2015-2016学年湖北省武汉外国语学校高二（上）期末数学试卷（文科）

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．已知命题P：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是正数，则下列命题中为真命题的是（　　）

A．（￢p）∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q） D．（￢p）∨（￢q）

2．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（　　）

A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石

3．“方程表示双曲线”的一个充分不必要条件是（　　）

A．﹣2＜m＜﹣1 B．m＜﹣2或m＞﹣1 C．m＜0 D．m＞0

4．设y∈R，则点P（1，y，2）的集合为（　　）

A．垂直于xOz平面的一条直线 B．平行于xOz平面的一条直线；

C．垂直于y轴的一个平面 D．平行于y轴的一个平面

5．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（　　）

A．11 B．12 C．13 D．14

6．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（　　）

A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8

7．已知x与y之间的几组数据如下表：

假设根据上表数据所得线性回归直线方程为=x+中的前两组数据（1，0）和（2，2）求得的直线方程为y=b′x+a′，则以下结论正确的是（　　）

A．＞b′，＞a′ B．＞b′，＜a′ C．＜b′，＞a′ D．＜b′，＜a′

8．将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b（a≠b）同时增加m（m＞0）个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（　　）

A．对任意的a，b，e1＞e2

B．当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2

C．对任意的a，b，e1＜e2

D．当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2

9．某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以组距为5将数据分组成[0，5），[5，10），…，[30，35），[35，40]时，所作的频率分布直方图是（　　）

A． B． C． D．

10．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（　　）

A．08 B．07 C．02 D．01

11．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（　　）

A．0 B．2 C．4 D．14

12．椭圆x2+=1短轴的左右两个端点分别为A，B，直线l过定点（0，1）交椭圆于两点C，D．设直线AD，CB的斜率分别为k1，k2，若k1：k2=2：1，则直线l斜率k的值为（　　）

A．k=2 B．k=3 C．.k=或3 D．k=2或

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见表（单位：人）．则x=　　　　　　，y=　　　　　　；

若从高校B，C抽取的人中选2人作专题发言，则这2人都来自高校C的概率=　　　　　　．

14．一只蚂蚁在边长为4的正三角形内爬行，某时刻此蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过1的概率为　　　　　　．

15．已知双曲线C：﹣=1，若存在过右焦点F的直线与双曲线C相交于A、B两点，且=3，则双曲线C的离心率的最小值为　　　　　　．

16．以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B．现有如下命题：

①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”；

②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；

③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B．

④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B．

其中的真命题有　　　　　　．（写出所有真命题的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．已知P：2x2﹣9x+a＜0，q：且¬p是¬q的充分条件，求实数a的取值范围．

18．某学校共有高一、高二、高三学生2000名，各年级男、女人数如图：已知在全校学生中随机抽取1名，抽取高二年级女生的概率是0.19．

（1）求x的值；

（2）现用分层抽样的方法在全校抽取60名学生，问应在高三年级抽取多少名？

（3）已知y≥245，z≥245，求高三年级中女生比男生多的概率．

19．已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d的图象过点P（0，2），且在点M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为6x﹣y+7=0．

（1）求函数y=f（x）的解析式；

（2）求函数y=f（x）的单调区间．

20．已知圆C1：x2+y2+6x﹣4=0，圆C2：x2+y2+6y﹣28=0．

（1）求过这两个圆交点的直线方程；

（2）求过这两个圆交点并且圆心在直线x﹣y﹣4=0上的圆的方程．

21．我们把由半椭圆（x≥0）与半椭圆（x≤0）合成的曲线称作“果圆”，其中a2=b2+c2，a＞0，b＞c＞0．如图，点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2分别是“果圆”与x，y轴的交点．

（1）若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；

（2）当|A1A2|＞|B1B2|时，求的取值范围．

22．已知函数

f（x）=（cosx﹣x）（π+2x）﹣（sinx+1）

g（x）=3（x﹣π）cosx﹣4（1+sinx）ln（3﹣）

证明：

（Ⅰ）存在唯一x0∈（0，），使f（x0）=0；

（Ⅱ）存在唯一x1∈（，π），使g（x1）=0，且对（Ⅰ）中的x0，有x0+x1＜π．

2015-2016学年湖北省武汉外国语学校高二（上）期末数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．已知命题P：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是正数，则下列命题中为真命题的是（　　）

A．（￢p）∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q） D．（￢p）∨（￢q）

【考点】复合命题的真假．

【分析】由命题P：所有有理数都是实数，是真命题，命题q：正数的对数都是正数，是假命题，知￢p是假命题，￢q是真命题，由此能求出结果．

【解答】解：∵命题P：所有有理数都是实数，是真命题，

命题q：正数的对数都是正数，是假命题，

∴￢p是假命题，￢q是真命题，

∴（￢p）∨q是假命题，p∧q是假命题，

（￢p）∧（￢q）是假命题，（￢p）∨（￢q）是真命题，

故选D．

2．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（　　）

A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石

【考点】随机抽样和样本估计总体的实际应用．

【分析】根据254粒内夹谷28粒，可得比例，即可得出结论．

【解答】解：由题意，这批米内夹谷约为1534×≈169石，

故选：B．

3．“方程表示双曲线”的一个充分不必要条件是（　　）

A．﹣2＜m＜﹣1 B．m＜﹣2或m＞﹣1 C．m＜0 D．m＞0

【考点】双曲线的标准方程；充要条件．

【分析】先计算方程表示双曲线的充要条件，再求出它的一个真子集即可．

【解答】解：若方程表示双曲线，则（2+m）（1+m）＞0

∴m＜﹣2或m＞﹣1

∴要求“方程表示双曲线”的一个充分不必要条件，则需要找出它的一个真子集即可

∵m＞0时，m＜﹣2或m＞﹣1，结论成立，反之不成立

∴“方程表示双曲线”的一个充分不必要条件是m＞0

故选D．

4．设y∈R，则点P（1，y，2）的集合为（　　）

A．垂直于xOz平面的一条直线 B．平行于xOz平面的一条直线；

C．垂直于y轴的一个平面 D．平行于y轴的一个平面

【考点】空间直线的向量参数方程．

【分析】由题意及空间几何坐标系的坐标的意义，点P（1，y，2）的集合表示横、竖坐标不变，而纵坐标变化的点的集合，由此结合四个选项可以选出正确选项

【解答】解：点P（1，y，2）的集合为横、竖坐标不变，而纵坐标变化的点的集合，

由空间直角坐标的意义知，点P（1，y，2）的集合为垂直于xOz平面的一条直线

故选A

5．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（　　）

A．11 B．12 C．13 D．14

【考点】系统抽样方法．

【分析】根据系统抽样方法，从840人中抽取42人，那么从20人抽取1人．从而得出从编号481～720共240人中抽取的人数即可．

【解答】解：使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人．

所以从编号1～480的人中，恰好抽取=24人，接着从编号481～720共240人中抽取=12人．

故：B．

6．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（　　）

A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8

【考点】茎叶图．

【分析】求乙组数据的平均数就是把所有乙组数据加起来，再除以5．找甲组数据的中位数要把甲组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数为中位数．据此列式求解即可．

【解答】解：乙组数据平均数=（9+15+18+24+10+y）÷5=16.8；

∴y=8；

甲组数据可排列成：9，12，10+x，24，27．所以中位数为：10+x=15，

∴x=5．

故选：C．

7．已知x与y之间的几组数据如下表：

假设根据上表数据所得线性回归直线方程为=x+中的前两组数据（1，0）和（2，2）求得的直线方程为y=b′x+a′，则以下结论正确的是（　　）

A．＞b′，＞a′ B．＞b′，＜a′ C．＜b′，＞a′ D．＜b′，＜a′

【考点】线性回归方程．

【分析】由表格总的数据可得n，，，进而可得，和，代入可得，进而可得，再由直线方程的求法可得b′和a′，比较可得答案．

【解答】解：由题意可知n=6， ===， ==，

故=91﹣6×=22， =58﹣6××=，

故可得==， ==﹣×=，

而由直线方程的求解可得b′==2，把（1，0）代入可得a′=﹣2，

比较可得＜b′，＞a′，

故选C

8．将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b（a≠b）同时增加m（m＞0）个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（　　）

A．对任意的a，b，e1＞e2

B．当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2

C．对任意的a，b，e1＜e2

D．当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】分别求出双曲线的离心率，再平方作差，即可得出结论．

【解答】解：由题意，双曲线C1：c2=a2+b2，e1=；

双曲线C2：c′2=（a+m）2+（b+m）2，e2=，

∴=﹣=，

∴当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2，

故选：D．

9．某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以组距为5将数据分组成[0，5），[5，10），…，[30，35），[35，40]时，所作的频率分布直方图是（　　）

A． B． C． D．

【考点】频率分布直方图；茎叶图．

【分析】根据题意，由频率与频数的关系，计算可得各组的频率，进而可以做出频率分布表，结合分布表，进而可以做出频率分布直方图．

【解答】解：根据题意，频率分布表可得：

进而可以作频率直方图可得：

故选：A．

10．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（　　）

A．08 B．07 C．02 D．01

【考点】简单随机抽样．

【分析】从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，依次为65，72，08，02，63，14，07，02，43，69，97，28，01，98，…，其中08，02，14，07，01符合条件，故可得结论．

【解答】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，

第一个数为65，不符合条件，第二个数为72，不符合条件，

第三个数为08，符合条件，

以下符合条件依次为：08，02，14，07，01，

故第5个数为01．

故选：D．

11．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（　　）

img/image110.png

A．0 B．2 C．4 D．14

【考点】程序框图．

【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．

【解答】解：由a=14，b=18，a＜b，

则b变为18﹣14=4，

由a＞b，则a变为14﹣4=10，

由a＞b，则a变为10﹣4=6，

由a＞b，则a变为6﹣4=2，

由a＜b，则b变为4﹣2=2，

由a=b=2，

则输出的a=2．

故选：B．

12．椭圆x2+=1短轴的左右两个端点分别为A，B，直线l过定点（0，1）交椭圆于两点C，D．设直线AD，CB的斜率分别为k1，k2，若k1：k2=2：1，则直线l斜率k的值为（　　）

A．k=2 B．k=3 C．.k=或3 D．k=2或

【考点】椭圆的简单性质．

【分析】求得AMB的坐标，设C（x1，y1），D（x2，y2），直线l：y=kx+1，运用直线的斜率公式，可得=2，由题设知y12=4（1﹣x12），y22=4（1﹣x22），由此推出3x1x2+5（x1+x2）+3=0，所以3k2﹣10k+3=0，由此可推导出k的值．

【解答】解：由题意可得A（﹣1，0），B（1，0），

设C（x1，y1），D（x2，y2），直线l：y=kx+1，

代入椭圆方程得（4+k2）x2+2kx﹣3=0，

△=4k2+12（4+k2）=16k2+48，

x1+x2=﹣，x1x2=﹣，

k1=，k2=，k1：k2=2：1，

所以=2，

平方，结合x12+=1，所以y12=4（1﹣x12），

同理y22=4（1﹣x22），代入上式，

计算得=4，即3x1x2+5（x1+x2）+3=0，

所以3k2﹣10k+3=0，解得k=3或k=，

因为=2，x1，x2∈（﹣1，1），

所以y1，y2异号，故舍去k=，

所以k=3．

故选：B．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见表（单位：人）．则x=　1　，y=　3　；

若从高校B，C抽取的人中选2人作专题发言，则这2人都来自高校C的概率=　　．

【考点】频率分布表．

【分析】由已知得，由此能求出x=1，y=3，从高校B，C抽取的人中选2人作专题发言，基本事件总数n==10，这2人都来自高校C包含基本事件个数m==3，由此能求出这2人都来自高校C的概率．

【解答】解：由已知得，

解得x=1，y=3，

从高校B，C抽取的人中选2人作专题发言，

基本事件总数n==10，

这2人都来自高校C包含基本事件个数m==3，

∴这2人都来自高校C的概率：p=．

故答案为：1，3，．

14．一只蚂蚁在边长为4的正三角形内爬行，某时刻此蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过1的概率为　1﹣　．

【考点】几何概型．

【分析】根据题意，记“蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过1”为事件A，则其对立事件为“蚂蚁与三角形的三个顶点的距离不超过1”，先求得边长为4的等边三角形的面积，再计算事件构成的区域面积，由几何概型可得P（），进而由对立事件的概率性质，可得答案．

【解答】解：记“蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过1”为事件A，则其对立事件为“蚂蚁与三角形的三个顶点的距离不超过1”，

边长为4的等边三角形的面积为S=×42=4，

则事件构成的区域面积为S（）=3×××π×12=，

由几何概型的概率公式得P（）==；

P（A）=1﹣P（）=1﹣；

故答案为：1﹣．

15．已知双曲线C：﹣=1，若存在过右焦点F的直线与双曲线C相交于A、B两点，且=3，则双曲线C的离心率的最小值为　2　．

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】由题意，A在双曲线的左支上，B在右支上，根据=3，可得3x2﹣x1=2c，结合坐标的范围，即可求出双曲线离心率的最小值．

【解答】解：由题意，A在双曲线的左支上，B在右支上，

设A（x1，y1），B（x2，y2），右焦点F（c，0），

∵=3，∴c﹣x1=3（c﹣x2），

∴3x2﹣x1=2c．

∵x1≤﹣a，x2≥a，∴3x2﹣x1≥4a，

∴2c≥4a，∴e=≥2，

∴双曲线离心率的最小值为2，

故答案为：2．

16．以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B．现有如下命题：

①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”；

②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；

③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B．

④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B．

其中的真命题有　①③④　．（写出所有真命题的序号）

【考点】命题的真假判断与应用；充要条件；全称命题；特称命题；函数的值域．

【分析】根据题中的新定义，结合函数值域的概念，可判断出命题①②③是否正确，再利用导数研究命题④中函数的值域，可得到其真假情况，从而得到本题的结论．

【解答】解：（1）对于命题①，若对任意的b∈R，都∃a∈D使得f（a）=b，则f（x）的值域必为R．反之，f（x）的值域为R，则对任意的b∈R，都∃a∈D使得f（a）=b，故①是真命题；

（2）对于命题②，若函数f（x）∈B，即存在一个正数M，使得函数f（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．

∴﹣M≤f（x）≤M．例如：函数f（x）满足﹣2＜f（x）＜5，则有﹣5≤f（x）≤5，此时，f（x）无最大值，无最小值，故②是假命题；

（3）对于命题③，若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）值域为R，f（x）∈（﹣∞，+∞），并且存在一个正数M，使得﹣M≤g（x）≤M．故f（x）+g（x）∈（﹣∞，+∞）．

则f（x）+g（x）∉B，故③是真命题；

（4）对于命题④，∵﹣≤≤，

当a＞0或a＜0时，aln（x+2）∈（﹣∞，+∞），f（x）均无最大值，若要使f（x）有最大值，则a=0，此时f（x）=，f（x）∈B，故④是真命题．

故答案为①③④．

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．已知P：2x2﹣9x+a＜0，q：且¬p是¬q的充分条件，求实数a的取值范围．

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的否定．

【分析】由q：，知q：2＜x＜3，由¬p是¬q的充分条件，知q⇒p，故设f（x）=2x2﹣9x+a，则，由此能求出实数a的取值范围．

【解答】解：∵q：，

∴q：2＜x＜3，

∵¬p是¬q的充分条件，

∴q⇒p，

∵P：2x2﹣9x+a＜0，

设f（x）=2x2﹣9x+a，

∴，

解得a≤9．

18．某学校共有高一、高二、高三学生2000名，各年级男、女人数如图：已知在全校学生中随机抽取1名，抽取高二年级女生的概率是0.19．

（1）求x的值；

（2）现用分层抽样的方法在全校抽取60名学生，问应在高三年级抽取多少名？

（3）已知y≥245，z≥245，求高三年级中女生比男生多的概率．

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法；频率分布直方图．

【分析】（1）根据题意，有全校共有学生2000名，其中高二年级女生x名，且抽到高二年级女生的概率是0.19，结合频率、频数和样本容量之间的关系，可得，（2）根据高二男女生一起750人，又高一学生750人，所以高三男女生一起500人，按分层抽样，做出高三年级应抽取的人数；

（3）根据所给的条件列举出所有的情况，可得其情况数目，同时可得女生比男生多的情况数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案．

【解答】解：（1）根据题意，全校共有学生2000名，其中高二年级女生x名，

且抽到高二年级女生的概率是0.19，则有=0.19，

∴x=380；

（2）由图可得，高二男生有370人，则高二男女生一起750人，高一学生750人，

所以高三男女生共2000﹣750﹣750=500人，

按分层抽样，高三年级应抽取×500=15人；

（3）因为y+z=500，y≥245，z≥245，所以基本事件有：

y=245，z=255；y=246，z=254；y=247，z=253；y=248，z=252；y=249，z=251；y=250，z=250；

y=251，z=249；y=252，z=248；y=253，z=247；y=254，z=246；y=255，z=245；一共11个基本事件．

其中女生比男生多，即y＞z的基本事件有：

y=251，z=249，y=252，z=248；y=253，z=247；y=254，z=246；y=255，z=245

共5个基本事件，

故女生必男生多的事件的概率为

19．已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d的图象过点P（0，2），且在点M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为6x﹣y+7=0．

（1）求函数y=f（x）的解析式；

（2）求函数y=f（x）的单调区间．

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数解析式的求解及常用方法．

【分析】（1）根据导数的几何意义，结合切线方程建立方程关系，求出b，c，d，即可求函数f（x）的解析式；

（2）求函数的导数，即可求函数f（x）在定义域上的单调性．

【解答】解：（1）由f（x）的图象经过P（0，2），知d=2，

所以f（x）=x3+bx2+cx+2，则f'（x）=3x2+2bx+c．

由在M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程是6x﹣y+7=0，

知﹣6﹣f（﹣1）+7=0，

即f（﹣1）=1，f'（﹣1）=6

∴，

即，

解得b=c=﹣3，

故所求的解析式是f（x）=x3﹣3x2﹣3x+2．

（2）∵f（x）=x3﹣3x2﹣3x+2．

∴f′（x）=3x2﹣6x﹣3=3（x2﹣2x﹣1）．

由f′（x）=3（x2﹣2x﹣1）＞0，

解得x＞1+或x＜1﹣，此时函数单调递增，

由f′（x）=3（x2﹣2x﹣1）＜0，

解得1﹣＜x＜1+，此时函数单调递减，

即函数的单调递减区间为为（1﹣，1+），

函数的单调递增区间为为（﹣∞，1﹣），（1+，+∞）．

20．已知圆C1：x2+y2+6x﹣4=0，圆C2：x2+y2+6y﹣28=0．

（1）求过这两个圆交点的直线方程；

（2）求过这两个圆交点并且圆心在直线x﹣y﹣4=0上的圆的方程．

【考点】直线与圆的位置关系；圆的一般方程．

【分析】（1）两圆相减，得到过这两个圆交点的直线方程．

（2）两圆联立方程组，求出两点的交点A，B，从而得到AB的中垂线方程，进而能求出圆心C的坐标和圆半径，由此能求出所求圆的方程．

【解答】解：（1）∵圆C1：x2+y2+6x﹣4=0，圆C2：x2+y2+6y﹣28=0，

∴两圆相减，得到过这两个圆交点的直线方程为：

6x﹣6y+24=0，即x﹣y+4=0．

（2）两圆交点为A，B，

解方程组，得或，

∴A（﹣1，3），B（﹣6，﹣2），

∴AB的中垂线方程为x+y+3=0．

由，解得x=，y=﹣，

所求圆心C的坐标是（，﹣）．

圆半径|CA|==，

∴所求圆的方程为（x﹣）2+（y+）2=，即x2+y2﹣x+7y﹣32=0．

21．我们把由半椭圆（x≥0）与半椭圆（x≤0）合成的曲线称作“果圆”，其中a2=b2+c2，a＞0，b＞c＞0．如图，点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2分别是“果圆”与x，y轴的交点．

（1）若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；

（2）当|A1A2|＞|B1B2|时，求的取值范围．

【考点】椭圆的简单性质．

【分析】（1）由三角形F0F1F2是边长为1的等边三角形，得出a，b，c的关系，求出a，b，c的值，进而得出“果圆”的方程；

（2）由|A1A2|＞|B1B2|可得a，b，c的不等关系式，把c用a，b代替，得到含有a，b的不等式，求解不等式得答案．

【解答】解：（1）由题意可得，F0（c，0），F1（0，﹣），F2（0，），

则|F0F1|==b=1，|F1F2|=2=1，

∴，，

故所求“果圆”方程为（x≥0）和（x≤0）；

（2）由|A1A2|＞|B1B2|，得a+c＞2b，c＞2b﹣a，即＞2b﹣a．

两边平方得a2﹣b2＞（2b﹣a）2，

则，又b＞c，

∴b2＞c2，即b2＞a2﹣b2，

∴，即，

故∈（）．

22．已知函数

f（x）=（cosx﹣x）（π+2x）﹣（sinx+1）

g（x）=3（x﹣π）cosx﹣4（1+sinx）ln（3﹣）

证明：

（Ⅰ）存在唯一x0∈（0，），使f（x0）=0；

（Ⅱ）存在唯一x1∈（，π），使g（x1）=0，且对（Ⅰ）中的x0，有x0+x1＜π．

【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．

【分析】（Ⅰ）根据x∈（0，）时，f′（x）＜0，得出f（x）是单调减函数，

再根据f（0）＞0，f（）＜0，得出此结论；

（Ⅱ）构造函数h（x）=﹣4ln（3﹣x），x∈[，π]，

令t=π﹣x，得u（t）=h（π﹣t），求出u（t）存在唯一零点t1∈（0，），

即证g（x）存在唯一的零点x1∈（，π），满足x0+x1＜π．

【解答】证明：（Ⅰ）∵当x∈（0，）时，f′（x）=﹣（1+sinx）（π+2x）﹣2x﹣cosx＜0，

∴函数f（x）在（0，）上为减函数，

又f（0）=π﹣＞0，f（）=﹣π2﹣＜0；

∴存在唯一的x0∈（0，），使f（x0）=0；

（Ⅱ）考虑函数h（x）=﹣4ln（3﹣x），x∈[，π]，

令t=π﹣x，则x∈[，π]时，t∈[0，]，

记函数u（t）=h（π﹣t）=﹣4ln（1+t），

则u′（t）=﹣•

=﹣

=﹣

=

=，

由（Ⅰ）得，当t∈（0，x0）时，u′（t）＞0；

在（0，x0）上u（x）是增函数，又u（0）=0，∴当t∈（0，x0]时，u（t）＞0，

∴u（t）在（0，x0]上无零点；

在（x0，）上u（t）是减函数，且u（x0）＞0，u（）=﹣4ln2＜0，

∴存在唯一的t1∈（x0，），使u（t1）=0；

∴存在唯一的t1∈（0，），使u（t1）=0；

∴存在唯一的x1=π﹣t1∈（，π），使h（x1）=h（π﹣t1）=u（t1）=0；

∵当x∈（，π）时，1+sinx＞0，∴g（x）=（1+sinx）h（x）与h（x）有相同的零点，

∴存在唯一的x1∈（，π），使g（x1）=0，

∵x1=π﹣t1，t1＞x0，∴x0+x1＜π．

2016年4月18日

湖北省武汉外国语学校2015-2016学年高二上学期期末数学试卷（文科）Word版含解析