1.2 排列与组合

1.2.1 排列

第1课时 排列与排列数公式

A级　基础巩固

一、选择题

1．从集合{3， 5，7，9，11}中任取两个元素：①相加可得多少个不同的和？②相除可得多少个不同的商？③作为椭圆＋＝1中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程？④作为双曲线－＝1中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程？

上面四个问题属于排列问题的是(　　)

A．①②③④　　　B．②④　　　C．②③　　　D．①④

解析：因为加法满足交换律，所以①不是排列问题；除法不满足交换律，如≠，所以②是排列问题．

若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则必有a>b，a，b的大小一定；在双曲线－＝1中不管a>b还是a<b，方程均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双曲线．故③不是排列问题，④是排列问题．

答案：B

2．计算＝(　　)

A．12 B．24 C．30 D．36

解析：A＝7×6A，A＝6A，所以＝＝36.

答案：D

3．北京、上海、香港三个民航站之间的直达航线，需要准备不同的飞机票的种数为(　　)

A．3 B．6 C．9 D．12

解析：这个问题就是从北京、上海、香港三个民航站中，每次取出两个站，按照起点站在前、终点站在后的顺序排列，求一共有多少种不同的排列．

答案：B

4．若从6名志愿者中选出4名分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，则选派方案有(　　)

A．180种 B．360种

C．15种 D．30种

解析：由排列定义知选派方案有A＝6×5×4×3＝360(种)．

答案：B

5．用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有(　　)

A．24个 B．30个 C．40个 D．60个

解析：将符合条件的偶数分为两类：一类是2作个位数，共有A个，另一类是4作个位数，也有A个．因此符合条件的偶数共有A＋A＝24(个)．

答案：A

二、填空题

6．若A＝10×9×…×5，则m＝_________________________.

解析：由10－(m－1)＝5，得m＝6.

答案：6

7．现有8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地上，有________种不同的种法(用数字作答)．

解析：将4块不同土质的地看作4个不同的位置，从8种不同的菜种中任选4种种在4块不同土质的地上，则本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题．所以不同的种法共有A＝8×7×6×5＝1 680(种)．

答案：1 680

8．从2，3，5，7中每次选出两个不同的数作为分数的分子、分母，则可产生不同的分数的个数是______，其中真分数的个数是____．

解析：第一步：选分子，可从4个数字中任选一个作分子，共有4种不同选法；第二步：选分母，从剩下的3个数字中任选一个作分母，有3种不同选法．根据分步乘法计数原理，不同选法共有4×3＝12(种)，其中真分数有，，，，，，共6个．

答案：12　6

三、解答题

9．求下列各式中n的值：

(1)90A＝A；

(2)AA＝42A.

解：(1)因为90A＝A，

所以90n(n－1)＝n(n－1)(n－2)(n－3)．

所以n2－5n＋6＝90.

所以(n－12)(n＋7)＝0.

解得n＝－7(舍去)或n＝12.

所以满足90A＝A的n的值为12.

(2)由AA＝42A，得·(n－4)！＝42(n－2)！.

所以n(n－1)＝42.

所以n2－n－42＝0.解得n＝－6(舍去)或n＝7.

10．用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的四位数．

(1)能被5整除的四位数有多少个？

(2)这些四位数中偶数有多少个？

解：(1)能被5整除的数个位必须是5，故有A＝120(个)．(2)偶数的个位数只能是2，4， 6，有A种排法，其他位上有A种排法，由乘法原理知，四位数中偶数共有A·A＝360(个)．

B级　能力提升

1．满足不等式＞12的n的最小值为(　　)

A．12 B．10 C．9 D．8

解析：由排列数公式得＞12，即(n－5)(n－6)＞12，解得n＞9或n＜2.又n≥7，所以n＞9.又n∈N*，所以n的最小值为10.

答案：B

2．从集合{0，1，2，5，7，9，11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax＋By＋C＝0中的系数A，B，C，所得直线经过坐标原点的有________条．

解析：易知过原点的直线方程的常数项为0，则C＝0，再从集合中任取两个非零元素作为系数A，B，有A种．

所以符合条件的直线有A＝30(条)．

答案：30

3．一条铁路线原有m个车站，为了适应客运需要，新增加了n(n≥1，n∈N*)个车站，因而客运车票增加了58种，问：原来这条铁路线有多少个车站？现在又有多少个车站？

解：原有m个车站，所以原有客运车票A种，现有(n＋m)个车站，所以现有客运车票A种．

所以A－A＝58，

所以(n＋m)(n＋m－1)－m(m－1)＝58.

即2mn＋n2－n＝58，

即n(2m＋n－1)＝29×2＝1×58.

由于n，2m＋n－1均为正整数，故可得方程组

①或②

或③或④

方程组①与④不符合题意．

解方程组②得m＝14，n＝2，解方程组③得m＝29，n＝1.

所以原有14个车站，现有16个车站或原有29个车站，现有30个车站．

配套K122017-2018学年高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.1 第1