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第1课时　双曲线的几何性质

学习目标　1.了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题．

知识点一　双曲线的性质

知识点二　等轴双曲线

思考　求下列双曲线的实半轴长、虚半轴长，并分析其共同点．

(1)x2－y2＝1；(2)4x2－4y2＝1.

答案　(1)的实半轴长1，虚半轴长1

(2)的实半轴长，虚半轴长.

它们的实半轴长与虚半轴长相等．

梳理　实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为.

(1)双曲线－＝1与－＝1(a＞0，b＞0)的形状相同．(√)

(2)双曲线－＝1与－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线相同．(×)

(3)等轴双曲线的渐近线方程与双曲线方程有关．(×)

(4)离心率是的双曲线为等轴双曲线．(√)

类型一　双曲线的性质

例1　求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．

考点　双曲线的简单几何性质

题点　由双曲线方程求a，b，c及渐近线

解　双曲线的方程化为标准形式是－＝1，

∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝.

又双曲线的焦点在x轴上，

∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)，

焦点坐标为(－，0)，(，0)，

实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，离心率e＝＝，

渐近线方程为y＝±x.

引申探究

求双曲线nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．

解　把方程nx2－my2＝mn(m>0，n>0)化为标准方程为－＝1(m>0，n>0)，

由此可知，实半轴长a＝，

虚半轴长b＝，c＝，

焦点坐标为(，0)，(－，0)，

离心率e＝＝＝，

顶点坐标为(－，0)，(，0)，

所以渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.

反思与感悟　由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤

(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键．

(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值．

(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质．

跟踪训练1　求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．

考点　双曲线的简单几何性质

题点　由双曲线方程求a，b，c及渐近线

解　把方程9y2－16x2＝144化为标准方程为

－＝1.

由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3；

c＝＝＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)；

离心率e＝＝；渐近线方程为y＝±x.

类型二　由双曲线的性质求标准方程

例2　(1)已知双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为(　　)

A.－＝1 B.－＝1

C.－＝1 D.－＝1

考点　双曲线的简单几何性质

题点　由双曲线方程求a，b，c及渐近线

答案　B

解析　由已知，得双曲线的焦点在y轴上，

从而可设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)．

∵一个顶点为(0,2)，∴a＝2.

又实轴长与虚轴长之和等于焦距的倍，

∴2a＋2b＝2c.

又a2＋b2＝c2，∴b2＝4，

∴所求双曲线的方程为－＝1.

(2)求与双曲线－＝1有共同的渐近线，并且经过点A(2，－3)的双曲线的方程．

考点　双曲线的简单几何性质

题点　由双曲线方程求a，b，c及渐近线

解　双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x.

当所求双曲线的焦点在x轴上时，

设所求双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)．

因为＝，所以b＝a.①

因为点A(2，－3)在所求双曲线上，所以－＝1.②

联立①②得方程组无解．

当所求双曲线的焦点在y轴上时，

设所求双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，

因为＝，所以a＝b.③

因为点A(2，－3)在所求双曲线上，所以－＝1.④

由③④，得a2＝，b2＝4，

所以所求双曲线的方程为－＝1.

反思与感悟　(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式．

(2)巧设双曲线方程的六种方法与技巧

①焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为－＝1(a>0，b>0)．

②焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为－＝1(a>0，b>0)．

③与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(λ≠0，－b2<λ<a2)．

④与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．

⑤渐近线为y＝kx的双曲线方程可设为k2x2－y2＝λ(λ≠0)．

⑥渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．

跟踪训练2　(1)求与双曲线－＝1有共同的渐近线，且经过点M(3，－2)的双曲线的标准方程；

(2)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝，过点A(0，－b)和B(a,0)的直线与原点的距离为，求此双曲线的标准方程．

考点　由双曲线的简单几何性质求方程

题点　已知双曲线的焦距、渐近线求双曲线的方程

解　(1)设所求双曲线的方程为－＝λ(λ≠0)．

∵点M(3，－2)在双曲线上，

∴－＝λ，即λ＝－2.

∴双曲线的标准方程为－＝1.

(2)∵e＝，∴＝，∴＝，∴a2＝3b2.①

又∵直线AB的方程为bx－ay－ab＝0，

∴d＝＝，即4a2b2＝3(a2＋b2)．②

解①②组成的方程组，得a2＝3，b2＝1.

∴双曲线的标准方程为－y2＝1.

类型三　求双曲线的离心率

例3　已知F1，F2是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率．

考点　双曲线的离心率与渐近线

题点　求双曲线的离心率

解　设F1(c,0)，将x＝c代入双曲线的方程得－＝1，

那么y＝±.

由|PF2|＝|QF2|，∠PF2Q＝90°，知|PF1|＝|F1F2|，

所以＝2c，所以b2＝2ac，

所以c2－2ac－a2＝0，所以2－2×－1＝0，

即e2－2e－1＝0，

所以e＝1＋或e＝1－(舍去)，

所以双曲线的离心率为1＋.

反思与感悟　求双曲线离心率的三种方法：

(1)若可求得a，c，则直接利用e＝求解．

(2)若已知a，b，可直接利用e＝求解．

(3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解．

跟踪训练3　设双曲线－＝1(b＞a＞0)的焦距为2c，直线l过点A(a,0)，B(0，b)两点，已知原点到直线l的距离为c，则双曲线的离心率为________．

考点　双曲线的离心率与渐近线

题点　求双曲线的离心率

答案　2

解析　如图所示，在△OAB中，

|OA|＝a，|OB|＝b，|OE|＝c，

|AB|＝＝c.

因为|AB|·|OE|＝|OA|·|OB|，

所以c·c＝ab，即(a2＋b2)＝ab，

两边同除以a2，得2－＋＝0，

解得＝或＝(舍去)，

所以e＝＝＝＝2.

1．已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则(　　)

A．实轴长为4，虚轴长为2

B．实轴长为8，虚轴长为4

C．实轴长为2，虚轴长为4

D．实轴长为4，虚轴长为8

考点　双曲线的简单几何性质

题点　由双曲线方程求a，b，c

答案　B

解析　双曲线方程x2－8y2＝32化为标准方程为－＝1，可得a＝4，b＝2，所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为4.

2．下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±x的是(　　)

A．x2－＝1 B．－y2＝1

C．－x2＝1 D．y2－＝1

考点　由双曲线的简单几何性质求方程

题点　已知双曲线的焦距、渐近线求双曲线的方程

答案　D

解析　从选项知，焦点在y轴上的双曲线有－x2＝1与y2－＝1，而－x2＝1的渐近线方程是y＝±2x，y2－＝1的渐近线方程是y＝±x，故选D.

3．(2017·浙江余姚中学期中)设F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是双曲线C的右支上的点，射线PT平分∠F1PF2，过原点O作PT的平行线交PF1于点M，若|MP|＝|F1F2|，则双曲线C的离心率为(　　)

A.B．3C.D.

答案　A

4．与双曲线－＝1共渐近线且经过点M(2，6)的双曲线的标准方程为__________．

答案　－＝1

解析　设双曲线的标准方程为－＝t(t≠0)，

又经过点M(2，6)，

∴－＝t，即t＝2，

故所求双曲线的标准方程为－＝1.

5．已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6)．当△APF周长最小时，该三角形的面积为________．

考点　双曲线的简单几何性质

题点　由双曲线方程研究其他问题

答案　12

解析　设左焦点为F1，|PF|－|PF1|＝2a＝2，

∴|PF|＝2＋|PF1|，△APF的周长为|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋|AP|＋2＋|PF1|，△APF周长最小即为|AP|＋|PF1|最小，当A，P，F1在一条直线上时最小，过AF1的直线方程为＋＝1，与x2－＝1联立，解得P点坐标为(－2,2)，此时S＝－＝12.

1．随着x和y趋向于无穷大，双曲线将无限地与渐近线接近，但永远没有交点；由渐近线方程可确定a与b或b与a的比值，但无法确定焦点位置．

2．求渐近线的方程，常把双曲线的方程右边的常数写成0，分解因式即得渐近线方程，若已知渐近线方程mx＋ny＝0，求双曲线的方程，常将双曲线的方程设为－＝λ(λ≠0)求解．

3．与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的双曲线系的方程可设为－＝λ(λ≠0，a＞0，b＞0).

一、选择题

1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是(　　)

A．2B．2C．4D．4

考点　双曲线的简单几何性质

题点　由双曲线方程求a，b，c及渐近线

答案　C

解析　将双曲线化成标准形式为－＝1，得2a＝4.

2．若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则其渐近线方程为(　　)

A．y＝±2x B．y＝±x

C．y＝±x D．y＝±x

考点　双曲线的离心率与渐近线

题点　渐近线与离心率的关系

答案　B

解析　由e＝＝＝，得2＝2.

故渐近线方程为y＝±x，故选B.

3．设F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为(　　)

A. B.

C. D.

考点　双曲线的简单几何性质

题点　求双曲线的离心率

答案　C

解析　不妨设|PF1|＞|PF2|，则|PF1|－|PF2|＝2a，

又|PF1|＋|PF2|＝6a，解得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，

则∠PF1F2是△PF1F2的最小内角，为30°，

∴|PF2|2＝|PF1|2＋|F2F1|2－2|PF1||F2F1|cos 30°，

∴(2a)2＝(4a)2＋(2c)2－2×4a×2c×，

化为e2－2e＋3＝0，解得e＝.

4．设双曲线＋＝1的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为(　　)

A．－4B．－3C．2D．1

考点　双曲线的简单几何性质

题点　由双曲线方程求a，b，c及渐近线

答案　A

解析　∵方程表示双曲线，

∴a<0，标准方程为－＝1，

∴渐近线方程为y＝±x，

∴＝，解得a＝－4.

5．等轴双曲线的一个焦点是F1(－6,0)，则其标准方程为(　　)

A.－＝1 B.－＝1

C.－＝1 D.－＝1

考点　由双曲线的简单几何性质求方程

题点　已知双曲线的焦距求方程

答案　D

解析　∵等轴双曲线的一个焦点为F1(－6,0)，∴c＝6，

∴2a2＝36，a2＝18，

∴双曲线的标准方程为－＝1.

6．(2017·浙江名校联盟联考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l与双曲线右支交于A，B两点(B在第四象限)，若△ABF1是B为直角顶点的等腰直角三角形，设该双曲线的离心率为e，则e2为(　　)

A．5－2 B．5＋2

C．4＋2 D．4－2

答案　A

7．设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，过点F且斜率为－1的直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，若＝－3，则双曲线C的离心率e等于(　　)

A.B.C.D.

考点　双曲线的简单几何性质

题点　求双曲线的离心率

答案　D

解析　设F(c,0)，则过双曲线：－＝1(a>0，b>0)的右焦点F且斜率为－1的直线l的方程为y＝－(x－c)，

而渐近线方程是y＝±x，

由得B，

由得A，

＝，

＝，

由＝－3，

得＝－3，

则＝－3·，

即b＝a，

则c＝＝a，

则e＝＝，故选D.

二、填空题

8．(2017·嘉兴一中期末)双曲线C：x2－4y2＝1的焦距是________，双曲线C的渐近线方程是__________．

答案　　y＝±x

9．已知双曲线y2－＝1(m＞0)的离心率e∈(1,2)，则m的取值范围是________．

考点　双曲线的离心率与渐近线

题点　双曲线离心率的取值范围

答案　(0,3)

解析　由双曲线y2－＝1(m＞0)知，a＝1，b＝，

所以e＝＝，

又e∈(1,2)，所以1＜＜2，解得0＜m＜3.

10．(2017·金华一中月考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为______________．

答案　y＝±2x

11．过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F(－c,0)(c＞0)作圆x2＋y2＝的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若＝(＋)，则双曲线的离心率为________．

考点　双曲线的简单几何性质

题点　求双曲线离心率

答案　

解析　如图，设双曲线的右焦点为M，连接PM.

∵OE⊥PF，∴在Rt△OEF中，

|EF|＝.

又＝(＋)，

∴E是PF的中点，

∴|PF|＝2|EF|＝2 ，

|PM|＝2|OE|＝a.

由双曲线的定义知，|PF|－|PM|＝2a，

∴2 －a＝2a，

∴e＝＝.

三、解答题

12．已知双曲线的一条渐近线为x＋y＝0，且与椭圆x2＋4y2＝64有相同的焦距，求双曲线的标准方程．

考点　由双曲线的简单几何性质求方程

题点　已知双曲线的焦距、渐近线求双曲线的方程

解　椭圆方程为＋＝1，可知椭圆的焦距为8.

①当双曲线的焦点在x轴上时，

设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，

∴解得

∴双曲线的标准方程为－＝1；

②当双曲线的焦点在y轴上时，

设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，

∴　解得

∴双曲线的标准方程为－＝1.

由①②可知，双曲线的标准方程为

－＝1或－＝1.

13．已知点A(0,1)，点P在双曲线C：－y2＝1上．

(1)当|PA|最小时，求点P的坐标；

(2)过点A的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于M，N两点，O为坐标原点，若△OMN的面积为2，求直线l的方程．

考点　双曲线的简单几何性质

题点　由双曲线方程研究其他问题

解　(1)设P(x，y)，则|PA|＝

＝＝，

当y＝时，|PA|最小，

故所求点P的坐标为.

(2)由题知直线l的斜率存在，故可设l的方程为y＝kx＋1，

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，与双曲线方程联立得

(1－2k2)x2－4kx－4＝0，

则Δ＝16(1－k2)＞0且＜0，即k2＜.

由根与系数的关系得x1＋x2＝，x1x2＝，

∴|x1－x2|＝＝，

S△OMN＝×1×|x1－x2|＝·＝2，

解得k2＝或k2＝(舍去)，即k＝±，

∴l的方程为x－2y＋2＝0或x＋2y－2＝0.

四、探究与拓展

14．已知F1，F2分别是双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为(　　)

A. B.

C. D．2

考点　双曲线的简单几何性质

题点　求双曲线的离心率

答案　A

解析　因为MF1与x轴垂直，所以|MF1|＝.

又sin∠MF2F1＝，所以＝，

即|MF2|＝3|MF1|.

由双曲线的定义，得2a＝|MF2|－|MF1|＝2|MF1|＝，

所以b2＝a2，

所以c2＝b2＋a2＝2a2，

所以离心率e＝＝.

15．已知双曲线C：－y2＝1(a＞0)，直线l：x＋y＝1，双曲线C与直线l有两个不同交点A，B，直线l与y轴交点为P.

(1)求离心率e的取值范围；

(2)若＝，求a的值．

考点　双曲线的简单几何性质

题点　由双曲线方程研究其他问题

解　(1)由双曲线C与直线l相交于两个不同的点，得

方程组有两个不同的解，

消去y并整理，得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0，①

∴

解得－＜a＜且a≠±1.

又∵a＞0，∴0＜a＜且a≠1.

∵双曲线的离心率e＝＝，

∵0＜a＜且a≠1，

∴e＞且e≠，

∴双曲线C的离心率e的取值范围是∪(，＋∞)．

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易得P(0,1)．

∵＝，

∴(x1，y1－1)＝(x2，y2－1)，

由此可得x1＝x2.

∵x1，x2都是方程①的根，且1－a2≠0，

∴x1＋x2＝x2＝－.

x1x2＝x＝－，

消去x2得－＝，即a2＝.

又∵a＞0，∴a＝.

（浙江专版）2018 - 2019高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2第1课时抛物线及其标准方程学案新人教A版选修2 - 1