解码专训二：几种常见的热门考点

名师点金：一元二次方程题的类型非常丰富，常见的有一元二次方程的根、一元二次方程的解法、一元二次方程根的情况、一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的应用等，只要我们掌握了不同类型题的解法特点，就可以使问题变得简单，明了．

一元二次方程的根

1．(2015·兰州)若一元二次方程ax2－bx－2 015＝0有一根为x＝－1，则a＋b＝________．

2．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1，且a＝＋－2，求的值．

一元二次方程的解法

3．用配方法解方程x2－2x－1＝0时，配方后所得的方程为(　　)

A．(x＋1)2＝0 B．(x－1)2＝0

C．(x＋1)2＝2 D．(x－1)2＝2

4．一元二次方程x2－2x－3＝0的解是(　　)

A．x1＝－1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝－3

C．x1＝－1，x2＝－3 D．x1＝1，x2＝3

5．选择适当的方法解下列方程：

(1)(x－1)2＋2x(x－1)＝0；

(2)x2－6x－6＝0；

(3)6 000(1－x)2＝4 860；

(4)(10＋x)(50－x)＝800；

(5)(中考·山西)(2x－1)2＝x(3x＋2)－7.

一元二次方程根的判别式

6．(2015·河北)若关于x的方程x2＋2x＋a＝0不存在实数根，则a的取值范围是(　　)

A．a＜1 B．a＞1 C．a≤1 D．a≥1

7．在等腰三角形ABC中，三边长分别为a，b，c.其中a＝5，若关于x的方程x2＋(b＋2)x＋(6－b)＝0有两个相等的实数根，求△ABC的周长．

一元二次方程根与系数的关系

8．已知α，β是关于x的一元二次方程x2＋(2m＋3)x＋m2＝0的两个不相等的实数根，且满足＋＝－1，则m的值是(　　)

A．3 B．1

C．3或－1 D．－3或1

9．(2015·南充)已知关于x的一元二次方程(x－1)(x－4)＝p2，p为实数．

(1)求证：方程有两个不相等的实数根．

(2)p为何值时，方程有整数解．(直接写出三个，不需说明理由)．

10．关于x的方程ax2－(3a＋1)x＋2(a＋1)＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且有x1＋x2－x1x2＝1－a，求a的值．

11．设x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋2ax＋a2＋4a－2＝0的两个实数根，当a为何值时，x12＋x22有最小值？最小值是多少？

一元二次方程的应用

12．(2015·乌鲁木齐)某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6 080元的利润，应将销售单价定为多少元？

13．小林准备进行如下操作实验：把一根长为4 cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．

(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，小林该怎么剪？

(2)小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2.”他的说法对吗？请说明理由．

新定义问题

14．(中考·厦门)若x1，x2是关于x的方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根，且|x1|＋|x2|＝2|k|(k是整数)，则称方程x2＋bx＋c＝0为“偶系二次方程”．如方程x2－6x－27＝0，x2－2x－8＝0，x2＋3x－＝0，x2＋6x－27＝0，x2＋4x＋4＝0都是“偶系二次方程”．

判断方程x2＋x－12＝0是否是“偶系二次方程”，并说明理由．

解码专训二

1．2 015　点拨：把x＝－1代入方程中得到a＋b－2 015＝0，即a＋b＝2 015.

2．解：∵a＝＋－2，∴c－4≥0且4－c≥0，即c＝4，则a＝－2.又∵－1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，∴a－b＋c＝0，∴b＝a＋c＝－2＋4＝2.∴原式＝＝0.

3．D　4.A

5．解：(1)(x－1)2＋2x(x－1)＝0，

(x－1)(x－1＋2x) ＝0，

(x－1)(3x－1) ＝0，

x1＝1，x2＝.

(2)x2－6x－6＝0，

∵a＝1，b＝－6，c＝－6，

∴b2－4ac＝(－6)2－4×1×(－6)＝60.

∴x＝＝3±，

∴x1＝3＋，x2＝3－.

(3)6 000(1－x)2＝4 860，

(1－x)2＝ 0.81，

1－x＝ ±0.9，

x1＝1.9，x2＝0. 1.

(4)(10＋x)(50－x)＝800，

x2－40x＋300＝ 0，

　x1＝10，x2＝30.

(5)(2x－1)2＝x(3x＋2)－7，

4x2－4x＋1 ＝3x2＋2x－7，

x2－6x＋8 ＝0，

x1＝2，x2＝4.

6．B

7．解：∵关于x的方程x2＋(b＋2)x＋(6－b)＝0有两个相等的实数根，

∴Δ＝(b＋2)2－4(6－b)＝0，∴b1＝2，b2＝－10(舍去)．

当a为腰时，△ABC周长为5＋5＋2＝12.

当b为腰时，2＋2＜5，不能构成三角形．

∴△ABC的周长为12.

8．A

9．(1)证明：化简方程，得x2－5x＋4－p2＝0.

Δ＝(－5)2－4(4－p2)＝9＋4p2.

∵p为实数，则p2≥0，∴9＋4p2＞0.即Δ＞0，

∴方程有两个不相等的实数根．

(2)解：当p为0，2，－2时，方程有整数解．(答案不唯一)

点拨：(1)先将一元二次方程化为一般形式，由题意得，一元二次方程根的判别式b2－4ac＝(－5)2－4×1×(4－p2)＝9＋4p2，易得，9＋4p2＞0，从而得证．(2)一元二次方程的解为x＝，若方程有整数解，则9＋4p2必须是完全平方数，故当p＝0、2、－2时，9＋4p2分别对应9、25、25，此时方程的解分别为整数．

10．解：由题意，得x1＋x2＝，x1x2＝，∴－＝1－a，∴a2－1＝0，即a＝±1.又∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝[－(3a＋1)]2－4a·2(a＋1)＞0，即(a－1)2＞0，∴a≠1，∴a＝－1.

11．解：∵方程有两个实数根，∴Δ＝(2a)2－4(a2＋4a－2)≥0，∴a≤.

又∵x1＋x2＝－2a，x1x2＝a2＋4a－2，

∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝2(a－2)2－4.

∵a≤，且2(a－2)2≥0，∴当a＝时，x12＋x22的值最小．

此时x12＋x22＝2－4＝，即最小值为.

点拨：本题中考虑Δ≥0从而确定a的取值范围这一过程易被忽略．

12．解：设每件商品降价x元，则售价为每件(60－x)元，每星期的销量为(300＋20x)件．

根据题意，得(60－x－40)(300＋20x)＝6 080.

解得x1＝1，x2＝4.

又要顾客得实惠，故取x＝4，即销售单价为56元．

答：应将销售单价定为56元．

13．解：(1)设剪成的较短的一段为x cm，则较长的一段为(40－x) cm，由题意，得＋＝58，解得x1＝12，x2＝28.当x＝12时，较长的一段为40－12＝28(cm)，当x＝28时，较长的一段为40－28＝12＜28(舍去)．∴较短的一段为12 cm，较长的一段为28 cm.

(2)小峰的说法正确．理由如下：设剪成的较短的一段为m cm，则较长的一段就为(40－m) cm，由题意得＋＝48，变形为m2－40m＋416＝0.∵Δ＝(－40)2－4×416＝－64＜0，∴原方程无实数解，∴小峰的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2.

14．解：不是．理由如下：

解方程x2＋x－12＝0，得x1＝－4，x2＝3.

|x1|＋|x2|＝4＋3＝2×|3.5|.

∵3.5不是整数，

∴方程x2＋x－12＝0不是“偶系二次方程”．

人教版九年级数学上典中点第二十一章解码专训二（含答案）