2018年静安区初三数学二模试卷

（满分150分，100分钟完成）

考生注意：

1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本调研卷上答题一律无效．

2．除第一、二大题外,其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）

【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】

1．下列实数中，有理数是

（A）； （B）； （C）； 　 （D）．

2．下列方程中，有实数根的是

（A）；（B）； （C）；（D）．

3．如果，，那么下列不等式中成立的是

(A)； (B)； (C)； (D)．

4．如图，AB//CD ，直线EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠BEF，

如果∠EFG=64°，那么∠EGD的大小是

(A) 122°； (B) 124°； (C) 120°； (D) 126°．

5．已知两组数据：a1，a2，a3，a4，a5和a1-1，a2-1，a3-1，a4-1，a5-1，

下列判断中错误的是

(A) 平均数不相等，方差相等； (B) 中位数不相等，标准差相等；

(C) 平均数相等，标准差不相等； (D) 中位数不相等，方差相等．

6．下列命题中，假命题是

（A）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

（B）有一条对角线与一组邻边构成等腰三角形的平行四边形是菱形；

（C）一组邻边互相垂直，两组对边分别平行的四边形是矩形；

（D）有一组邻边相等且互相垂直的平行四边形是正方形．

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）

【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】

7． = ▲ ．

8．分解因式： ▲ ．

9．方程组的解是 ▲ ．

10．如果有意义，那么x的取值范围是 ▲ ．

11．如果函数（a为常数）的图像上有两点、，那么函数值

▲ ．(填“＜”、“=”或“＞”)

12．为了解植物园内某种花卉的生长情况，在一片约有3000株此类花卉的园地内，随机抽测了200株的高度作为样本，统计结果整理后列表如下：（每组数据可包括最低值，不包括最高值）

试估计该园地内此类花卉高度小于55厘米且不小于45厘米的约为 ▲ 株．

13．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取一个数，这个数即是奇数又是素数的概率是 ▲ ．

14．如图，在△ABC中，点G是重心，过点G作DE∥BC，分别交AB、AC于点

D、E．已知，那么= ▲ ．（用向量表示）．

15．如图，已知⊙O中，直径AB平分弦CD，且交CD于点E，

如果OE=BE，那么弦CD所对的圆心角是 ▲ 度．

16．已知正多边形的边长为a，且它的一个外角是其内角的一半，那么此正

多边形的边心距是 ▲ ．（用含字母a的代数式表示）．

17．在平面直角坐标系中，如果对任意一点（a，b），规定两种变换：

，，那么 ▲ ．

18．等腰△ABC中，AB=AC，它的外接圆⊙O半径为1，如果线段OB绕点

O旋转90°后可与线段OC重合，那么∠ABC的余切值是 ▲ ．

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）

【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】

19．（本题满分10分）

计算：．

20．（本题满分10分）

解方程： ．

21．（本题满分10分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分）

已知：如图，边长为1的正方形ABCD中，AC 、DB交于点H．DE平分∠ADB，交AC于点E．联结BE并延长，交边AD于点F．

（1）求证：DC=EC；

（2）求△EAF的面积．

22．（本题满分10分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分）

今年本市蜜桔大丰收，某水果商销售一种蜜桔，成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应

定为多少？ （销售利润=销售价－成本价）

23.（本题满分12分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分）

已知：如图，在平行四边形ABCD中， AC、DB交于点E，

点F在BC的延长线上，联结EF、DF，且∠DEF=∠ADC．

（1）求证：；

（2）如果，求证：平行四边形ABCD是矩形．

24．（本题满分12分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分4分）

在平面直角坐标系xOy中，已知点B（8,0）和点C（9，）．抛物线（a，c是常数，a≠0）经过点B、C，且与x轴的另一交点为A．对称轴上有一点M ，满足MA=MC．

（1） 求这条抛物线的表达式；

（2） 求四边形ABCM的面积；

（3） 如果坐标系内有一点D，满足四边形ABCD是等腰梯形，

且AD//BC，求点D的坐标．

25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分4分）

如图，平行四边形ABCD中，已知AB=6，BC=9，．对角线AC、BD交于点O．动点P在边AB上，⊙P经过点B,交线段PA于点E．设BP= x．

（1） 求AC的长；

（2） 设⊙O的半径为y，当⊙P与⊙O外切时，

求y关于x的函数解析式，并写出定义域；

（3） 如果AC是⊙O的直径，⊙O经过点E，

求⊙O与⊙P的圆心距OP的长．

2018年静安区初三数学二模试卷参考答案及评分标准

（2018年4月）

（考试时间：100分钟，满分：150分）

一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）

二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7、． 8、． 9、． 10、x > 4． 11、>． 12、960．

13、． 14、． 15、120． 16、． 17、（2，1）． 18、．

三、解答题（本大题共12题，满分78分）

19．（本题满分10分）

计算：．

解：原式= …………………（5分）

= …………………………（3分）

= …………………………………（2分）

20．（本题满分10分）

解方程：

解： ………………………（4分）

………………………（2分）

……………………（1分）

， ………………………（2分）

经检验是 增根，舍去

∴原方程的根是． ………………………（1分）

21．（本题满分10分, 第（1）小题5分，第（2）小题5分）

解：（1）∵正方形ABCD，

∴DC=BC=BA=AD, ∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠CBA=90°

AH=DH=CH=BH, AC⊥BD,

∴∠ADH=∠HDC=∠DCH=∠DAE= 45°． …………（2分）

又∵DE平分∠AD B ∴∠ADE=∠EDH

∵∠DAE+∠ADE=∠DEC, ∠EDH+∠HDC=∠EDC…………（1分）

∴∠EDC=∠DEC …………（1分）

∴DC=EC …………（1分）

（2）∵正方形ABCD，∴AD∥BC,

∴△AFE∽△CBE ∴ ………………………………（1分）

∵AB=BC=DC=EC=1，AC=,∴AE= …………………………（1分）

Rt△BHC中， BH=BC=,

∴在△BEC中，BH⊥EC,……………………（2分）

∴, ∴…………（1分）

22．（本题满分10分,第（1）小题5分，第（2）小题5分）

解：（1）解：设y与x之间的函数关系式y=kx+b，

把（10，40），（18，24）代入得：，…………（2分）

解得， ……………………………………（2分）

∴y与x之间的函数关系式y=﹣2x+60；………………………（1分）

（2）解：由题意得（x﹣10）（﹣2x+60）=150 …………（2分）

x2-40x+375=0， ………………………（1分）
解得x1=15，x2=25（不合题意，舍去） ………………………（2分）

答：该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为15元．

23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）

证明：（1）∵平行四边形ABCD，∴AD//BC ，AB//DC

∴∠BAD+∠ADC=180°，……………………………………（1分）

又∵∠BEF+∠DEF =180°, ∴∠BAD+∠ADC=∠BEF+∠DEF……（1分）

∵∠DEF=∠ADC∴∠BAD=∠BEF， …………………………（1分）

∵AB//DC， ∴∠EBF=∠ADB …………………………（1分）

∴△ADB∽△EBF ∴ ………………………（2分）

(2) ∵△ADB∽△EBF,∴, ………………………（1分）

在平行四边形ABCD中，BE=ED=

∴

∴, ………………………………………（1分）

又∵

∴,△DBF是等腰三角形 …………………………（1分）

∵∴FE⊥BD, 即∠DEF =90° …………………………（1分）

∴∠ADC =∠DEF =90° …………………………（1分）

∴平行四边形ABCD是矩形 …………………………（1分）

24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）

解：（1）由题意得：抛物线对称轴，即． …………（1分）

点B（8,0）关于对称轴的对称点为点A（0,0）∴， …………（1分）

将C（9，-3）代入，得…………………………（1分）

∴抛物线的表达式： …………………………（1分）

（2）∵点M在对称轴上，∴可设M（4，y）

又∵MA=MC，即

∴, 解得y=-3, ∴M（4，-3） …………………（2分）

∵MC//AB且MC≠AB, ∴四边形ABCM为梯形，,

AB=8,MC=5,AB边上的高h = yM = 3

∴ …………（2分）

(3) 将点B（8,0）和点C（9，﹣3）代入可得

，解得

由题意得，∵AD//BC,∴，…（1分）

又∵AD过（0,0），DC=AB=8，

设D(x,-3x) , …………………………（1分）

解得(不合题意，舍去)， …………………………（1分）

∴∴点D的坐标．……………………（1分）

25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）

解：（1）作AH⊥BC于H，且，AB=6，

那么…………（2分）

BC=9，HC=9-2=7，

， ……………………（1分）

﹒ ………（1分）

（2）作OI⊥AB于I，联结PO, AC=BC=9，AO=4.5

∴∠OAB=∠ABC,

∴Rt△AIO中，

∴AI=1.5，IO= ……………………（1分）

∴PI=AB-BP-AI=6-x-1.5=， ……………………（1分）

∴Rt△PIO中，

……（1分）

∵⊙P与⊙O外切，∴ ……………………（1分）

∴= …………………………（1分）

∵动点P在边AB上，⊙P经过点B,交线段PA于点E．∴定义域：0<x≤3…………（1分）

（3）由题意得：∵点E在线段AP上，⊙O经过点E，∴⊙O 与⊙P相交

∵AO是⊙O 半径，且AO＞OI，∴交点E存在两种不同的位置，OE=OA=

1 当E与点A不重合时，AE是⊙O的弦，OI是弦心距，∵AI=1.5，AE =3，

∴点E是AB 中点，, , , IO=

……………………（2分）

2 当E与点A重合时，点P是AB 中点，点O是AC 中点, ……（2分）

∴或．

2018年静安区初三数学二模试卷参考答案及评分标准