概率论与数理统计练习题

一、填空题

1、设A、B为随机事件，且P(A)=0.5，P(B)=0.6，P(BA)=0.8，则P(A+B)=__ 0.7 __。

2、的两个 无偏 估计量，若，则称比有效。

3、设A、B为随机事件，且P(A)=0.4, P(B)=0.3, P(A∪B)=0.6，则P()=_0.3__。

4. 设随机变量X服从[0,2]上的均匀分布，Y=2X+1，则D(Y)= 4/3 。

5. 设随机变量X的概率密度是：

，且，则=0.6 。

6. 已知随机向量（X，Y）的联合密度函数，则E(Y)= 3/4 。

7. 若随机变量X ～N (1，4)，Y ～N (2，9)，且X与Y相互独立。设Z＝X－Y＋3，则Z ～ N (2, 13) 。

8. 设A，B为随机事件，且P(A)=0.7，P(A－B)=0.3，则0.6 。

9. 设随机变量X ~ N (1, 4)，已知Φ(0.5)=0.6915，Φ(1.5)=0.9332，则0.6247 。

10. 随机变量X的概率密度函数，则E(X)= 1 。

11. 已知随机向量（X，Y）的联合密度函数，则E(X)= 4/3 。

12. 设A，B为随机事件，且P(A)=0.6, P(AB)= P(), 则P(B)= 0.4 。

13. 设随机变量，其密度函数，则= 2 。

14. 设随机变量X的数学期望EX和方差DX>0都存在，令，则DY= 1 。

15. 随机变量X与Y相互独立，且D(X)=4，D(Y)=2，则D(3X －2Y )＝ 44。

16. 三个人独立地向某一目标进行射击，已知各人能击中的概率分别为，则目标能被击中的概率是3/5 。

17. 设随机变量X ～N (2，)，且P{2 < X <4}＝0.3，则P{X < 0}＝0.2 。

18. 设随机变量的概率分布为，则的期望EX= 2.3。

19. 设(X, Y)的联合概率分布列为

若X、Y相互独立，则a = 1/6 ，b = 1/9 。

20. 设随机变量X服从[1，5]上的均匀分布，则1/2 。

21. 设随机变量X～N (1，4)，则＝ 0.3753 。（已知(0.5)=0.6915，(1.5)=0.9332）

22. 若随机变量X～N (0，4)，Y～N (－1，5)，且X与Y相互独立。设Z＝X＋Y－3，则Z ～ N (－4，9) 。

23. 设随机变量X服从参数为的泊松分布，且，则= 6 。

24. 设随机变量X的概率分布为

则= 0.7 。

25. 设随机变量X的概率密度函数，则=

26. 某人投篮，每次命中率为0.7，现独立投篮5次，恰好命中4次的概率是

27. 设随机变量X的密度函数，且，则c = -2 。

28. 随机变量，则N(0,1) 。

29. 设随机变量X～N (2，9)，且P{ X a }= P{ X a }，则a＝ 2 。

30. 称统计量的无偏估计量，如果= θ

二、选择题

1．设随机事件与互不相容，且，则（ D ）。

Ａ.　 　 B.　　Ｃ.　 Ｄ.

2．将两封信随机地投入四个邮筒中，则未向前面两个邮筒投信的概率为（ A ）。

A. B. C.　 D.

3．设随机变量，满足，是的分布函数，则对任意实数有（　B　 ）。

A. B. C. D.

4．设，为随机事件，，，则必有（A ）。

A.　 B. C. D.

注：答案应该为A, 因B不严谨，A和B可以相等。

5．设是来自总体的一个简单随机样本，则最有效的无偏估计是( A )。

A. B. C. D.

6．、已知A、B、C为三个随机事件，则A、B、C不都发生的事件为（A）。

A. 　B. C.　A+B+C 　D. ABC

7．是二维随机向量，与不等价的是（ D ）

A. B. C. D.和相互独立

8．设总体，其中未知，为来自总体的样本，样本均值为，样本方差为， 则下列各式中不是统计量的是（ C ）。

A. B. C. D.

9．若随机事件与相互独立，则＝（ B ）。

A. B.　　C. D.

10．若A与B对立事件，则下列错误的为（ A ）。

A. B. C. D.

11．设随机事件A、B互不相容，，则＝（ C ）。

A. B. C. D.

12．设是一组样本观测值，则其标准差是（ B ）。

A.　 B. C. 　 D.

13．设随机变量X ～N(μ，9)，Y ～N(μ，25)，记，则（ B ）。

A. p1<p2 B. p1＝p2 C. p1>p2 D. p1与p2的关系无法确定

14．若事件两两独立，则下列结论成立的是（ B ）。

A.相互独立 B.两两独立

C. D.相互独立

15．设随机变量XN(4,9)，则（ ）

（A） （B） （C） （D）以上都不是

三、计算题

1．已知连续型随机变量X的概率密度为

求（1）a；（2）X的分布函数F (x)；（3）P ( X >0.25)。

解：

(3) P（X>1/4）=1—F(1/4)=7/8

2．已知连续型随机变量X的分布函数为

求（1）A，B； （2）密度函数f (x)；（3）P (1<X<2 )。

解：

(3) P（1）=F(2)—F(1)=

3．设随机向量（X，Y）联合密度为

f(x, y)=

（1） 求系数A；

（2） 判断X，Y是否独立，并说明理由；

（3） 求P{ 0≤X≤2，0≤Y≤1}。

解：（1）由1＝＝

可得A＝6。

（2）因（X，Y）关于X和Y的边缘概率密度分别为

fX (x)＝ 和 fY (y)＝，

则对于任意的均成立f (x, y)= fX (x)* fY (y)，所以X与Y独立。

（3）P{ 0≤X≤2，0≤Y≤1}＝

＝

4．某车间生产滚珠，其直径X ～N (, 0.05)，从某天的产品里随机抽出9个量得直径如下（单位：毫米 ）：

14.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.1 14.8 15.0 14.7

若已知该天产品直径的方差不变，试找出平均直径的置信度为0.95的置信区间。

解：由于滚珠的直径X服从正态分布,所以 　

所以的置信区间为： 经计算 　

的置信度为0.95的置信区间为

　　　 即(14.765，15.057)

5．工厂生产一种零件,其口径X(单位:毫米)服从正态分布,现从某日生产的零件中随机抽出9个,分别测得其口径如下:

14.6 14.7 15.1 14.9 14.8 15.0 15.1 15.2 14.7

已知零件口径X的标准差，求的置信度为0.95的置信区间。 　

解：由于零件的口径服从正态分布,所以 　

所以的置信区间为： 经计算

的置信度为0.95的置信区间为 即(14.802 ,14.998)

6．设总体X服从参数为的指数分布，是一组样本值，求参数的最大似然估计。

解：

7．已知，求。

已知，求。

解：

-

8．设总体的概率分布为

其中是未知参数，利用总体的如下样本值：，求的矩估计值和极大似然估计值.

（1）

令,可得的矩估计量为

根据给定的样本观察值计算，因此的矩估计值； -------4分

（2）对于给定的样本值似然函数为 -------6分

令

可得的极大似然估计值 -------10分

9．(10分)设总体的概率密度为(为未知的参数)，而为总体的一个样本。试求未知参数的矩估计量和极大似然估计量。

解：(1)

令 ………5分

（2）似然函数为：

………10分

说明：

1． 以书为本，认真复习，要熟悉公式及应用。

2． 练习题的目的只是让大家熟悉题型，与本习题集中完全相同的题在期末试卷中不会出现。

3． 数学贵在理解后运用，不可取巧！

概率论与数理统计练习题