用折纸探索正多边形组拼柏拉图多面体的方法
作者：刘奕签
来源：《数学教学通讯·中等教育》2014年第09期

        摘 要：本文通过折叠正多边形探索了用正多边形组拼正多面体的方法，并发现只能够组拼出正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体这五种正多面体.

        关键词：折纸；正多边形；正多面体

        柏拉图多面体也称正多面体，每个正多面体是由相同的正多边形围成的立体图形. 古希腊哲学家柏拉图发现，正多面体只存在五种，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.

        是否仅有五种正多面体？如何在中学生的理解范围内进行证明？翻阅文献发现，对于这个问题的证明方法主要有：欧拉公式法、三角函数法、代数法等等. 本文通过折叠正多边形探索组拼正多面体的方式，进而说明存在且仅存在五种正多面体. 为了便于说明，正多边形的一个内角记为α，正多面体的一个顶点出发引出的棱数记为m.

        折正三角形组拼正多面体

        通过折叠，折出三边都有口袋的正三角形作为基本材料，将正三角形相互连接，组拼成正多面体. 为了连接正三角形，需要折叠出相应的连接材料并使其边长与正三角形边长相等（例如菱形）. 组拼过程中将菱形的一边插入一个正三角形的口袋内，另一边插入第二个正三角形的口袋内，正三角形的其他边也通过连接材料用相同方法连接，直到组拼出正多面体，如图1.

        事实上，两个面或者是三个面无论如何都不能构成立体图形，构成立体图形至少需要4个面.

        1. 每个顶点连接三个正三角形的组拼方式

        正多面体的每个顶点连接3个正三角形（如图2），正三角形内角60°，每个顶点引出3条棱，即m=3，3α=180°

        2. 每个顶点连接四个正三角形的组拼方式

        正多面体的每个顶点连接4个正三角形（如图4），每个顶点引出4条棱，即 m=4，4α=240°

用折纸探索正多边形组拼柏拉图多面体的方法