正方形的性质及判定

知识归纳

1．正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．

2．正方形的性质

正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质：

① 边的性质：对边平行，四条边都相等．

② 角的性质：四个角都是直角．

③ 对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角．

word/media/image1_1.png④ 对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形．

平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图）

3．正方形的判定

判定①：有一组邻边相等的矩形是正方形．

判定②：有一个角是直角的菱形是正方形．

4．重点：知晓正方形的性质和正方形的判定方法。

难点：正方形知识的灵活应用

例题讲解

一、正方形的性质

例1：如图，已知正方形的面积为，点在上，点在的延长线上，且，则的长为

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变式1：如图，在正方形中，为边的中点，，分别为，边上的点，若，，，则的长为 ．

变式2：将个边长都为的正方形按如图所示摆放，点分别是正方形的中心，则个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为

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例2：如图，是正方形对角线上的一点，求证：．

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变式1：如图，为正方形对角线上一点，于，于.求证：.

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例3：如图，已知是正方形内的一点，且为等边三角形，那么

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word/media/image35_1.png变式1：如图，已知、分别是正方形的边、上的点，、分别与对角线相交于、，若，

则 ．

变式2：如图，四边形为正方形，以为边向正方形外作正方形，与相交于点，则

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例4：如图，正方形的边在正方形的边上，连接，求证：.

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变式1：如图，在正方形中，为边上的一点，为延长线上的一点，，，求的度数.

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变式2：已知：如图，在正方形中，是上一点，延长到，使，连接并延长交于．

（1）求证：；

（2）将绕点顺时针旋转得到，判断四边形是什么特殊四边形？并说明理由．

例5：若正方形的边长为，为边上一点，，为线段上一点，射线交正方形的一边于点，且，则的长为 ．

变式1：如图1，在正方形中，、、、分别为边、、、上的点，，连接、，交点为．

⑴ 如图2，连接，试判断四边形的形状，并证明你的结论；

⑵ 将正方形沿线段、剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个

四边形．若正方形的边长为，，则图3中阴影部分的面积为_________．

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变式2：如图，正方形对角线相交于点，点、分别是、上的点，，求证：（1）；（2）.

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例6：如图，正方形中，是边上两点，且于，求证：

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变式1：如图，点分别在正方形的边上，已知的周长等于正方形周长的一半，求的度数

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变式2：如图，设正方形的对角线，在延长线上取一点，使，与交于，求证：正方形的边长．

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例7：把正方形绕着点，按顺时针方向旋转得到正方形，边与交于点（如图）．试问线段与线段相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．

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变式1：如图所示，在直角梯形中，，，是的垂直平分线，交于点，以腰为边作正方形，作于点，求证.

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二、正方形的判定

例1：四边形的四个内角的平分线两两相交又形成一个四边形，求证：

⑴四边形对角互补；

⑵若四边形为平行四边形，则四边形为矩形．

⑶四边形为长方形，则四边形为正方形．

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变式1：如图，已知平行四边形中，对角线、交于点，是延长线上的点，且是等边三角形．

⑴ 求证：四边形是菱形；

⑵ 若，求证：四边形是正方形．

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变式2：已知：如图，在中，，，垂足为点，是外角的平分线，，垂足为点．

⑴ 求证：四边形为矩形；

⑵ 当满足什么条件时，四边形是一个正方形？并给出证明．

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例2：如图，是边长为的正方形，是内接于的正方形，，若则=

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例3：如图，若在平行四边形各边上向平行四边形的外侧作正方形，求证：以四个正方形中心为顶点组成一个正方形．

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附加题：

1. 如图，在线段上，和都是正方形，面积分别为和，则的面积为

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2. 如图，在正方形中，、分别是、的中点，求证：．

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3. 如图，正方形中，是对角线的交点，过点作，分别交于，若，则

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4. 如图所示，是正方形，为上的一点，四边形恰好是一个菱形，则______.

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正方形经典题型（培优提高）