高中数学圆锥曲线基本知识与典型例题

发布时间：2020-10-07 18:06:35

高中数学圆锥曲线基本知识与典型例题

第一部分：椭圆

1．椭圆的概念

在平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．

集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：

(1)若a>c，则集合P为椭圆； (2)若a＝c，则集合P为线段； (3)若a<c，则集合P为空集．

2．椭圆的标准方程和几何性质

标准方程		＋＝1 (a>b>0)	＋＝1(a>b>0)
图形
性质	范围	－a≤x≤a －b≤y≤b	－b≤x≤b －a≤y≤a
	对称性	对称轴：坐标轴　　对称中心：原点
	顶点	A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b)	A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0)
	轴	长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
	焦距	\|F1F2\|＝2c
	离心率	e＝∈(0,1)
	a，b，c的关系	c2＝a2－b2

典型例题

例1.F1，F2是定点，且|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则M点的轨迹方程是( )

(A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段

例2. 已知的周长是16，，B, 则动点的轨迹方程是( )

(A) (B) (C) (D)

例3. 若F(c，0)是椭圆的右焦点，F与椭圆上点的距离的最大值为M，最小值为m，则椭圆上与F点的距离等于的点的坐标是( )

(A)(c，) (C)(0，±b) (D)不存在

例4. 设F1(-c，0)、F2(c，0)是椭圆+=1(a>b>0)的两个焦点，P是以F1F2为直径的圆与椭圆的一个交点,若∠PF1F2=5∠PF2F1,则椭圆的离心率为( )

(A) (B) (C) (D)

例5 P点在椭圆上，F1、F2是两个焦点，若，则P点的坐标是 .

例6.写出满足下列条件的椭圆的标准方程：

(1)长轴与短轴的和为18，焦距为6; .

(2)焦点坐标为,,并且经过点(2，1); .

(3)椭圆的两个顶点坐标分别为,,且短轴是长轴的; ____.

(4)离心率为，经过点(2，0); .

例7 是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上运动，则的最大值是．

第二部分：双曲线

1．双曲线的概念

平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为常数2a (2a<2c)，则点P的轨迹叫双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距．

集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0：

(1)当a<c时，P点的轨迹是双曲线；

(2)当a＝c时，P点的轨迹是两条射线；

(3)当a>c时，P点不存在．

2．双曲线的标准方程和几何性质

标准方程		－＝1 (a>0，b>0)	－＝1(a>0，b>0)
图形
性质	范围	x≥a或x≤－a，y∈R	x∈R，y≤－a或y≥a
	对称性	对称轴：坐标轴　对称中心：原点
	顶点	A1(－a,0)，A2(a,0)	A1(0，－a)，A2(0，a)
	渐近线	y＝±x	y＝±x
	离心率	e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
	实虚轴	线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长\|A1A2\|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长\|B1B2\|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长
a、b、c 的关系		c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)

典型例题

例8.命题甲：动点P到两定点A、B的距离之差的绝对值等于2a(a>0)；命题乙：点P的轨迹是双曲线。则命题甲是命题乙的( )

(A) 充要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分不必要条件 (D) 不充分也不必要条件

例9. 过点(2，-2)且与双曲线有相同渐近线的双曲线的方程是( )

(A) (B) (C) (D)

例10. 双曲线的两焦点为在双曲线上,且满足,则的面积为( )

例11. 设的顶点，，且，则第三个顶点C的轨迹方程是________.

例12. 连结双曲线与(a＞0，b＞0)的四个顶点的四边形面积为，连结四个焦点的四边形的面积为，则的最大值是________．

例13.根据下列条件，求双曲线方程:

⑴与双曲线有共同渐近线，且过点(-3，)；

⑵与双曲线有公共焦点，且过点(，2).

例14 设双曲线上两点A、B，AB中点M（1，2）

⑴求直线AB方程；

⑵如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点，那么A、B、C、D是否共圆，为什么？

第三部分：抛物线

1．抛物线的概念

平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．

2．抛物线的标准方程与几何性质

标准方程	y2＝2px(p>0)	y2＝－2px(p>0)	x2＝2py(p>0)	x2＝－2py(p>0)
标准方程	p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点	O(0,0)
对称轴	y＝0		x＝0
焦点	F	F	F	F
离心率	e＝1
准线方程	x＝－	x＝	y＝－	y＝
范围	x≥0，y∈R	x≤0，y∈R	y≥0，x∈R	y≤0，x∈R
开口方向	向右	向左	向上	向下