3sinA＝5sinB，得3a＝5b.

又b＋c＝2a，∴a＝，b＝.

在△ABC中，由余弦定理得cosC＝＝－.

∴C＝.

14．4

解析：＋＝6cosC，∴b2＋a2＝6abcosC＝3(a2＋b2－c2)，

∴3c2＝2a2＋2b2.

＋＝tanC＝

＝＝＝

＝4.

15．40

解析：设另两边分别为8t,5t(t>0)，则由余弦定理得

142＝(8t)2＋(5t)2－2·8t·5t·cos60°，

∴t2＝4, ∴t＝2.

∴S△ABC＝×16×10×＝40.

16．3＋

解析：由已知得＝AB·BCsin，∴AB·BC＝2.又AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝AB2＋BC2－AB·BC＝(AB＋BC)2－3AB·BC＝(AB＋BC)2－6.又AC＝，∴AB＋BC＝3.∴AB＋BC＋AC＝3＋.

17．解：在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos60°，又AD＝5，AB＝7，

∴BD2－5BD－24＝0，解得BD＝8.

在△BCD中，∠BDC＝30°，∠BCD＝135°，由正弦定理得BC＝＝＝4.

18．解：(1)由题知S＝5，a＝4，b＝5.

由S＝absinC得，

5＝×4×5sinC，

解得sinC＝，

又C是△ABC的内角，所以C＝或C＝.

(2)当C＝时，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos＝16＋25－2×4×5×＝21，解得c＝；

当C＝时，c2＝a2＋b2－2abcos＝

16＋25＋2×4×5×＝61，解得c＝.

综上得，c边的长度是或.

19.解：(1)由已知得＝×bcsinA，即3cosA＝4sinA>0，又∵sin2A＋cos2A＝1，

∴sinA＝，cosA＝.

sin2＋cos2A＝＋cos2A＝2cos2A＋－＝2×＋－＝.

(2)由(1)知sinA＝，S△ABC＝bcsinA＝3，b＝2，

∴c＝5.又∵a2＝b2＋c2－2bccosA，

∴a2＝4＋25－2×2×5×＝13，

∴a＝.

20．解：(1)∵∠BCD＝90°＋60°＝150°，CB＝AC＝CD，

∴∠CBE＝15°，∴cos∠CBE＝cos(45°－30°)＝.

(2)在△ABE中，AB＝2，由正弦定理得＝，

故AE＝＝＝－.

21.解：(1)∵cosA＝，

可得sinA＝＝，

∴由正弦定理可得b＝＝＝5.

(2)证明：∵由(1)可得a＝4，cosA＝，b＝5，

∴由余弦定理可得16＝25＋c2－2×b×c×，

整理可得2c2－15c＋18＝0，

∴解得c＝6或(c>4，故舍去)，

∴由正弦定理可得sinC＝＝＝.

又∵sin2A＝2sinAcosA＝2××＝，

∴可得sinC＝sin2A，

∵C∈(0，π)，2A∈(0，π)，

∴C＝2A，或C＋2A＝π(A≠B故舍去)．

∴C＝2A，得证.

22．解：如图，设快艇从M处以v km/h的速度出发，沿MN方向航行，t小时后与汽车相遇．

在△MON中，MO＝500，

ON＝100t, MN＝vt.

设∠MON＝α.由题意知sinα＝，则cosα＝.

由余弦定理知

MN2＝OM2＋ON2－2OM·ON·cosα，

即v2t2＝5002＋1002t2－2×500×100t·.

v2＝5002·－2×500×80·＋1002

＝2＋3 600.

当＝，即t＝时， v＝3 600，即快艇必须至少以60 km/h的速度行驶．此时MN＝60×＝15×25.

MQ是M到ON的距离，且MQ＝300，设∠MNO＝β，

∴sinβ＝＝.

∴α＋β＝90°， ∴MN与OM成直角．

∴快艇至少必须以60 km/h的速度行驶，才能把物品送到司机手中，其行驶方向与OM成直角．…

高中数学必修五第一章测试题