高考不是高不可攀，是要你向更高的目标前进，永不停息；高考不是煎熬煎烤，是让你完善自我的磨考，不断超越。高考到了，祝你成竹在胸，高人一筹，考试成绩门门优秀。

百校联盟2018-2019学年全国卷I高考最后一卷（押题卷）文科数学（第二模拟）金榜题名，高考必胜!蝉鸣声里勾起高考记忆三年的生活，每天睡眠不足六个小时，十二节四十五分钟的课加上早晚自习，每天可以用完一支中性笔，在无数杯速溶咖啡的刺激下，依然活蹦乱跳，当我穿过昏暗的清晨走向教学楼时，我看到了远方地平线上渐渐升起的黎明充满自信，相信自己很多考生失利不是输在知识技能上而是败在信心上，觉得自己不行。临近考试前可以设置完成一些小目标，比如说今天走1万步等，考试之前给自己打气，告诉自己“我一定行”!

最新试卷十年寒窗苦，踏上高考路，心态放平和，信心要十足，面对考试卷，下笔如有神，短信送祝福，愿你能高中，马到功自成，金榜定题名。最新试卷多少汗水曾洒下，多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。

一、选择题：共12题

1．关于复数z=(i是虚数单位),下列结论正确的为

A.在复平面内,复数z所对应的点在第一象限 B.复数z的共轭复数为=1-i

C.若复数ω=z+b(b∈R)为纯虚数,则b=1 D.复数z的模为2

【答案】C

【解析】本题考查复数的基础知识与基本运算,考查复数与复平面内点的对应关系.解题时,通过复数运算得到化简结果,然后通过选项进行判断,得出正确答案.

由已知z==-1+i,因而z在复平面内对应的点位于第二象限,A错误,=-1-i,B错误,|z|=,D错误,若ω=-1+b+i为纯虚数,则-1+b=0,即b=1,故选C.

2．已知函数f(x)=,若f(4)=2f(a),则实数a的值为

A.-1或2 B.2 C.-1 D.-2

【答案】A

【解析】本题考查分段函数求值,考查分类讨论思想,属于基础题.

f(4)=log24=2,因而2f(a)=2,即f(a)=1,当a>0时,f(a)=log2a=1,因而a=2,当a≤0时,f(a)=a2=1,因而a=-1,故选A.

3．已知集合A={x|<1},集合B={y|y=t-2},则A∩B=

A.(-∞,2] B.(3,+∞) C.[2,3) D.(0,3)

【答案】B

【解析】本题考查集合的运算、不等式的解法及函数值域的求解.

由<1,得>0,因而x>3或x<0,即A=(-∞,0)∪(3,+∞),设m=≥0,则t=m2+3,因而y=m2+3-2m=(m-1)2+2,所以B=[2,+∞),从而A∩B=(3,+∞),故选B.

4．在数列{an}中,a1=1,a2=3,且an+1an-1=an(n≥2),则a2 016的值为

A.3 B.1 C. D.32 015

【答案】C

【解析】本题考查数列的基本运算及性质,考查运算求解能力,求解时要注意规律的发现,得到{an}为周期数列,进而求解.

由已知,a1=1,a2=3,且an+1an-1=an(n≥2),则a1a3=a2,从而a3=3,又a2a4=a3,∴a4=1,同理a5=

,a6=,a7=1,a8=3,那么数列{an}为周期数列,且周期为6,∴a2 016=a6=,故选C.

5．对于三个不同的平面α,β,γ和四条不同的直线a,b,m,n,下列中为真的是

A.若a⊥m,a⊥n,m⊂α,n⊂α,则a⊥α

B.若a∥b,b⊂α,则a∥α

C.若α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,则a∥b

D.若a⊂β,b⊂β,a∥α,b∥α,则β∥α

【答案】C

【解析】本题考查考生对空间直线、平面间的位置关系的判断,考查考生分析问题、解决问题的能力.

对于A,只有m,n相交时结论才成立;对于B,还有可能a⊂α;对于D,只有当a,b相交时结论才成立;对于C,该结论是两平面平行的性质定理,是真.故选C.

6．将函数y=sin 2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数y=2cos2x的图象,那么φ可以取的值为

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】本题考查三角函数的图象及其变换等基础知识,考查三角函数诱导公式.图象变换是三角函数性质的重点内容之一,其考查往往注重基础,一般比较常规.

通解　将y=sin 2x的图象向左平移φ个单位长度,再向上平移1个单位长度得到y=sin 2(x+φ)+1的图象,此时y=sin 2(x+φ)+1=2cos2x,即sin 2(x+φ)=cos 2x,因而2φ=+2kπ,k∈Z,那么,由选项可知φ可以取的值为,故选C.

优解　由已知,可以将y=2cos2x的图象作相应的逆变换,先向下平移1个单位长度得到函数y=2cos2x-1的图象,即y=cos 2x的图象,而y=cos 2x=sin(2x+),因而将y=sin(2x+)的图象向右平移个单位长度得到y=sin 2x的图象,因而φ可以取的值为,故选C.

7．已知x,y满足不等式组,则目标函数z=()x×4y的最小值为

A.1 B.2 C.3 D.4

【答案】A

【解析】本题通过线性规划的知识考查考生的数形结合能力,本题在目标函数上进行了创新,要求考生具有一定的转化意识.

通过不等式组作出可行域如图中三角形OAB及其内部所示,其中A(1,2),B(0,),求z=()x×4y=22y-x的最小值,可转化为求2y-x的最小值,当x=y=0时,2y-x取得最小值0,则z=()x×4y的最小值为1,故选A.

8．执行如图所示的程序框图,则可以输出函数的为

A.f(x)=sinx B.f(x)=ex C.f(x)=lnx+x+2 D.f(x)=x2

【答案】C

【解析】本题考查程序框图的知识,考查分支结构及初等函数的基本性质,考查考生分析问题、解决问题的能力.解题时,准确确定分支条件是求解正确的关键.

当输入f(x)=sinx时,由于是奇函数,因而执行输出“是奇函数”,然后结束;当输入f(x)=ex时,f(x)=ex不是奇函数,但恒为正,因而输出“非负”,然后结束;当输入f(x)=lnx+x+2时,f(x)=lnx+x+2既不是奇函数,又不恒为非负,因而输出该函数;而当输入f(x)=x2时,由于f(x)=x2是偶函数,且非负,因而输出“非负”.故选C.

9．如图为某几何体的三视图,则该几何体的体积为

A.π B.π C.π D.π

【答案】C

【解析】本题考查三视图的知识,考查圆柱体积的求解公式,考查考生的空间想象能力.通过所给条件信息正确确定几何体的形状是解题的关键.

由已知三视图,可得该几何体的直观图是一个圆柱切割成的几何体,即如图所示的下半部分,则其体积为圆柱的一半,因而V=×π×12×2=π,故选C.

10．已知函数f(x)=alnx-bx2的图象在x=1处与直线y=-相切,则函数f(x)在[1,e]上的最大值为

A.- B. C.1 D.e

【答案】A

【解析】本题主要考查导数的几何意义及导数在研究函数最值中的应用.先根据函数图象的切线求出函数的解析式,再利用导数研究函数的单调性,进而可得函数的最值.

由题意知,f'(x)=-2bx,因为函数f(x)=alnx-bx2的图象在x=1处与直线y=-相切,所以,解得,即函数f(x)=lnx-.又当x∈[1,e]时,f'(x)=-x≤0,所以函数f(x)在[1,e]上单调递减,其最大值为f(1)=-.

11．已知A1,A2分别为双曲线-=1的左、右顶点,P为双曲线上第一象限内的点,直线l:x=1与x轴交于点C,若直线PA1,PA2分别交直线l于B1,B2两点,且△A1B1C与△A2B2C的面积相等,则直线PA1的斜率为

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】本题考查双曲线与直线的相关知识,有一定综合性,考查化归与转化能力及灵活变通能力.

通解　由已知,显然直线PA1的斜率存在,故可设直线PA1的方程为y=k(x+2),由已知k>0,则由 得(9-4k2)y2-36ky=0,易知9-4k2≠0,因而P(,),所以,则直线PA2的方程为y=(x-2),直线PA1,PA2与直线l分别交于B1(1,3k),B2(1,-),因而×

3×3k=×1×,得k=,故选B.

优解　由已知,P为双曲线-=1上的点,则,又直线PA1的方程为y=

(x+2),交直线l于B1(1,3),直线PA2的方程为y=(x-2),交直线l于B2(1,-),

由于P为第一象限内的点,因而>0,则×3×3×1×,即92=,从而,故选B.

12．在等差数列{an}中,a3=-2,a5=4,若存在正整数m,使得为数列{an}中的项,则所有满足条件的m的值的和为

A.6 B.7 C.8 D.9

【答案】B

【解析】本题考查等差数列的性质,考查考生的推理论证能力.由条件可先求出{an}的通项公式,然后由为数列{an}中的项,可得出am=1或am=-2,从而求出m的值.

在等差数列{an}中,由a3=-2,a5=4,得公差d=3,所以an=a3+(n-3)d=3n-11.因为=am+9+,且an=3n-11=3(n-4)+1, 所以要使为数列{an}中的项,必须是3的倍数,于是am在±1,±2,±3,±6中取值,但由于am-1是3的倍数,所以am=1或am=-2.由am=1得m=4;由am=-2得m=3.当m=4时,=a13;当m=3时,=a3.所以所求m的值的和为7.

二、填空题：共4题

13．如图是某样本的频率分布直方图,已知数据不超过10的频数为10,则根据频率分布直方图可知该样本的容量为　　　　. 

【答案】50

【解析】本题考查频率分布直方图的基础知识.高考对于统计知识的考查以基础知识为主,往往比较简单,但覆盖面比较广,复习时要注意全面到位.

由已知的频率分布直方图,可得数据不超过10时对应的矩形的高为0.04,而组距为5,因而对应的频率为0.2,因而样本容量为=50.

14．若椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点与短轴的两个顶点组成一个面积为1的正方形,则椭圆C的内接正方形的面积为　　　　. 

【答案】

【解析】本题主要考查椭圆的概念与性质等,考查考生的运算求解能力和数形结合的数学思想.解题时,根据题意求出椭圆C的方程为x2+=1,设A(x0,y0)是椭圆C的内接正方形位于第一象限内的顶点,则x0=y0,所以椭圆C的内接正方形的面积S=(2x0)2.

由已知得,a=1,b=c=,所以椭圆C的方程为x2+=1,设A(x0,y0)是椭圆C的内接正方形位于第一象限内的顶点,则x0=y0,所以1=+2=3,解得,所以椭圆C的内接正方形的面积S=(2x0)2=4.

15．已知菱形ABCD的边长为,且∠BAD=60°,将△ABD沿BD折起,使A,C两点间的距离为,则所得三棱锥的外接球的表面积为　　　　.

【答案】

【解析】本题考查球的相关知识,考查考生的空间想象能力及基本的运算能力.球是最基本的几何体之一,对于与球相关的知识的考查,往往结合球内接柱体、锥体等,涉及表面积或体积的运算,复习时注意把握难度.

由已知,∠BAD=60°,菱形ABCD的边长为,且折起后AC=,设△BCD的外接圆圆O1的半径为r,则由正弦定理得,2r==2,因而圆O1的半径r=1,则三棱锥的高h=,设外接球半径为R,则R2=(h-R)2+r2,即R2=2-2R+R2+1,得R=,则该球的表面积为4πR2=4π×.

16．已知直角梯形ABCD中,AB⊥AD,AB∥CD,AB=2CD=2AD=2,P是以C为圆心,且与BD相切的圆上的动点,设=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的最大值为　　　　. 

【答案】2

【解析】本题考查向量的基础知识,利用平面直角坐标系,将问题转化为向量的坐标运算是解题的关键.

由已知分别以AD,AB所在的直线为x,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,则C(1,1),

B(0,2),D(1,0),直线BD的方程为2x+y-2=0,圆C的半径为R=,则圆C的方程为(x-1)2+(y-1)2=,由=λ+μ,得=λ(1,0)+μ(0,2)=(λ,2μ),P(λ,2μ)在圆C上,因而,(λ-1)2+(2μ-1)2=,设λ=1+cosθ,2μ=1+sinθ,则λ+μ=+cosθ+sinθ=+sin(θ+φ),其中tanφ=2,所以当sin(θ+φ)=1时λ+μ取得最大值2.

三、解答题：共8题

17．已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,向量m=(2b,1),n=(2a-c,cosC),且m∥n.

(1)若b2=ac,试判断△ABC的形状;

(2)求y=1-的值域.

【答案】(1)由已知,m∥n,则2bcosC=2a-c,

由正弦定理, 得2sinBcosC=2sin(B+C)-sinC,

即2sinBcosC=2sinBcosC+2cosBsinC-sinC,

在△ABC中,sinC≠0,因而2cosB=1,则B=.

又b2=ac,b2=a2+c2-2accosB,

因而ac=a2+c2-2accos,即(a-c)2=0,

所以a=c,△ABC为等边三角形.

(2)y=1-

=1-

=1-2cosA(cosA-sinA)

=sin 2A-cos 2A

=sin(2A-),其中A∈(0,).

因而所求函数的值域为(-1,].

【解析】本题考查解三角形的基础知识.第(1)问通过向量平行,结合正、余弦定理,利用两角和的正弦公式进行求解;第(2)问是关于角A的三角函数的值域问题,利用二倍角公式,将函数化为常见的y=Msin(ωx+φ)的形式,再求函数的值域.

【备注】判断三角形的形状,主要有如下两条途径:(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边与边之间的关系,通过因式分解、配方等方法得出边的相应关系,从而判断三角形的形状;(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角三角函数间的关系,通过三角恒等变换,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=π这个定理,在等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.

18．甲、乙两种不同规格的产品,其质量按测试指标分数进行划分,其中分数不小于82分的为合格品,否则为次品,现随机抽取两种产品各100件进行检测,其结果如下:

(1)根据表中数据,估计甲、乙两种产品的合格率;

(2)若按合格与不合格的比例抽取5件甲产品,再从这5件甲产品中随机抽取2件,求这2件产品全是合格品的概率.

【答案】(1)甲产品的合格率为P1=.

乙产品的合格率为P2=.

(2)由题意,若按合格与不合格的比例抽取5件甲产品,则其中恰有1 件次品,4 件合格品,

因而可设这5件甲产品分别为a,b,c,d,E,其中小写字母代表合格品,E代表次品,从中随机抽取2件,则所有可能的情况为ab,ac,ad,aE,bc,bd,bE,cd,cE,dE,共10种,

设“这2件产品全是合格品”为事件M,则事件M所包含的情况为ab,ac,ad,bc,bd,cd,共6种.

由古典概型的概率计算公式,得P(M)=.

【解析】本题考查统计的基础知识,考查古典概型概率的求解方法.

【备注】分析近几年高考题的特点,概率与统计往往设计在同一个题目中,体现知识间的整合,古典概型概率的求法仍是考查的重点,但是在解题中需要提醒的是:①认真审题,理清已知条件中的信息,包括茎叶图、频率分布直方图、频率分布表、样本数据等,将其转化成解题必备的数学信息;②分清所求概率的类型,是古典概型、还是几何概型等;③将随机事件的可能结果列全,找准所求事件包含的基本事件个数,避免由于思维不严密造成不必要的失分;④要注重对基本概念、基本性质的理解,并加强知识整合能力,特别是加强知识点交汇问题的求解能力,提升阅读理解能力.

19．如图,异面直线AB,CD互相垂直,CF是它们的公垂线段,且F为AB的中点,作DE//CF,连接AC,BD,G为BD的中点,AB=AC=AE=BE=2.

(1)在平面ABE内是否存在一点H,使得AC∥GH?若存在,求出点H所在的位置,若不存在,请说明理由;

(2)求三棱锥G-ACD的体积.

【答案】(1)取BE的中点M,连接GM,EF,作MH∥AB交EF于H,

则点H为FE的中点,MH∥BF∥FA.

连接GH,则GM∥DE∥CF,

易知∠GMH=∠CFA=,从而△GHM∽△CAF,从而AC∥GH,

即存在点H满足题设要求,且点H为FE的中点.

(2)由于G为BD的中点,∴点G到平面ACD的距离等于点B到平面ACD的距离的一半,

∴VG-ACD=VB-ACD.

又VB-ACD=VD-ABC,由题意知CD⊥平面ABC,AB=AC=AE=BE=2,

∴CD=CF=,S△ABC=×2×,VD-ABC==1.

∴VG-ACD=VD-ABC=.

【解析】本题脱离开以常规的几何体为载体的考查方式,考查立体几何中线线平行的位置关系及几何体体积的求解.解题时要注意解题过程的规范性与全面性,切忌推证过程过于简略,推理条件列举不全面.

【备注】求解立体几何题时,要求“四会”:①会画图——根据题设条件画出符合题意的图形或画出自己想作的辅助线(面),且所作图形要直观、虚实分明;②会识图——根据题目给出的图形,想象出几何体的形状和有关线、面的位置关系;③会分析图——对图形进行必要的分解、组合;④会用图——对图形或其某部分进行平移、翻折、旋转、展开或割补,从而求得答案.

20．已知过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1)和B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=.

(1)求抛物线C的方程;

(2)若抛物线C的准线为l,焦点为F,点P为直线m:x+y-2=0上的动点,且点P的横坐标为a,试讨论当a取不同的值时,圆心在抛物线C上,与直线l相切,且过点P的圆的个数.

【答案】(1)直线AB的方程是y=2(x-),代入y2=2px,

得4x2-5px+p2=0,所以x1+x2=,

由抛物线的定义得|AB|=x1+x2+p=,∴p=2,

∴抛物线C的方程是y2=4x.

(2)解法一　由题意知l:x=-1,F(1,0).

∵所求圆的圆心在抛物线上,且与直线l相切,则圆过焦点F,又圆过点P,∴圆心在线段PF的中垂线上,设P(a,2-a),则线段PF中点的坐标为(,),当a≠1,a≠2时,kPF=,∴线段PF的中垂线方程为

y=(x-)+,化简得y=x+　①.

圆的个数即中垂线与抛物线的交点的个数,将x=代入①得

y2-y+=0,

判别式Δ=1-4··=1+,∴当a=-1时,交点有1个,圆有1个;

当a<-1时,交点有0个,圆有0个;

当a>-1,且a≠1,a≠2时,交点有2个,圆有2个.

而当a=2时,易验证有2个交点,圆有2个;当a=1时,易知交点有1个,圆有1个.

综上所述:当a<-1时, 圆有0个;

当a=±1时, 圆有1个;

当a>-1,且a≠1时,圆有2个.

解法二　设圆心Q(x0,y0)(=4x0),P(a,2-a),由于准线l:x=-1,

故若存在圆Q满足条件,则r=|PQ|=,且r=|x0+1|,

∴(x0-a)2+(y0+a-2)2=(x0+1)2,

即a2++2(a-2)y0+(a-2)2=(2+2a)x0+1=(2+2a)+1,

整理得(1-a)+(4a-8)y0+4a2-8a+6=0　(*),

当a=1时,(*)式即-4y0+2=0,有1个解.

当a≠1时,(*)式中

Δ=(4a-8)2-4(1-a)(4a2-8a+6)=16a3-32a2-8a+40=8(a+1)(2a2-6a+5),

∵2a2-6a+5=2(a-)2+>0,

∴当a>-1时,Δ>0,(*)式有2个解;

当a=-1时,Δ=0,(*)式有1个解;

当a<-1时,Δ<0,(*)式无解.

综上,当a<-1时,圆有0个;

当a=±1时,圆有1个;

当a>-1,且a≠1时,圆有2个.

【解析】本题主要考查抛物线的概念、几何性质,直线与抛物线、圆之间的位置关系等知识,考查数形结合、转化与化归等数学思想,意在考查考生的综合解题能力、运算求解能力.第(1)问通过抛物线的几何性质直接求解;第(2)问是探究性问题,将圆的个数转化为方程根的个数进行求解.

【备注】近几年的高考题中,解析几何一般作为压轴题出现,重点考查椭圆和抛物线的方程、几何性质,直线与圆锥曲线的位置关系以及与定点、定值等有关的综合问题.一般地,第(1)问是求圆锥曲线的方程,属于送分题,千万不要失分;第(2)问一般考查数学思想方法,通常在数形结合下利用坐标,将问题转化为弦长问题、距离问题、方程问题等,一元二次方程根与系数的关系是解决问题的常用工具,要熟练掌握.

21．已知函数f(x)=xlnx+x,g(x)=-(x>0).

(1)讨论f(x)在区间[t,t+e](t>0)上的单调性;

(2)是否存在直线y=b(b∈R),使得函数f(x)与g(x)的图象分别在它的两侧(可相切)?若存在,请求出实数b的值(或取值范围);若不存在,请说明理由.

【答案】(1)f(x)=xlnx+x,f'(x)=lnx+2,

由f'(x)=0得x=.

当0<t<时,在[t,)上,f'(x)<0,在(,t+e]上,f'(x)>0,

因此f(x)在[t,)上单调递减,在(,t+e]上单调递增.

当t≥时,在[t,t+e]上,f'(x)≥0恒成立,

所以f(x)在[t,t+e]上单调递增.

综上所述,当0<t<时,f(x)在[t,)上单调递减,在(,t+e]上单调递增;当t≥时,f(x)在[t,t+e]上单调递增.

(2)f(x)=xlnx+x,f'(x)=lnx+2,由f'(x)=0得x=.

当0<x<时,f'(x)<0,当x>时,f'(x)>0,

所以f(x)在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增,

故f(x)min=f()=-.

而g(x)=-(x>0),g'(x)=,

当0<x<1时,g'(x)>0,当x>1时,g'(x)<0,

所以g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.

所以g(x)max=g(1)=-.

所以f(x)≥-≥g(x),

故函数f(x)与函数g(x)的图象恒在直线y=-的两侧(相切),

所以b=-.

【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、最值等知识,同时对分类讨论、化归与转化等思想进行了深入考查.(1)由于f'(x)=0的根与t的大小关系不确定,故需要分类讨论;(2)注意抓住直线y=b(b∈R)的特殊性(是水平线),所以题目的本质是探究是否存在水平直线,使得f(x)与g(x)的图象一个在上一个在下,故将问题转化为研究两个函数的最大值和最小值即可.

【备注】函数与导数解答题的基本特点是人人能入手,但很少人能够走到最后,设问模式一般有并列小问研究不同侧面和层层递进型两种,研究类型主要有:(1)利用导数研究函数的单调性、极值;(2)利用导数研究不等式恒成立问题或求参数的取值范围;(3)利用导数研究函数零点的个数、图象的位置关系等.在解决这些问题时,恰当构造函数是关键.

22．如图,等腰三角形ABC内接于☉O,AB=AC,MN为☉O在点C处的切线,过点B作MN的平行线,交AC于点E,交☉O于点.

(1)求证:△ABE≌△ACD;

(2)若AB=6,BC=4,求EC的长.

【答案】(1)由已知BD∥MN,MN为☉O在点C处的切线,∴,

∴∠CDB=∠CBD,又同弧所对的圆周角相等,

∴∠CAD=∠CBD,∠CAB=∠CDB,

即∠CAD=∠CAB=∠BAE,

又∠ACD=∠ABE,且AB=AC,因而△ABE≌△ACD.

(2)在△ABC与△BCE中,由(1)知∠CAB=∠CBE,且∠BCE=∠ABC,∴△ABC∽△BCE,则,因而EC=.

【解析】本题考查三角形全等的证明、三角形相似等知识,对考生能力的要求比较高.

23．在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点P的直角坐标为(-3,-),曲线C的极坐标方程为ρ=5,直线l过点P且与曲线C相交于A、B两点.

(1)求曲线C的直角坐标方程;

(2)若|AB|=8,求直线l的直角坐标方程.

【答案】(1)由ρ=5⇒ρ2=25,得x2+y2=25,

即曲线C的直角坐标方程为x2+y2=25.

(2)设直线l的参数方程为(t为参数),①

将参数方程①代入圆的方程x2+y2=25,

得4t2-12(2cosα+sinα)t-55=0,

∴Δ=16[9(2cosα+sinα)2+55]>0,上述方程有两个相异的实数根,设为t1、t2,

∴|AB|=|t1-t2|==8,

化简有3cos2α+4sinαcosα=0,解得cosα=0或tanα=-,

从而可得直线l的直角坐标方程为x+3=0或3x+4y+15=0.

【解析】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线的参数方程的应用,考查考生分析问题、解决问题的能力.第(1)问利用极坐标与直角坐标之间的互化公式即可产生结论;第(2)问利用直线的参数方程中参数的几何意义产生结论.

24．已知函数f(x)=ax2+x-a的定义域为[-1,1].

(1)若f(0)=f(1),解不等式|f(x)-1|<ax+;

(2)若|a|≤1,求证:|f(x)|≤.

【答案】(1)f(0)=f(1),即-a=a+1-a,则a=-1,

∴f(x)=-x2+x+1,

∴不等式化为|-x2+x|<-x+,

①当-1≤x<0时,不等式化为x2-x<-x+,∴-<x<0;

②当0≤x≤1时,不等式化为-x2+x<-x+,∴0≤x<.

综上,原不等式的解集为{x|-<x<}.

(2)由已知x∈[-1,1],∴|x|≤1,又|a|≤1,

则|f(x)|=|a(x2-1)+x|≤|a(x2-1)|+|x|≤|x2-1|+|x|=1-|x|2+|x|=-(|x|-)2+≤ .

【解析】本题考查含有绝对值的不等式的求解及证明,求解过程中,分类讨论思想的运用很关键.

百校联盟2019年全国卷I高考最后一卷（押题卷）文科数学（第二模拟） Word版含解析