湖南省浏阳一中、攸县一中2015-2016学年高二上学期期中联考数学(文)试题

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2015年下期浏阳一中、攸县一中高二年级期中联考试卷
文科数学

一．选择题:(本大题共10个小题，每小题5分，共计50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求
1．不等式2xy30表示的平面区域(用阴影表示是(


o
yyy
y
x
o
xox
ox
A
BCD
2．(浏阳一中选做不等式2x2x30的解集是(
A．x|x1
C．
x|x1x

B．
x|x
32
32


3D．x|x1或x2
2．(攸县一中选做已知椭圆x2
上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，y2
12516
则P到另一焦点距离为(
A．2B．3C．5D．7
3．命题：“若x21，则1x1”的逆否命题是(
A.若x21，则x1，或x1B.若1x1，则x21C.若x1，或x1，则x21D.若x1，或x1，则x21
4．实数x，条件p:x2x，条件q:1，则p是q的(
1x
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

11
5．若a＜b＜0，则下列结论不正确的是(
ba
A．a＜bB．ab＜bC.a＋b＞2D．|a|－|b|＝|a－b|
2
2
2
6．在数列{an}中，a1=1，anan-1=an-1+(-1n(n≥2，n∈N*，则a的值是(
3
a5
A．15
16

B．15C．3
8
4
D．3
8
7．已知锐角三角形ABC的面积为33，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为(
A．75°B．60°C．45°D．30°
8．设等差数列a的前n项和是S，若aaa(mN*，且m2，则必定有
m1m1nn

(
B．S0，且S0
mm1D．S0，且S0mm1
A．S0，且S0
mm1C．S0，且S0mm1
9．在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：
(1对任意a∈R，a*0＝a；
(2对任意a，b∈R，a*b＝ab＋(a*0＋(b*0．1
则函数f(x＝(e*ex的最小值为(
x
A．2B．3C．6D．8
10.已知数列{a}的前n项和Sn2n，正项等比数列{b}中，ba，
nn23n
2
bn3bn14bn(n2,nN，则log2bn(
A．n1B．2n1C．n2D．n
二、填空题：(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上
x－y≥0
11．设x，y满足约束条件x＋2y≤3，则z＝x＋4y的最大值为________．
x－2y≤1

12．(浏阳一中选做已知{a}是等差数列，若2aa30，则a的值是_____
n975___．
x2y2122
12．(攸县一中选做若双曲线a－b＝1(a>0，b>0的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的4，
则该双曲线的离心率是13．等比数列
_______
an中，a32,a78,则a5=________.
14.如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝1
35°，则BC的长______.

15．若不等式
则实数m的最大值为；12在x0,1时恒成立，
m
2x1x
三、解答题：(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
16．(本小题满分12分已知全集U=R，非空集合
x2<0，Ax
x3
<.
Bxxaxa220(1当
1时，求CUBA；a
2
(2命题p:xA，命题q:xB，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围.17．(本小题满分12分在△ABC中，已知A=，
4
25．
cosB
5
(I求cosC的值；
(Ⅱ若BC=25，D为AB的中点，求CD的长．
18．(本小题满分12分某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状，高度恒定，它的
后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价

45元，顶部每平方米造价20元，求：(1仓库面积S的最大允许值是多少？
(2为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？
19.(本小题满分13分已知S是等比数列{a}的前n项和，S，S，S成等差数
3n42n列，且aaa18.
234
(Ⅰ求数列{a}的通项公式；
n
(Ⅱ是否存在正整数n，使得s2015？若存在，求出符合条件的所有n的集合；
n
若不存在，说明理由．
20.(浏阳一中选做(本小题满分13分在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC(cosA3sinAcosB0.(1求角B的大小；
(2若ac1，求b的取值范围.
20．(攸县一中选做(本小题满分13分已知椭圆
，椭圆C以C的x2221
C1:y1
4
长轴为短轴，且与C有相同的离心率.
1
(1求椭圆C的方程；
2
(2设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C和C上，OB2OA，求直线AB的方
21程.


21.(本小题满分13分已知等差数列{a}的前n项和为S，并且a2，S15，
nn25数列{b}满足：
n
，记数列{b}的前n项和为T.1，n1nnb1bn1bn(nN
22n
(I求数列{a}的通项公式a及前n项和公式S；nnn(II求数列{b}的通项公式b及前n项和公式T；
n
n
n
(III记集合
，若M的子集个数为16，求实数λ的取2Sn(2Tn
M{n|λ,nN}
n2
值范围。

参考答案：BDDADCBABD

23
11.512.(浏阳一中选做3(攸县一中选做313.414.8215.9
216.


17.【解析】(Ⅰ
25且B(0
cosB
5
,180，∴sinB1cos2B5…2分
5
cosCcos(ABcos(
……………………………4分3
B4
332252510……………6分coscosBsinsinB
44252510
(Ⅱ由(Ⅰ可得
sinC
1cos
2
C
102310
1(
1010
……8分
由正弦定理得BC
sinAsinC

AB，即
252
2

AB31010
，解得AB6．…10分
在BCD中，
CD2(252322325
255，所以CD5…………12分5
18.解析：答案解：设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，则顶部面积为Sxy依题设，40x245y20xy3200，……………4分
由基本不等式得
……………63200240x90y20xy120xy20xy120S20S，

分
S6S1600，即(S10(S60，……………9分
故S10，从而S100……………11分所以S的最大允许值是100平方米，
取得此最大值的条件是40x90y且xy100，求得x15，即铁栅的长是15米。……………12分
19.
【解析】Ⅰ设数列an的公比为q,则a10,q0.由题意得
232
aqaqaq,S2S4S3S2,a13,111即解得2
aaa18,aq1qq18,q2.2341

故数列an的通项公式为an32
n
312
12n.
Ⅱ由Ⅰ有Sn
12
n1
.

若存在n,使得Sn2013，则1-22013,即22012.当n为偶数时，20,上式不成立；
当n为奇数时，22n2012,即2n2012,则n11.综上，存在符合条件的正整数n，且所有这样的n的集合为
nn
nn
nn2k1,kN,k5.
20.(浏阳一中选做解(1由已知得cos(ABcosAcosB3sinAcosB0，即sinAsinB3sinAcosB0.因为sinA0，所以sinB3cosB0，又
cosB0，所以tanB3，又0B，所以
.
B
3
1，所以
cosB
2
(2由余弦定理，有b2a2c22accosB，因为ac1，
，即1.121，又因为0a1，所以12
b3(ab1b1
2244
2
20．(攸县一中选做解：1由已知可设椭圆C的方程为y2x2
2
1(a2a24

其离心率为3，故a243，则a4

2a2故椭圆的方程为y2x2
1164

(2A,B两点的坐标分别记为(x,y,(x,y
AABB
由OB2OA及(1知，O,A,B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可以设直线AB的方程为ykx将ykx代入x2
4y1
2
中，得(14k2x24，所以
4
x
14k2
2A
将ykx代入y2x2中，则(4k2x216，所以2
16xB1
4k2164由OB2OA，得x24x2，即1616BA
4k214k2解得k1，故直线AB的方程为yx或yx21.解析：(1设数列{a}的公差为d，
n由题意得
，解得a1，∴an，∴n2n。a1d2n1
Sn2d15a110d15
1n1
bn2n
n1
(2由题意得b叠乘得
bbbnnn1
bn1bn2b1nn12b1(n(b12n1n2
n①
n2
2n.n12
由题意得
123
Tn23
222
1123Tn2342222
n1n②
nn1
22
②—①得：
1111
Tn2248
11
(1n
1n2n1n2nn12n1n1
1222212

∴
n2
Tn2n
2
(3由上面可得2S(2Tn2n，令n2n，nn
f(n
n22n2n则f(11，
3，3，5，15。f(2f(3f(4f(5
22416
下面研究数列
n2n的单调性，f(n
2n
∵
(n12n1n2n(n1(2n，
f(n1f(nn
2n122n1
∴n3时，f(n1f(n0，f(n1f(n，即f(n单调递减。∵集合M的子集个数为16，∴M中的元素个数为4，∴不等式n2n
2n
λ
，nN解的个数为4，
∴15
16
λ1






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