什么样的数学建模竞赛论文才是好的论文

数学建模竞赛论文与一般的的数学论文不同，主要表现在它的综合性。数学建模竞赛论文紧密联系实际，针对问题的客观实际特征，要有分析、整理综合的过程。它包含题意解读、选择合适的数学工具、建立合理的数学模型、使用恰当的计算方法、严格的论证和推演、明确的结论、结果的实际检验、恰如其分的评估和总结。还要有通俗简洁的语言。一篇好文章应具备以下特色：

1. 切合实际的分析

2. 合理的令人信服的假设

3. 选择合适的数学知识

4. 严密的逻辑推理和论证

5. 合理使用计算方法和软件并得出正确的解答

6. 检验结果的正确性和实事求是的评估

7. 既简单厄要，又能说明问题的摘要

如果你的论文这几个要求都能做到，可以肯定地说，这个论文一定是一篇优秀的论文，得一等奖不成问题；如果能达到大部分要求，我想得奖的机会也会是很大的。问题是说起来容易做起来很难。怎样才能尽可能地达到要求呢？以下就谈几点个人的看法，并举例说明之。

一. 题目的分析和理解

数学建模竞赛的题目都是客观的实际问题，内容无所不包。准确地了解题目的背景和要求是解题的第一步。这就要求我们对题目所涉及的各种因素进行分析。要分析有哪些因素对我们所讨论的问题有影响，那些因素是主要因素，那些因素是次要因素，那些起决定性的作用，那些因素是微不足道的，以及各因素之间的主从关系。

要分析解决问题需要一些什么怎样的数据，这些数据题目是否已经给足，如果不够就要我们自已去收集。要分析那些数学工具适合于问题的求解。哪些数学知识无助于问题的解决，或是不适合于本问题的解决。

在分析的基础上，最好能够制订出解题的步骤和方法以及所需的工具(这里主要指数学知识、计算方法和软件)。这样我们就可以有条不絮，从容不迫，按步就班地进行求解和写作。

例1 2008全国大学生数学建模竞赛B题

高等教育学费标准探讨

高等教育事关高素质人才培养、国家创新能力增强、和谐社会建设的大局，因此受到党和政府及社会各方面的高度重视和广泛关注。培养质量是高等教育的一个核心指标，不同的学科、专业在设定不同的培养目标后，其质量需要有相应的经费保障。高等教育属于非义务教育，其经费在世界各国都由政府财政拨款、学校自筹、社会捐赠和学费收入等几部分组成。对适合接受高等教育的经济困难的学生，一般可通过贷款和学费减、免、补等方式获得资助，品学兼优者还能享受政府、学校、企业等给予的奖学金。

学费问题涉及到每一个大学生及其家庭，是一个敏感而又复杂的问题：过高的学费会使很多学生无力支付，过低的学费又使学校财力不足而无法保证质量。学费问题近来在各种媒体上引起了热烈的讨论。

请你们根据中国国情，收集诸如国家生均拨款、培养费用、家庭收入等相关数据，并据此通过数学建模的方法，就几类学校或专业的学费标准进行定量分析，得出明确、有说服力的结论。数据的收集和分析是你们建模分析的基础和重要组成部分。你们的论文必须观点鲜明、分析有据、结论明确。

最后，根据你们建模分析的结果，给有关部门写一份报告，提出具体建议。

这样的题目，怎么下手？从何着手？当然，第一步就是深刻理解题目的意义和要求。首先这个问题含义容易理解，每个人都有切身体会，而且是关系到我们每个人切身利益的重大问题。既是经济问题，也是政治问题，而且是敏感的政治问题，因为他涉及国家教育方针政策问题。因此，讨论这样的问题必须慎重。

下面我们看看题目的要求：请你们根据中国国情，收集诸如国家生均拨款、培养费用、家庭收入等相关数据，并据此通过数学建模的方法，就几类学校或专业的学费标准进行定量分析，得出明确、有说服力的结论。数据的收集和分析是你们建模分析的基础和重要组成部分。你们的论文必须观点鲜明、分析有据、结论明确。

有以下几个要求：

(1) 根据国情：我国的国情是什么？我国是一个发展中国家，广大人民群众的收入还很低，贫富差别很大；同时我国地域辽阔，城乡差别，东、中、西部差别也很大。因此在我们讨论问题时不能一概而论，必须区别对待。

(2) 收集资料：收集什么数据？题目没有给我们具体的数据，而是要求我们自已去收集诸如国家生均拨款、培养费用、家庭收入等相关数据。这里应该注意的是数据的来源要具有可靠性和权威性。

(3) 建立数学模型：可供参考的模型有：

下年度高教学费的基准数 =家庭年收入 15%+年末户均储蓄额 20% 晏开利，高等教育学费的制衡因素，江苏高教，1995年03期. 也见, 闵维方, 高等教育运行机制研究[M], 人民教育出版社, 2002,

生均培养成本 = (人员经费+公用经费+固定资产折旧费)/学生数

收费标准 =上年度收费标准 (1+本年度收费标准增长率)

本年度收费增长率 =本年度费用预算增长数/上年度费用预算数 100%

陈雄, 学费收取标准的计算公式[J], 预算管理与会计, 1996(3):38. 也见, 王善迈, 教育投入与产出[M], 河北教育出版社, 石家庄, 1996.

毛建青, 我国普通高等院校学费制定探讨, 湖南师范大学研究科学学报, v. 5(2006), no. 3, 75 – 78. 他在该文中说“这两个制定标准是目前为止笔者见到的仅有的两个有关高校学费制定的标准，应该说它们在某种程度上填补了我国在学费制定标准方面的空白，其作用不可小视。但是它们都存在一些缺陷。首先是…没有解释提出的原因， 其次是只考虑了影响学费制定的某一方面的个别因素。”

根据世界银行专家萨卡拉波罗斯的研究(Psacharopoulos, George, Return to Education: A Further International Update and Implications [J], Journal of Human Resources, 1985, 20(4), 583 - 604), 从社会整体的角度考虑高等教育的投资收益率较高. (居民储蓄投资和政府投资)的比例决定了整体的社会效益, 而最大化社会效益是高等教育的最终目标. 据此, 纪秋颖、林 健(基于Agent的高校学费定价模型及实现, 计算机工程与应用, 2006, 22, 225 – 226, 232) 研究了下列模型

其中为整体的社会效益, E为经济效率度量, F为公平性度量,和分别为两者效益值的权重系数. 又有

其中为能支付学费的学生数,为总招生数,为在总招生数中具有最强学习能力的人数(公平性的体现). 基于多智能体系统(Multi-Agent System, MAS)进行仿真实验, 得到收费定价最优值与经济效率和教育公平的关系.

周 莹,(高校收费标准的探讨, 科技情报开发与经济,2008年(第18卷), 第3期, 200 – 201.) 提出如下公式

收费标准 =生均培养成本 政府确定的收费比例 a +家庭年均收入 国际平均标准 b +人均GDP 国际平均标准 c取a = 0.3, b = 0.4, c = 0.3等.

大学学费标准一般来讲是按照每名学生培养成本的25%来收取的。

原国家教育部副部长张保庆曾表示，教育部在对高校生年均日常运行经费充分调研的基础上，“教育成本高的超过1.4万元，低的在1万元左右，综合一下，按25%提取，每生每学年的学费定在3500元，现行的学费标准就是这样计算出来的。”在上交的论文中具体的模型还有多元回归模型、多目标优化模型，甚至层次分析模型、神经网络模型、微分方程模型等，并引入了相关的概念，有一些是很有启发性的。当然这在相当程度上是与学生查阅到的特定文献有关。

(4) 就几类学校或专业进行定量分析

我国高校规模巨大，种类繁多，不同学校不同专业生均培养成本相差很大，应根据不同种类的学校、不同的专业，根据具体情况设计不同的收费标准。

(5) 得出明确、有说服力的结论。

你的结论要明确，就是目前的学费是高还是低或正好，不能模棱两可；要有说服力就是要有充分的可靠的数据为理据，经过推导论证。说明为什么高，高在那里，为什么低，低在哪里。

最后还说：你们的论文必须观点鲜明、分析有据、结论明确。

二. 合理的令人信服的假设

数学模型的建立是在假设的基础上进行的。根据题目的要求，首先要收集有关的数据。这些数据必须来源可靠，具有一定的权威性。(即来源于政府的有关部门，如统计局、权威的杂志、或权威的专家)

三. 选择适合的数学知识

本题应该用统计分析法较为合理。还有的人用微分方程来讨论收费的增长趋势，用层次分析法来讨论收费各部分组成的权数。这些也是可以的，但是要应用的得当，千万不要生搬硬套，以至于产生谬误。

四. 严密的逻辑推理和证证

要安照不同地区、不同学校、不同专业建立相应的模型。在分析论证过程中一定要有充分的依据，要说明数据的来源。例如生均培养费是多少？是1万，还是1.5万，还是8千必须有充分的依据。不能我说多少就是多少，要算个账给人看，要使人信服。

本题在模型求解和计算上不会有什困难。但要注意的是千万不要将本来就是简单求解和计算的问题复杂化。

五. 注意语言的通俗和筒洁

数学建模的论文和其他科学论文一样，语言是给人的第一个就印象，好比人的衣着，要得体、既要简洁、好看；不要奇装异服，使人看起来很不舒服。因而要求我们平常多训练，多看一些好文章；要善于学习别人的长处，有时候可以模仿别人的做法。

六. 好的摘要是第一道门坎

为什么这样讲？因为现在参赛的队数越来越多，阅卷的专家人数有限，阅卷时先看摘要，如果看了摘要后给人的印象是这篇文章不值得一看，那就可能第一步就被淘汰，连门都进不了，那里还有获奖的机会。摘要至少要包含思想方法，主要结论和优缺点。建议多看一些写的好的摘要，多动手，多训练。最好是看了摘要使人产生有必要进一步细看文章内容的欲望。

下面请大家对以下的全国一等奖的这篇优秀论文做个评判，这篇文章是否符合了以上的要求。论文原文如下：

B题 高等教育学费标准探讨

【摘要】

本文探讨了高等教育学费标准高低对社会的影响，从培养质量、收益、教育成本、支付能力与入学率等几方面入手，构建了学费制定加权模型，举例计算得到几类有代表性的专业的具体学费，并进一步讨论了确定助学金发放对象及具体金额的方法。

论文第一步按照教育部教学评价优秀标准对学校教育质量指标量化，考虑教育成本，从整体上构建学校学费的最低标准计算模型。

通过分析我国财政指标 、人民生活水平指标相关数据，可得支付能力和个人、社会收益与学费的关系的一些结论，在这些结论和最低标准计算模型的基础上进一步建立完整学费计算模型。

所建学费计算模型学费分为两个部分：个人收益学费和支付能力学费。其中利益获得学费与所在专业的个人收益获得率和专业的生均成本有关，支付能力学费与我国国民经济水平有关，进而有区别的建立了不同专业学费的普遍加权模型和某家庭实际可以承受的学费具体模型，给出了确定某专业学费的具体步骤，这是论文的核心。

在模型计算中，首先根据全国统计数据确定了模型中的加权系数，，得到了计算特定专业学费具体的经验公式，并对其方法进行了单因素方差分析，证实了这样计算的合理性；然后再有选择的计算出了一些学科专业的学费标准（见表6）。

在计算所得学费基础上说明了助学金的必要性，进一步拓展模型，按照不同收入人群分类计算应补助学费金额，并设立公平度指标，讨论了给谁发放助组学金和最终发放金额。

模型的验证尝试新的思路，借鉴蚁群和蒙特卡罗算法的一些思想，从微观到宏观验证模型。通过定义个体行为，设定意愿度指标，用matlab编程，以计算机仿真的形式试验，用统计学观点说明学费是否合理。这是本文的亮点之一。

讨论了模型的优缺点后，本文提出了问题拓展的几点思路，一是综合考虑各种因素，量化指标，给出建立优化模型，直接计算学费的思路；二是讨论了文章前一部份没有考虑的各种因素对学费的影响，以及加入这些因素后建模的思路。

文末以报告的形式给出了关于学费制定标准的一些研究结论和建议（附录5）。

关键词： 学费标准 培养质量 生均培养成本 加权模型

一、问题重述

1.1问题背景

高等教育事关高素质人才培养、国家创新能力增强、和谐社会建设的大局，因此受到党和政府及社会各方面的高度重视和广泛关注。培养质量是高等教育的一个核心指标，不同的学科、专业在设定不同的培养目标后，其质量需要有相应的经费保障。高等教育属于非义务教育，其经费在世界各国都由政府财政拨款、学校自筹、社会捐赠和学费收入等几部分组成。对适合接受高等教育的经济困难的学生，一般可通过贷款和学费减、免、补等方式获得资助，品学兼优者还能享受政府、学校、企业等给予的奖学金。

学费问题涉及到每一个大学生及其家庭，是一个敏感而又复杂的问题：过高的学费会使很多学生无力支付，过低的学费又使学校财力不足而无法保证质量。学费问题近来在各种媒体上引起了热烈的讨论。

1.2问题提出

问题要求根据中国国情，收集相关数据、通过数学建模的方法，就几类学校或专业的学费标准进行定量分析，得出明确、有说服力的结论。

二、问题分析

2.1高校收费制度的确立

1998年通过的《中华人民共和国高等教育法》规定：高等教育的学生应当按照国家规定缴纳学费。这在法律上确立了高等学校的学费制度。

2.2高校收取学费的各类理论依据综述

纵观各类有关此问题的资料论述，高校收费的相关理论依据可大致分为：公共产品说、教育投资个人收益说、成本说、能力与公平说等理论学说。

其中：

公共产品说和教育投资个人收益说都指出高等教育具有准公共产品的性质，对其投资将不仅给投资者带来收益，还会带来社会利益，所以教育费用理应由社会、政府、个人共同承担【1】。

能力说提出了分担的方法:

即个人高等教育负担率等于社会高等教育负担率。

成本说是指高等教育成本补偿的额度要依据成本的一定比例来确定【2】。

以上各种学说虽都有一定的缺陷，但有现实的可取之处。

此外，要想构建学费制定的公式模型，最关键的就是要研究清楚学费制定究竟要受哪些因素影响。因此下面有必要对影响高等教育学费制定的因素进行分析。

2.3学费制定标准的影响因素

影响一个国家高校总体学费的因素是很多的，包括政治因素、经济因紊、历史文化传统因素、思想观念因素、国际因素【3】等等。由于政治、文化、思想因素的难以量化分析，此问题应着重对经济因素进行定量分析研究。

经济因素方面需考虑政府的教育承担能力和受教育者自己的受教育费用支付能力，这样才能兼顾教学的质量和教育的公平性。

此外，教育所带来的收益分配情况，也是一个应当考虑的重点，因为大家有一个普遍的共识就是谁受益多，谁就应当付费多，而不应当没有差别的大家一起付费，这也关系到社会公平的问题。

以上两点因素应当兼顾才能使高等教育学费更加合理。

2.4高等学校教学质量与学费的关系

关于高校的教学质量的衡量标准，题目提示其需一定的教育经费做支撑，可以借鉴近年的教育部教学评价指标，将一些关键指标量化成相应的教育经费，再结合政府的教育拨款，从学校的声誉角度出发，可计算出一个保证某学校教育评估为优的最低学费标准，进而可将教学质量和学费联系起来。

2.5关于助学金

学校关于助学金的发放是考虑到贫困学生的经济状况而设立的补偿性措施，但是其标准也是一个待规范的细节问题，很难量化成数字指标来确定，以前通过学生汇报家庭状况来评价给谁助学金的方法，主观性太大，背离了助学金设立的初衷。

可以通过将助学金的发放标准量化，通过计算给谁，给多少的具体数目，从而部分解决之前主观性过大的问题。

2.6重点把握

针对学费的定量研究，初步分析发现每年的财政拨款和学生的学杂费是教育经费的主要组成部分，需重点量化分析和计算，而奖学金等方式是难以量化计算的一小部分，在定量计算时可以予以忽略。

所以重点在定量分析出按怎样的原则安排学费才最合理，以及在这样的原则下提出具有建设性的学费标准订立方法，以兼顾足够的经费来保证教学质量和社会教育公平的两个热点问题。

同时，从学校的角度出发，以上原则计算出的学费标准应当保证满足学校的教学评优的底线，否则很难被学校接受，要巧妙的将评价指标量化成经费，进而与学费相联系。

针对不同家境的学生，尤其是相对贫困的学生，助学金对他们的实际缴纳的学费影响很大，而他们实际缴纳的学费应当以他们的支付能力为依据。

2.7方向选取

综合分析各种收取学费的理论思想，结合大众心理，支付能力说和收益说更具普遍性和说服力，体现了教育公平的意愿，符合和谐社会的理念，这里将予以重点考虑。

三、问题假设

1、所有收集到的数据可靠。

2、不发生意外情况造成国民经济的严重动荡。

3、假设全国各地家庭对教育的重视程度相同，不会因收入不同而改变。

四、符号说明

这里只列出主要模型的全局参数，其他局部参数见文中。

五、分析与建模

5.1从学校角度考虑的最低学费

学校的教学质量是社会普遍关注的焦点，而教学质量通常由教学评价的确定指标来反映，这些指标与教育资金有密切的联系，考虑到学校的声誉，必须制定一个保证学校在教育部的教学评价中达优的最低学费标准。

5.1.1教学评估的指标取舍

培养质量的指标是反映学校的教学质量和办学实力的核心指标，影响培养质量的因素有很多，联系近年来的教学评价【4】其中与教学经费关系密切的有：

1、师生比要>1/18；

2、生均教学行政用房（教学及辅助用房面积+行政办公用房面积）/学生自然数 >14(m2/生)；

3、生均教学科研仪器设备值（教学科研仪器设备资产总值/学生当量数） >5000(元/生)；

4、生均图书 （图书总数/学生当量数） >100(册/生)；

5、具有副高级职务专任教师占专任教师的比例 >30％ ；

6、生均占地面积 （ 占地面积/学生自然数） >54(m2/生) ；

7、生均宿舍面积 （学生宿舍面积/学生自然数） >6.5（m2/生）；

8、百名学生配教学用计算机台数（教学用计算机台数/学生自然数）×100 >10台；

9、百名学生配多媒体教室和语音室座位数 (多媒体教室和语音室座位数/学生自然数)×100 >7（个）；

10、新增教学科研仪器设备所占比例 （当年新增教学科研仪器设备/（教学科研仪器设备资产总值－当年新增教学科研仪器设备值））；

11、生均年进书量（当年新增图书量/学生当量数）（电子类图书不计） >4(册/生)；

将这些指标量化为学校教学成本，进而进行定量的资金分析，以确定学校总体学费的最低标准。

其他一些定性的指标（比如发展势头、学风等）由于受到影响的因素很多，又不好定量说明，所以在这里予以忽略。

5.1.2指标转化

经分析，可以将这些指标分类转化为教育经费：

1、教师约束

师生比>1/18，且具有副高级职务专任教师占专任教师的比例>30％

若设：

S 某校折合在校学生数

H1 不具副高级职务的老师数；

H2 具副高级职务的老师数；

X1 不具副高级职务的老师年薪水；

X2 具副高级职务的老师年薪水；

若学校的学生规模一定的情况下，可以想象师生比决定了一个学校拥有的教师数量，而授课教师的工资是教学活动的一项主要的经费开销，其决定于教师的数量。

约束转化为模型：

，……………（1）

则教师的总薪水X最小为:

X=，……………………（2）

且有：

…………（3）

2、硬件要求

硬件要求转化为费用体现在对原有硬件的折旧维护费、将要够入新硬件的费用。

参数设置：

S2 生均教学行政用房的面积；

X3 生均教学行政用房的面积的单价（元）；

X4 学生用计算机单价（元）；

M1 原有教学科研仪器的固定价值；

N 每100名学生均有的计算机台数；

M2 原多媒体教室和语音室总价值；

M3 原有宿舍和教学楼的固定价值；

年均折旧率，一般为5％~7%，这里取7％；

M4 原有图书的总价值；

W 硬件维护费；

W1 新增硬件（包括宿舍、教学建筑、场馆、行政用房、科研仪器、图书、计算机、语音教室等）所需的费用；

对于教学用行政房的维护费用，

则可计算出：

折旧维护费用为：

W=……（4）

则硬件要求需经费为：

Y=W+ W1………………………………………………………（5）

而学校经费的来源主要有学费、财政拨款、社会捐助、学校自筹等。

不妨设需收学费总数为M5，财政拨款、社会捐助、学校自筹的学校经费和为M6，则必然有：

……………………………………………（6）

综上，可以初步得到应收学费总数的最小值为：

……………………………………………（7）

进而，得到该校平均应收学生学费的最低值为：

……………………………………………（8）

从现实学校的教学质量和教学评价对学校的声誉影响上看，这个最低值应该作为学校学费的首要考虑标准。

5.2教育投资的收益分析

在市场经济条件下，为保证学校的发展，仅考虑成本的最低学费已经不能满足学校和学生发展的要求。

根据相关知识的了解，我们初步认为针对高等教育学费标准的订立应紧紧抓住谁获利和受教育者的支付能力这两个因素来分析。

教育投资的收益可分为个人收益和社会收益，按照“谁收益，谁投资”的原则【5】，两者的相对关系将影响学费标准的建立。

5.2.1个人收益率与社会收益率的比较

个人收益率是指个人由于受教育而获得的利益与生均培养成本的比值；

社会收益率是指社会由于教育投入而获得的利益与生均培养成本的比值；

生均培养成本表示平均每个学生占有高等教育投入的金额，计算模型为：

………………（9）

世界高等教育收益的大致情况有如下研究数据显示：

表1：世界高等教育收益率对比

来源于：Psachaopoulos(1994)."Retumsto I nvestmentii iE ducation:A GlobalU pdate". World Development Vol (20(9)).P1328

对上述表格数据做出对比柱状图为：

图1：世界高等教育收益率对比

从高等教育收益率比较中可以很直观的发现，除了高收入国家的个人收益率稍稍低于社会社会收益率外，其他收入的国家以及世界平均水平都是个人收益率高于社会收益率，且在经济越不发达的国家，个人收益率越比社会收益率高。可见，对处于发展中国家行列的中国，高等教育的个人收益率是远大于社会收益率的。

5.2.2个人受教育水平与就业收入水平之间的关系

相关研究表明个人受教育水平与就业及收入水平有一定的关系【6】，根据2002年的相关数据得到家庭财产与户主文化程度关系的研究图表为：

图2：家庭财产总量与文化程度的关系

从图中可以看出家庭财产总量与文化程度呈正比关系，且教育水平越高拉开的差距越大。随着社会的发展，知识对财富的决定性作用越来越明显，可以推测当今我国居民的家庭财产与文化程度的关系仍具有这样的特点，甚至更加明显。

5.2.3不同学科专业与收入之间的关系

不同学科专业的学生毕业后半年的个人收益情况也存在着一定的差异，以下是中国2007届大学毕业生就业与工作能力调查的中国应届大学生月薪最高的十个专业的排行榜【7】：

表2：不同学科专业的学生毕业后半年的月薪排行榜

由表2可见第十与第一的差距已达到了1712元，这说明不同专业之间的收入存在较大的差异，即对于一个学生来讲，上不同的专业其个人受益有较大差距。

综合以上比较分析可以得出结论：要兼顾教育的公平，高等教育学费标准的制定就应当考虑个人由于受教育而将会得到的利益因素，可建立个人利益因素对应的学费部分，称为个人利益学费，做为高校学费的一个量化的组成部分。

5.3支付能力分析

居民的学费支付能力应当作为学费制定的重要指标，因为撒开支付能力的学费标准，其结果很可能导致国家不堪重负或是众多家庭、个人不能承受高昂的学费，从而使经济上的不平等转化为受教育机会的不平等。因此考察国家和个人的支付能力是进行成本分担、制定学费标准时所必须考虑的又一重要因素。

5.3.1国家财政的承担能力

我们收集到了我国近三十年来国家财政收入占国内生产总值的比重的数字信息【8】，从中可以发现一些微妙的变化。

表3：国家财政收入占国内生产总位的比重

将数据表做成较为直观的散点图如下：

图3：国家财政收入占国内生产总位的比重

可以看出：国家财政收入占国内生产总值的比例从1978年的31.2%降低到1995年的10.7%，虽近几年有所回升但总的来说比例还是很低。

5.3.2我国居民的支付能力

与此同时我国居民的教育支付能力也是一个关键。

这里假设某家庭的支付能力模型为：

。

从我国的基本国情出发，从客观数据分析可以推知我国居民的支付能力现状。

建立城乡居民家庭人均收入及恩格尔系数【9】表（见附录1）：

图4：城镇、农村居民的人均收入条形图

总体上居民收入总体逐年迅速增加，尤其是城镇居民的收入增加的较为快。

图5：镇、农村居民的恩格尔系数折线图

城乡居民的恩格尔系数呈逐年下降趋势，我国居民的消费水平在逐渐改善。

综上数据分析，可见居民的教育支付能力总体增强的同时，城乡差距明显，所以在高等教育学费标准制定时家庭的支付能力应当作为重要的因素考虑进来，以避免或减轻由于忽略支付能力而造成的教育不公平问题。

5.4建立高等教育学费标准模型

综上可知高等教育学费模型应包含量部分内容：考虑个人利益获得应收取的利益学费部分和考虑支付能力收取的能力学费部分。

定义：个人利益学费——因个人受教育而获利所决定的应缴纳学费的部分；

支付能力学费——因支付能力而决定的缴纳学费的部分。

5.4.1高校学费的个人利益学费

经上文分析可知利益获得因子与个人收益具有正相关的关系，设定参数：

个人收益为Q；

个人收益率为k；

受高等教育的学生总数为N；

高等教育生均成本为e；

高等教育的总投入为M；

则有基本模型：

………………………………（10）

假设学生的个人利益学费为F1，则有，其中为一权重系数，其取值范围应该为。

具体到某专业时，有：

，………………………（11）

即：

这样，若知道了某专业的个人收益率k的统计数据和权值，此部分就可以计算出来。

5.4.2高校学费的支付能力学费

从实际出发，支付能力强相应的应当肩负起相对较多的学费，来协助学校帮助上学困难的学生，这在社会和谐与教育公平上是具有一定的现实意义的。

首先，我们考虑建立具有普遍指导意义的模型。

对于全国范围，全国的家庭平均纯收入一定意义上决定了个人的学费支付能力，所以我们建立学费的支付能力学费部分的普遍形式为：

……………………………（12）

其中：F为学费的支付能力学费；

G为全国家庭平均纯收入；

p为高等教育支出的一般比例，可通过统计数字来确定；

为权重系数，其取值范围应该为。

据此可以计算某专业的全国学费标准的个人支付能力学费部分。

而根据前面的分析，对于某收入水平的家庭的学生来说，实际能够承担的个人支付能力学费应与其家庭可支配收入紧密联系，形式可改写为：

…………………………（13）

其中：表示其家庭可支配收入；

某收入水平的家庭的高等教育支出占纯收入的一般比例。

据此可以计算出某学生家庭的实际能够支付的个人支付能力学费F2，若家庭贫困，此项应该小于上述的个人支付能力学费F。

这样，若调查到了学生的家庭收入情况、确定了高等教育支出占纯收入的一般比例和权值，某个专业的支付能力学费就可以计算出来，同时贫困家庭实际能够承担的支付能力学费也可以量化出来。

5.4.3不同专业高等教育学费标准的建立

假设某学科专业的学费为T，将上述的个人利益学费和支付能力学费两部分加权相加便可得到在只考虑利益获得和支付能力两个重要因素情况下的学费模型:

普遍模型：

……………………（14）

此模型可用于计算各个专业的学费。

针对某学生上某学科专业，其家庭可以承受的学费具体模型：

…………………（15）

其中，分别为两部分因子的权重，且使，，，的具体数值需按实际情况订立，可采用数据回归分析的方法来拟合出它们合适的取值。

这样，只要相关参数都通过足够的数据分析确定下来，即可根据不同学科专业的具体情况按照普遍模型来安排其学费标准。同时，可以根据具体模型计算出某学生上某专业的实际可以支付的学费数，若此数值小于此专业的学费标准，则可以考虑给与学费补贴，差值可以为补贴提供数据依据。

5.4.4学费标准中的参数P的确立方法

1、对于全国的高等教育支出占纯收入的一般比例P来说，可以由全国的历年统计数据直接计算获得。

2、对于具体某一年的P来说，由于农村与城镇的收入水平的较大的差异，不能笼统的用全国的平均数据，需根据具体的学生所在地的经济条件和学校所在地的消费水平来综合衡量。比如据数据分析，2002年我国城市的p一般在30%到50%左右，而农村则差异很大，从30%到200%不等，所以需经过调查之后按实际情况具体确定。

我们从2001～2005年《中国教育年鉴》和国家发展与改革委员会发布的《中国国民经济和社会发展报告》中整理出一些统计数据可作为参考（见附录3）。

5.5确定最终学费的方法

STEP1：从学校自身的声誉和教学质量考虑，根据我们估算学费最低要求的模型和计算方法，算出教学质量要达到优秀标准需要的学生平均学费的最低标准。

STEP2：应用我们建立的考虑支付能力原则和收益原则的模型结合全国居民的经济水平计算出本校某专业的学费标准。

STEP3：比较以上两个学费金额，以保证教学质量为重点，即若STEP2计算出的专业学费低于最低标准，则以最低标准为此专业学费，若STEP2计算出的专业学费高于最低标准，则取STEP2计算出的专业学费。

STEP4：对于家庭困难的学生，用家庭可以承受的学费具体模型代入其家庭实际收入情况计算出其可以承受的学费，此值一般低于上述确定的专业学费，二者差值用学费补助来弥补。

这样，既根据全国居民实际收入情况和学校的教育质量要求确定了各个学科专业的学费，又同时为家境困难的学生的学费补助提供了定量的依据。

5.6 模型优化方向

考虑到上述确定学费的思路是分别计算了两个学费，一个合理学费、一个最低学费，再进行比较得到最终的学费收取标准，过程会比较繁琐，工作量相对较大，这是一个缺陷。

可以考虑将教学质量评价达优的最低学费指标融入到学费标准模型中去，甚至可以制作一个新的最低学费保障项加权加入到模型中去。

思想为：建立一个多项加权的模型

………………（16）

且加权系数满足：

依据近年来的统计数据及学校内部的具体经费情况进行多元拟合得到相应的加权系数，即可得到一个更方便的确定学费标准的方法。

六、模型的计算与检验

6.1确定权值系数，

为了说明模型的合理性和准确性，可以应用考虑支付能力和收益状况的普遍模型：来计算出，的值，再根据某学科专业用具体模型算出其学费，分析其数值的合理性，进而证明模型的优越性。

查阅《中国统计年鉴2007》可以得到生均成本e、我国人均国民生产总值I、生均高等教育学杂费G的近几年的数值（见附录2），根据前文的分析和我国的现阶段国情，个人的高等教育相对收益k这里取为0.18，我国高等教育支出的一般比例p经查阅资料【10】可以设置为0.45。

整理出的数据表为：

表4：学费模型所需的全国统计数据

代入学费模型中，可得到若干个的值，对它们进行期望处理，得到的合适值为0.206、的值为0.794。

6.2对采取均值有效性进行检验

作出所得的若干个值的散点分布图：

图6：的散点分布图

用excel软件的数据分析工具箱中的方差分析工具进行方差分析：

表5：excel单因素方差分析表

可见在取显著性水平为0.05时，方差齐性检验出9.6×10-5，其值大于1.6×10-5，通过了方差齐性检验，表明近七年的值没有显著性差异，所以用的均值来表示其值，是合理的。

将所求得的，的值代入到上文相应模型中得到某学科专业的学费具体模型为：

……………………（17）

其中k1为某学科专业的个人收益率，e为某学科专业的生均培养成本，为全国居民家庭的平均年纯收入，为高等教育相对于纯收入的一般支出比例。这样若知道专业的相关信息就可以有针对性的确定其上某学科专业的学费标准。

应用学科专业学费模型（17）查阅相关数据计算2006年一些专业的学费，2006年全国居民家庭平均纯收入为16084元，2006年学生高等教育相对于纯收入的一般支出比例随着生活水平的提高应当有所下降，经分析可以设置为0.3。

6.3部分专业的学费标准

由上所6.1及6.2确定的方法和参数，代入数据计算得到以下结果：

表6：一些专业计算所得学费标准

从计算结果中可以看出部分学科（比如法律、广告设计）的学费比现实稍显偏低，这是充分考虑到居民的生活水平的结果。

6.4助学金的计算模型

高等教育可以类比为一个高消费产品，并不需要每个人都能购买；另外通过上一步的计算也可以知道，学费不可能低到绝大多数人都可以接受的程度。所以必然有学习成绩优异但家庭困难的学生无法进入大学学习，这对个人和社会都是一种损失，因此，需要助学金帮助困难家庭，以保证社会公平。

下面就对如何计算助学金对模型一进行拓展。

应用上述的具体模型，我们对2006年农村、城市不同收入家庭上机械专业的学费可支付能力进行分析计算。

表7：不同收入家庭上机械专业的学费可支付能力

2006年全国居民家庭平均纯收入为16084元，此专业的生均培养成本参照近十年的标准折衷取13000元，专业的个人收益率取0.16，2006学生高等教育相对于纯收入的一般支出比例随着生活水平的提高应当有所下降，经分析可以设置为0.3，则此专业的学费标准可以计算出为4013.2元，

从而得到农村各个收入水平的家庭的学生所需学费补贴为：

表8：不同收入家庭上机械专业所需的的助学金

但是，并非所有贫困学生都一定必须帮助，即使需要帮助，帮助的金额也不能简单以上表所计算得到数据发放助学金。与学费一样，助学金可以看成是一种市场投资，其发放一样要考虑社会收益。

为此，可以建立公平度指标，这里公平是相对于社会收益而言。

考虑到助学金这一笔资金如果花在其它方面如提高培养质量上，一样可以获得社会收益，那么必须衡量这笔资金的效益。

故设：

这里，“平均社会收益”与上文模型一所指出的社会收益率计算出来的社会收益一致，而“剩余平均社会收益”则是总的向该专业投入的资金减去给被资助人的资金剩下的余额得到的社会收益，而重点需建立的准确数据库则是被资助人的期望社会收益。

而期望社会收益可以与其学习成绩挂钩，基于考试排名决定，可设某学生在其机械专业中排名为r，该专业总人数为N，则其换算系数为，再通过换算系数可以计算出其预期社会收益，显然，换算系数越大，其预期社会收益越大。

当公平度大于0.8时，即应给予助学金，因为，助学金还给被资助人能够创造个人收益，故认为促进了社会公平。而金额为公平度乘以表8中不同收入家庭应给予的补助金额。得到补助金额数据库。

学校就可根据此数据有针对性的对学生进行学费的补贴帮助，决策就显得更加科学合理。

由计算数据可见，建立的学费标准模型，充分考虑到了我国居民家庭的支付能力，且数值上比较合理，不同收入水平的家庭尤其是贫困家庭在助学金确定上有了量化的标准，充分体现了公平和科学的思想，相比单纯的定性区分城市、农村，或区分贫困与否的收费标准理念，有了一个质的改变。

6.5模型验证方法

以上给出了某专业学费的计算方法，究其合理性仅仅靠与现实学费比较是不够的，需给出更理性的检验方法。

现有关于学费标准制定的文献中，多数从国家整体考虑研究计算收费标准，包括上文所构建模型。为了从不同角度验证文中观点，现借鉴蒙特卡罗方法的思想，从学生个体人角度出发，寻找学费与入学意愿之间的关系，通过每个学生个体具有相同规律的不同行为，从统计学上体现整体趋势，由微观的行为汇集成宏观上群体表现，进而从计算机仿真计算得到的数据中对学费制定是否正确进行分析，并对计算学费的参数作出调整。

以下通过一个简单的例子，介绍仿真检验方法的流程。

其主要过程为通过计算机编程产生一定数量的学生个体，同时随机产生每个个体属性即支付能力；然后，依次判断其中每一个个体的行为，即是否选择上大学，或选择哪个专业，并记录其行为，直到循环判断完每个个体；最后，通过记录的数据，计算分析所需的参数。

具体内容如下：

6.5.1检验模型的基本假设

为简化计算，此处作了大量假设保证文中只处理最简单的情况，重点在于提供方法。

单一的学生个体假设为市场中的理性人，即每个学生只追求自身利益的最大化，而并不需要关心整个国家的教育情况。

《高等学校收费管理暂行办法》规定，学费收取为“新生新办法，老生老办法”，因此，一个学生的学费在大学期间是基本不变的，另外虽然人均收入逐年增加，但消费水平亦不断增长，意愿度变化可以忽略，故认为通过考虑第一年是否入大学来代表其它学年是否继续就读。

站在一个普通学生及其家庭的立场上，假设他们考虑的仅有以下两点：

1、家庭的经济情况既支付能力

2、选择或不选择某校某专业的预计收益

如果学生选择读大学，缴纳学费，家庭的生活水平必然下降，甚至入不敷出，从而导致学生的入学意愿降低；同时，学生及其家庭对其可能的收益进行预测，如果认为读大学是合理的投资，带来更大的收益，那么，入学意愿加大，暂时的生活水平下降可以接受。

6.5.2入学意愿度

为将两点统一考虑，设入学意愿度指标为，学费，支付能力简单用可支配收入表示为，为上文所表示的个人收益，则有：

………………………………（18）

通过现有某大学的各专业学费和学生人数数据计算得到阀值，这里取为3；当某学生的入学意愿度的值大于3时，即认为该学生可以接受该专业的学费，当两专业均大于3时，则选择意愿度高的专业。

6.5.3收益比及学费确定

对不同学校，不同专业，个人和社会的收益比不同，甚至相反，则其学费也不同，其关系可通过学校和专业排名确定。因为收益率不是本文研究重点，为简单起见，仅以两个不同专业为例，使用以下相对立的特例进行计算：

表9:不同专业参数比

其中，专业1表示航天，地质，环境等个人收益低国家收益高专业的极端情况，专业2则为会计，语言，法律等收益率情况相反的专业；不读大学时，个人收益设约与银行利率相同，国家收益较低，从平均水平看，假设是符合实际情况的；学费则以本文的学费模型针对不同的专业计算得到。

6.5.4社会相对总收益

社会总收益是个复杂的计算过程，这里简化成收益率与人数简单乘积和表示的相对收益，从程度上对比可以体现了不同因素对收益的影响，主要体现不同参数的关系，对对比结果不会产生影响。

6.5.5信息素确定

由于个人信息获取的不全面，个人的预测并不具有科学性，更多的是受舆论的影响，选择热点专业。假设一旦某个个体选择了某个专业，那么其行为会通过各种方式影响其他个体，因此，本文借鉴蚁群算法中信息素的作用，个体的行为通过信息素传递给另外的个体，从而影响另外的个体的意愿度。信息素定义为，表示第i个专业的影响力：

……………………（19）

当某个专业上信息素量越大时，另外的个体选择该专业的可能性越大。

更新策略：

其中为信息挥发度，范围0-1，为更新量，Q为常数，为与意愿度相关的另一常数。这里取与意愿度相同度量单位，则计算时与意愿度相加从而影响个体对专业的选择。

6.5.6计算流程

在这些假设条件基础上，使用matlab计算，计算具体流程如下：

Step1：初始化

可能入学的学生潜在人数。这里取100000人，也即计算循环次数。

建立专业收益比和学费查询表，这里使用上表进行。

Step2：生成学生个体

从《中国社会统计年鉴2007》中得到数据并处理，假设高考考生中每户只有一个大学生，同时将全国户均纯收入分为四个层次，并按照户均人口给出相应支付能力，同时给出相应的概率。

表9：每户的支付能力及相应概率

其含义为假设生成一个学生个体，用stu表示，其支付能力有0.4的概率落在 100到5000的范围内，后使用matlab的随机数函数rand在这个范围内生成一个数值，如为3600。

Step3：根据公式计算意愿度与信息素一起决定是否读大学和选择何专业

Step4：根据信息素计算公式更新信息素。

其中参数Q根据入学意愿度选取为自然对数e，则为w/。

Step5：判断是否达到终止条件。

若达到则到step6，否则到step2。这里终止条件为循环次数是否达到参与人数，或者专业招生最大人数。

Step6：计算各统计量，包括选择两个专业的人数和不读大学的人数以及社会相对总收益。

仿真流程如下图所示：

图7：仿真流程图

6.5.7结果分析：

完成调试计算后，改变其中参数学费进行计算比较，由于时间有限，这里仅做12次计算，结果如下表所示：

表10：仿真结果

从表格中，可以发现以下几点：

1、入学率过低。入学率只有不到30%，明显不符合实际，但符合计算条件，因为模型计算时仅考虑了年度的户均纯收入，并没有考虑家庭的储蓄，因此入学人数均偏低。而大多数人都会选择将所有必须的资金投入到子女教育中去，故上大学人数还有很大上升空间。

2、并非上大学人数多对社会贡献就大。从实验A和B，C和D之间分别比较发现，虽然实验A,C上大学人数较少，但其社会贡献率比较高，这主要是因为专业1对社会的贡献较大。

3、学费上升并不一定对社会贡献大。从而可以证明，虽然学费上升对提高教育质量有益，但必须综合考虑各种因素对社会贡献的影响，不能单一认为学费越高一定对教育质量提高有帮助。

从模拟试验A,B,C,D结果对比发现，第一组计算出来的学费获得的社会相对收益最大，可认为学费上文中计算模型是相对合理的。

通过上述仿真举例，可以推出实际应用的检验方法。

当实际应用时，所需要的数据为计算得到的各学校各专业学费，各专业收益率表格，以及全国人均可支配收入数据，建立更完整的计算数据和记录指标，就能全面地判断某校某专业的学费设置是否合理。

七、模型的评价

7.1模型优点

1、学费模型考虑了全国居民的实际收入水平和不同专业的收益差别，公平合理。

2、最低学费的确立充分利用了教学评价的硬性指标，可靠而全面。

3、模型检验中的学费与入学意愿的关系模型，结合了人的心理特点，符合实际。

7.2模型缺点

1、模型没能区分不同级别的学校的学费差别，没能将奖学金、助学贷款量化出来。

2、最低学费计算只考虑了学校的物质上的经费，而对文化精神上的指标没能量化成学校的经费开支。

八、问题的进一步拓展

此问题是一个较为开放的问题，不同的着眼点就可建不同的类型的模型，我们是从学费标准的合理性和社会和谐方面来着眼在考虑合理的原则下建立模型。此外，还可以从优化的角度，在满足一定的教学质量前提下，最求最大的入学率，建立优化模型。

8.1优化模型的思路分析

从学校入学率的动态角度考虑，学费将直接影响高校的入学率；与此同时，教学质量需要一定的教育经费支撑，而学费是经费的重要来源，可见较高的学费将促进教学质量的改善。

同时，从社会角度考虑，应当使能上学的学生尽可能的多，即在一定约束条件下，入学率要达到最大。

具体曲线示意为：

图8：教学质量、入学率与学费关系示意图

优化模型的其基本的建模求解流程为：

图9：优化模型的建模求解基本的流程

此种方法解决问题的关键点在于教育指标的量化以及入学率与学费的关系的建立。

优化模型是从纯经济数学的角度来计算出最优的学费数量，对教育的社会性、国家的现阶段基本国情考虑不够，很难从大局上把握教育事业的特点，脱离国情现状是其致命的缺陷。

8.2其他因素分析

这些年来社会集资、捐资力量的变化以及个人办学积极性的高涨对学费的影响也逐渐凸显出来，从中可以发现一些发展趋势。

8.2.1社会捐资和集资办学经费、社会团体和个人办学经费的变化趋势分析

根据国家统计年鉴2007可以做出社会捐资和集资办学经费以及社会团体和公民个人办学经费（见附录4）虽时间变化的趋势图：

图9：社会捐资和集资办学经费变化图

图10：社会团体和个人办学经费的变化图

从两个趋势图中可以看出，由于近年来国家鼓励私人办学、严格限制地方尤其是农村搞集资办学的政策，社会捐资和集资办学经费自1995年起明显有持续下降的趋势，与此同时，社会团体和个人办学经费呈指数上升的趋势。

这表明了以下教育现状：

1、 国家的办学规范性在逐渐增强，严格控制地方集资办学有利于保护基层群众的合法权益。

2、 我国的教育如今仍处于供不应求的局面，社会团体和个人的“办学热”足以说明这一点。

3、 排除个别情况，私人办学一个重要的目的就是盈利，社会捐资减少、政府教育投入减少、社会团体和私人办学增多，教育的市场化性质增强。可见高校学费见涨，是我国教育体制改革，教育经费来源变化的一个具体表现。

8.2.2我国高校在校生数的变化趋势

由图可见，我国高校自从扩招以来，学生人数猛烈增长，从1992年的218.4万人猛增到2006年的1738.8万人，1998年为以明显折点。

这在客观上也决定了学费增长的趋势：学生人数的猛烈增长促使绝大多数学校要对校园规模进行扩建，扩建费的相当一部分来自于学生的学费。

由上面分析可见，学费增长是社会发展的大趋势，关键在于如何建立科学的学费标准来控制和引导这种趋势，促进教育的公平、社会的和谐。

九、参考文献

【1】江小惠. 高等教育的学费问题研究. 高校教育管理. 第1卷,第4期,2007年7月.

【2】江小惠。建立高等教育多渠道投资体系的思考. [j].江苏理工大学学报:社会科学版, 1998(1):66

【3】苏良军，孙便霞.高校学费影响因素及空间相关性分析. 数理统计与管理. 2006年7 月第25卷第4 期.第1页　　　　

【4】普通高等学校本科教学工作水平评估指标和等级标准.中国教育信息网.2008-09-20 21:42:37

【5】谭章禄，张小萍.高等教育学费价格市场模型分析. 黑龙江高教研究.2005年第12期.第2页

【6】Psachaopoulos(1994)."Retumsto I nvestmentii iE ducation:A GlobalU pdate". World Development Vol (20(9)).P1328

【7】中国应届大学生月薪最高的十个专业的排行榜

http://learning.sohu.com/20080622/n257657584.shtml 2008-09-20 14:25:32

【8】家庭财产总量和结构，中国统计信息网2002-09-27 08:36:13

【9】国家统计局.中国统计年鉴2007.中国统计出版杜2008年，281页

【10】毛建青.我国普通高等院校学费制定标准的相关研究.陕西师范大学.2004年，第22页

十、附录

附录1：城乡居民经济情况

附录2：模型计算相关数据

附录3：全国普通高校生均学杂费占城乡居民年平均纯收入百分比情况

附录4：社会捐资和集资办学经费以及社会团体和公民个人办学经费表

七. 再谈谈文章的新意和创新

1. 创新创意从一点一滴做起

要想获得较高等级的奖，你的文章必须要有特殊的地方，要知道在数千参加的竞赛，实际上大部分人做的都差不多，相差无几。怎样从众多的论文中选出较突出的来获得一、二等奖呢？除了前面提到的只方面外，有无新意和创新是个非常重要的条件。要有不同于一般常人的新意和创新，那怕是一点点都比设有的好。这个可以从以下几点体现：(1) 在模型的假设中体现；(2) 在建模中体现；(3) 在论证推导中体现；(4) 在求解和计算中体现；(5) 在数据的收集中体现。

我们举个例子说明

例2 2008D题 NBA赛程的分析与评价

NBA是全世界篮球迷们最钟爱的赛事之一，姚易加盟以后更是让中国球迷宠爱有加。NBA共有30支球队，西部联盟、东部联盟各15支，大致按照地理位置，西部分西南、西北和太平洋3个区，东部分东南、中部和大西洋3个区，每区5支球队。对于2008~2009新赛季，常规赛阶段从2008年10月29日（北京时间）直到2009年4月16日，在这5个多月中共有1230场赛事，每支球队要进行82场比赛，附件1是30支球队2008~2009赛季常规赛的赛程表，附件2是分部、分区和排名情况（排名是2007~2008赛季常规赛的结果），见http://sports.sina.com.cn/nba/ 。

对于NBA这样庞大的赛事，编制一个完整的、对各球队尽可能公平的赛程是一件非常复杂的事情，赛程的安排对球队实力的发挥和战绩有一定的影响，从报刊上经常看到球员、教练和媒体对赛程的抱怨或评论。这个题目主要是要求用数学建模方法对已有的赛程进行定量的分析与评价：

1）为了分析赛程对某一支球队的利弊，你认为有哪些要考虑的因素，根据这些因素将赛程转换为便于进行数学处理的数字格式，并给出评价赛程利弊的数量指标。

2）按照1）的结果计算、分析赛程对姚明加盟的火箭队的利弊，并找出赛程对30支球队最有利和最不利的球队。

3）分析赛程可以发现，每支球队与同区的每一球队赛4场（主客各2场），与不同部的每一球队赛2场（主客各1场），与同部不同区的每一球队有赛4场和赛3场（2主1客或2客1主）两种情况，每支球队的主客场数量相同且同部3个区的球队间保持均衡。试根据赛程找出与同部不同区球队比赛中，选取赛3场的球队的方法。这种方法如何实现，对该方法给予评价，也可以给出你认为合适的方法。

这道题的一篇优秀论文(全国一等奖，发表在工程数学学报2008第25卷 增刊153~160页，不是原文，是经过编者剪辑了的) 现将编者按抄录如下：

编者按：该文思路清晰，赛程对球队利弊的影响因素分析和处理合适，特别是通过问卷调查确定权重，有创意。在选择赛3场球队的一段中，从查阅的5年赛程中发现规律，是值得提倡的。

论文原文如下：

1.问题的重述

NBA是全世界篮球迷们最钟爱的赛事之一，姚易加盟以后更是让中国球迷宠爱有加。NBA共有30支球队，西部联盟、东部联盟各15支，大致按照地理位置，西部分西南、西北和太平洋3个区，东部分东南、中部和大西洋3个区，每区5支球队。对于2008-2009新赛季，常规赛阶段从2008年10月29日（北京时间）直到2009年4月16日，在这5个多月中共有1225场赛事，每支球队要进行82场比赛。

对于NBA这样庞大的赛事，编制一个完整的、对各球队尽可能公平的赛程是一件非常复杂的事情，赛程的安排对球队实力的发挥和战绩有一定的影响，本题要求我们用数学建模方法对已有的赛程进行定量的分析与评价：

（1）为了分析赛程对某一支球队的利弊，要考虑那些因素，并且根据这些因素将赛程转换为便于进行数学处理的数字格式，并给出评价赛程利弊的数量指标。

（2）按照1的结果计算、分析赛程对姚明加盟的火箭队的利弊，并找出赛程对30支球队最有利和最不利的球队。

（3）分析赛程可以发现，每支球队与同区的每一球队赛4场（主客各2场），与不同部的每一球队赛2场（主客各1场），与同部不同区的每一球队有赛4场和赛3场（2主1客或2客1主）两种情况，每支球队的主客场数量相同且同部3个区的球队间保持均衡。试根据赛程找出与同部不同区球队比赛中，选取赛3场的球队的方法。这种方法如何实现，对该方法给予评价，也可以给出你认为合适的方法。

2.问题的分析

我们经常会听到或看到球员、教练和媒体对NBA赛程的抱怨或评论，说明赛程的安排对球队实力的发挥和战绩有一定的影响，因此NBA赛程的安排中存在一定的不公平性与不合理性。

问题一要求我们找出赛程安排对球队利弊的影响因素，并将赛程转换为便于数学处理的数字格式，最后给出评价赛程利弊的数量指标。

（1）每一支球队的比赛时间和总场数是一定的，因此比赛的时间间隔应该越均匀越好，我们将此考虑为一个因素，用方差对其进行定量描述，此过程在MATLAB中实现。

（2）“背靠背”是指连续进行两场的比赛，这种对阵模式对球员的体能有很大的要求尤其是客场的“背靠背”，我们以每一支球队“背靠背”的总数作为衡量此因素的指标，通过数据处理，我们在Matlab中实现了此因素的数量化（见附录3 ）。

（3）如果一支球队连续地遭遇强手，体能势必会有很大的消耗，进而影响下面的比赛，所以这也是一个不容忽视的因素，而要描述这一特性，我们构造出一个连续函数，当取值越大时（即连续对阵强手的强度越大时），的值越接近1，以此作为这一因素的数据衡量，此过程在Matlab中实现（见附录2 ）。

（4）连续的客场比赛，对球员的体能将是另一个严峻考验，我们同样用一个函数来描述这一因素，，原理同（3），当取值越大时，（即连续客场作战次数越多时），的值越接近1，我们通过Matlab程序得到了这一因素的数据衡量（见附录4）。

最后我们用层次分析法给每一个因素一个权重作为评价赛场利弊的数量指标，并将其转化为数学公式。

对于问题二，我们根据第一问的计算结果直接对30个队的赛程安排情况进行一个利弊排序，从而找出30支球队中赛程安排最有利和最不利的队伍，并且具体分析了对姚明所在火箭队的影响。

问题三共分为3小问：（1）是要根据找出同部不同区比赛选取赛三场球队的方法，我们从NBA官网下载到从04年到09年这五年NBA各球队的赛程安排，并筛选出08—09赛季与同部不同区要打三场比赛的球队，并以此往前推，我们发现NBA联盟对采用一定规律且以五年为周期循环的方法安排，并给出实现方法；（2）是要评价该方法；（3）是要给出一种我们认为更合理的方法。

3.模型的假设

（1）赛程自设定之日起将不再改变。

（2）而对于时差、气候、路程、主客场造成的心理影响及节假日有无比赛安排等因素我们不予考虑。

（3）由于交通日益发达，旅途舒适度上升，所以赛程安排中的旅途问题我们不予考虑。

（4）对球队强弱的衡量，我们以30支球队的综合实力排行榜为据（从NBA中国官方网站获取）。

（5） 在连续遭遇强队这一因素中，我们以实力排行榜前10名作为强队。

（6） “背靠背”是指连续两场对阵，不分主客场的区别。

（7） 连续的客场之旅是指连续两场或以上的比赛是客场作战。

（8）我们说的时间间隔是指两场比赛的时间之差，即后一场比赛的时间减去前一场比赛的时间。

（9）题目中缺失的数据对我们的分析不造成影响，我们以NBA中国官方网站数据为标准。

4.符号的说明

5.模型的建立与求解

5.1 对问题一的模型建立与求解

在分析赛场对某一支球队的利弊时，我们考虑道四个因素。即比赛时间间隔的均匀度、“背靠背”、连续地遭遇强手和连续的客场之旅。根据这些因素将赛程转换为便于进行处理的数字格式如下：

因素一：比赛时间间隔的均匀度

每一支球队都有82场比赛，而两场比赛之间的时间间隔我们用后一次比赛的时间减去前一次比赛的时间。我们汇总了30支球队每两场比赛之间的时间间隔，见附录（1）。计算公式如下：

而平均时间间隔为

,

计算结果为2.1。

用方差来描述每只球队赛程时间间隔的均匀度：

30支球队的方差计算结果如下表（1）所示：

表1

用matlab作图如下：

因素二：“背靠背”作战次数

连续两天打比赛，我们称为“背靠背”。由附录（1）我们可以知道：比赛时间间隔为1就是一次“背靠背”。通过数1的个数，我们得到每支球队打“背靠背”的次数，并将其无量纲化。结果用下表（2）来表示：

表2

用matlab作图如下：

因素三：连续遭遇强手

我们知道连续遭遇强手的次数越多，在每次连续遭遇强手中遇到的强手个数越多，对球员体能的消耗就越大，那么对这支球队就越不利，于是我们得出如下函数对此因素进行量化。

编程求解得到每支球队遭遇强队的情况，及无量纲化后的数值，并对其进行了一个排名如下表（3）所示：

表3

用matlab画图为：

因素四：连续的客场之旅

我们知道连续遭遇客场的次数越多，在比赛过程中转换的地点越多，对球员的体能消耗以及比赛过程中球员的发挥都有很大影响，我们用以下函数来描述这一因素的影响：

在Matlab中编程求解得到每支球队客场作战的总次数，客场作战的时间分布，最大客场连续次数，以及无量纲化后的数值（程序见附录 ），并对其进行了一个排名，如下表（4）所示：

表4

至于给出评价赛程的利弊指标，我们采用层次分析法，给四个因素进行赋值。在层次分析中，为了确保我们所给权值的合理性，我们特意在学校每周日的照例晚点名时间中走访了5个班级随即发放问卷调查表。让他们对四个因素重要性进行了排序，我们共调查了60个对象，并将其结果汇总为调查表（见附录6）。

通过对表中的数据分析整理，我们得到它们的平均排名并得到归一化后的最终排名（注意此数值用归一值乘以10得到）结果如下表（5）所示：

表5

利用上面的表格，我们得到下面的成对比较矩阵：

在matlab 中我们得到上面成对比较矩阵的特征值为 4.1097

其对应的特征向量为0.5709 0.6002 0.3934 0.3989

下面对其进行一致性的检验：

一致性指标的数值可以通过查表获得：

表6 随机一致性指标的数值表

则

故表明矩阵通过了一致性检验。它的不一致程度在允许的范围之内，可用其归一化的特征向量作为权向量。

所以我们可以用归一化后的特征向量综合评价赛程利弊的数量指标。如下表（7）所示：

表7

5.2 对问题二的模型建立与求解

（一） 为了分析赛程对30支球队的利弊，我们用到问题一的计算结果，得出来这样的一个总的评价函数：

的值在问题一中已经得到具体的数值，计算后得到30个球队的值，并按照进行排序得到下表（8）

表8

由上表可知2008-2009赛季常规赛的赛程对魔术队是最有利的，对森林狼对是最不利的。

（二） 分析赛程对姚明加盟的火箭对的利弊：

由此表可知：火箭对总排名22，赛程安排对它相当不利。

综合问题一中我们对赛程安排过程的四个影响因素的分析，我们得出其不利因素主要有以下5点：

（1）在10月底到11月中的前18场比赛中有火箭队有12次客场比赛，这将是一个残酷的开局。

（2）从遭遇强队因素着手：在上述12次客场比赛中，有9个对手是联盟劲旅，这种安排无疑使火箭对的开局之战雪上加霜。

（3）从时间均匀度考虑：火箭队赛程中，有9天内打6场的魔鬼赛程，这种安排对队员的体能，作战状态将是极大的挑战。

（4）从“背靠背”考虑：火箭队在08-09赛季中共有19次“背靠背”作战，且第二个夜晚的对手明显强于第一晚，其中包括实力排行榜冠军凯尔特人，火箭队成员能否经受这种赛程安排将面临严峻考验。

（5）3、4月份的冲刺阶段：全明星赛后紧跟的12场比赛中，有8个客场且3月份火箭队有16场比赛，其中将连续遭遇劲旅，这使得火箭队的季后赛异常艰难。

总之，纵观以上各因素的分析，单就赛程的安排来考虑，火箭队的形势不容乐观。

5.3问题三的建模与求解

（一）根据已知赛程找出同部异区球队中，三场比赛球队的选取方法及其实现方法。

通过对08—09赛季的赛程安排表进行分析整理，并结合NBA近几年的赛程安排，我们发现同部异区三场比赛球队（本文后称“三场队”）安排有如下规律：

规律1：如果一支球队在第个赛季与另一支球队赛三场，那么在和个赛季中，这两支球队一定赛四场(n不是旧循环的最后一年和新循环的第一年)，并以五年为一个循环周期（从下文给出热火队近五年来同部异区对阵场次统计表即可看出，其他球队情况类似）。

规律2；在选取的赛三场的四支球队中，两支是来自于一个区，另两支球队一定是来自另外一个区。

经过分析、思考，以上方法可通过“钟盘”模型实现：

对钟盘的解释：

，中，分别表示同部中两个不同的区。分别表示对应队编号。其中，相间可以保证均衡性

钟的“指针”是整个阴影部分，它里面的四个“刻度”代表要与之打三场比赛的球队，阴影外面的六个代表要打四场的球队。

实现规则：

我们规定当赛季倒退一年时，阴影部分大小不变，但要顺时针走4个刻度（如果赛季前进一年，则逆时针走4个刻度），即赛季倒退一年时的情况是，，，，进入阴影，当年安排的某对要与它们打3场，而其余的打6场。

以此规则类推，再倒退一个赛季，阴影部分大小不变，接着顺时针走4个刻度，可以发现如果阴影部分顺或逆时针走五个赛季后会回出发点，由于我们发现前4年每个赛程中每支队都满足这种规律（前第五年即2003-2004赛季不满足这种规律是因为当年山猫对不在东部联盟，这种规律是以山猫对代表东部联盟打比赛那年即2004-2005赛季为起点的），它说明赛程的安排是5年为一周期的固定模式，并且很容易发现无论在哪个赛季阴影部分里的队数是两区相同的，阴影部分外面的队数也是两区相同的，即保持均衡。所以我们决定对这种固定模式进行分析（在第下文作进一步的解释）。现在以热火队为例进一步说明这个固定模式。

热火04—05到08—09赛季与同部不同区各球队比赛场数表

表的解释：

1．此表列举了热火近年五个赛季与同部不同区之间的赛程情况，通过对上表的分析观察就可以看出，如果与这一个赛季赛了三场的，那么上一赛季和下一个赛季都是赛的四场，例如在05—06赛季，与热火赛三场的球队是步行者、尼克斯、76人、公牛，而在04—05和06—07分别与这四支球队都是赛四场。所以这样循环五次后，就会使这支球队与同部不同区的十支球队赛三场和赛四场的的场数是相同的。

2．分析观察可发现，每一个赛季与其他两个区之间赛三场的球队，都是两支来自于同一个区，另外两支来自另外的同一个区，如在05—06赛季中，与热火赛三场的四支球队，两支来自中部区，两支来自大西洋区，在比赛的四支球队中，是三支来自中部区，三支来自大西洋区，并且可以看出每一赛季都是相同的，所以对比赛总场数是两个区平等分配的。

通过上面分析解释可知：NBA对同部不同区之间选取赛三场的方法如下：

NBA联盟当前对同部不同区各球队之间打三场还是打四场的安排方法是，在同部异区的条件下，每次任意一支球队与另外的每一个区中的两支球队赛三场，与这个区中剩下的三支球队赛四场，并以五年为一个周期的循环的排列。

（二）对该方法的评价

通过以上钟面模型结合对阵表，可以看出同部异区球队分配三场交锋时，在以五场常规赛赛程为周期的过程中，总体上是完全公平的，某一队与同部异区球队中任意一队在一个循环中必有交锋3次与交锋4次的场数相等。这种方法在理论上的确可以保证公平性，但是在实际中，由于每年一些球队队员是在调动的，球队训练刻苦度也是变化的，而如果不对分配方法作相应调整，还是会对公平造成影响。更重要的是NBA的本质是商业操作，而商家的目的是利益最大化，追求公平的分配方法使有些使实力相差较大的球队出现在了交锋4次的队伍中，而有些相差较小比赛激烈的出现在了交锋3次的队伍中。这样必然影响到比赛观赏性与精彩性。从而影响商业收入。

（三）我们认为更为合适的方法

在分析NBA最近几个赛季的“三场队”对阵形式的安排结果的基础上，我们在保持其有限的“均衡性”（球队分布，主客场分布，不同赛季分布）原则下，获得一种均衡性更好、也易于实现的方法。

1、初始赛季“三场队”对阵形式表的编排方法：

第一步：构建某部（东部或西部，两者对称，故两表的结构完全相同）。先将该部的三个区排定一个次序，记为一区、二区和三区，再将各区的五支球队排定一个次序，记为1队、2队、…、5队，从而构建一个表心为15×15的“三场队”对阵形式表结构如表9：

表9 部 赛季“三场队”对阵形式表

第二步：填表确定具体安排方案。

由于与各队对阵的“三场队”只可能分布在同部的另两区，故实际需要确定数据的只有6个5×5的子表格，实际上只需确定其中一个5×5子表（不妨取定为有阴影的区域）即可，其余5个5×5子表与之完全同形，为叙述方便，不妨称阴影区域为基础子表。

其中，初始赛季的基础子表的安排规则为：一区一队在二区的“三场队”分别定为一队和三队，且主客场场次分别确定为2：1和1：2（在相应的格子里分别标记为2-1和1-2）；一区二队在二区的“三场队”分别定为二队和四队，且主客场场次仍分别确定为2：1和1：2（表内标记同前），相当于将上面一队的安排结果在表中的第二行后移一列，该区其余各队的“三场队”均按此法则依次安排确定。并将由此得到的基础子表复制到其余5个子表处，就得到初始赛季该部“三场队”的完整对阵形式表为表10：

表10 部 赛季“三场队”对阵形式表

如此安排结果的特点：

（1）各队对阵的“三场队”在各区内的分布是均衡的：每区均为2个队；

（2）各队总的主、客场场次数也是均衡的：一个赛季内总的主场数与客场数是相等的；

（3）按照下面设定的赛季变换规则进行下一赛季“三场队”对阵形势的调整安排，还可保证各队的“三场队”分布在以赛季为单位间隔的时间序列上是均衡的：任何一个队的“三场队”在任何两相邻的赛季都不会连续出现；

（4）便于编排实现，可用手动方式或是用矩阵变换方式均可简易实现不同赛季安排方案的变换，并以五年为最小周期地重复；

2、后续赛季 “三场队”对阵形式表的编排方法（或称变换规则）：

（1）初始赛季某部“三场队”对阵形式表的矩阵形式。

将上面初始赛季的基础子表用下列的5×5方阵表示为：

不妨称此阵为基础矩阵。其中标有数字“2”或“1”的元素表示其行、列所在队在该赛季对阵三场，且行所在队与列所在队的主客场场次数分别为2 ：1或1 ：2 ；而标有“0”的元素则表示其行、列所在队在该赛季对阵四场。则初始赛季某部的“三场队”对阵形式总表就可用分块矩阵表示为

（2）下一赛季“三场队”对阵形式表用矩阵的初等变换实现的变换规则：

设初始赛季“三场队”方案的基础阵为，下一季的基础矩阵为，则： （1）

其中：称为基础矩阵的变换矩阵，为5阶初等矩阵。即有：

= （2）

那么，下赛季该部的“三场队”对阵形式总表矩阵为：

当然，上述过程也可进行手工操作实现：

根据矩阵的初等变换意义，由（2）式知：将的第一行作为的第五行，的第二、三、四、五行作为第一、二、三、四行，然后总表可由前述的“分块阵”形式构成。

另外，不难验证，变换矩阵T满足如下运算性质：

=

这也从数学上证明，这种“三场队”对阵形式编排结果具有五年为最小周期的循环性质。

（3）第 n赛季“三场队”对阵形式表用矩阵的初等变换实现的变换规则：

设第 n赛季的基础矩阵为，则：

（3）

那么，第 n赛季该部的“三场队”对阵形式总表矩阵为：

6.模型评价与改进：

优点：

1、我们通过一系列的数据分析，最后得到一个较合理的结果，根据网络信息，我们的结论具有一定的合理性与应用价值；

2、本文中进行了大量的数据处理与分析，其中所有的数据来源真实有效，所以本模型具有一定的参考价值；

3、我们给出的“三场队”对阵形式的安排方法得到的结果，比NBA的实际编排结果均衡性更好、也易于实现。

缺点：

1、我们的问卷调查仅在60人中间展开，所以不具有很强的说服力；

2、通过对赛程安排表的分析，以及对07——08赛果的考察发现，对于同部部不同区之间的16场比赛，对于各球队的最终赛果将有一定的影响，而本文的模型建立中并未将其作为一个考虑因素，故而不能用其对我们的结果进行很好的证明。

7.参考文献

[1].姜启源 谢金星 叶俊，数学模型（第三版），北京：高等教育出版社，2005

[2].赵东方，数学模型与计算，武汉：科学出版社，2007

[3].Duane Hanselman Bruce Littlefield,朱仁峰译，精通MATLAB 7，北京：清华大学出版社，2006

[4].薛定宇 张阳泉，高等数学问题的MATLAB求解，北京：清华大学出版社，2004

[5].袁新生 邵大宏 郁时炼，LINGO和EXCEL在数学模型中的应用

[6].NBA中国官方网站 http://china.nba.com

[7].NBA数据库

[8].NBA04-05赛季热火赛程

本人参加了这道题的评阅，这篇文章之所以获得一等奖，很重要的原因就是编者按中所指出的两点：一是通过问卷调查确定权重，二是从查阅的5年赛程中发现规律。题目只给了2008-2009NBA常规赛的赛程的安排，对于问题的第3问当然找不到规律。如果有几年的数据就有可能发现规律。以上两点就是这篇文章不同于大多数论文的地方。为什么这三位作者会想到，而别人想不到呢？我想重要原因就是他们的思想比较解放，敢于想象；其次是思维敏捷，善于发现事物之间的联系。只要大家的思想解放了，创新创意也能做到。

2.创新创意不是高不可攀，不能达到的目标

有人认为创新创意太难，不是我们常人能做到的事，这种想法是不对的。什么是创新？就是不同于别人的新思想、新方法、新理论、新规律、新成果。这就首先要解放思想，树立自信心，要相信自已。其次要多学习、多看书、多联想。

3. 创新创意要靠平时的积累

任何的创造和发明都不是偶然的，创新创意也一样，要有一个长期的积累过程。这要求平时要多学习、多看联想外，还要对平时的所见所闻多观察、多思维，对身边周围发生的事物多联系、多思维。要用形象思维的方法去观察问题，解决问题。只有经过长期的努力，才能做到得心应手。

4. 创新创意也可以模仿和借鉴

有时别人的想法、做法往往有启发作用，尤其是当你还没有有效的解决办法时，不妨参考别人的好思想、好方法。模仿别人已经成功的经验，包括思想、做法。其实很多创新、创造都是在前人的基础上结合现在的实际，经过自已的思维加工改进而成的。

前面我所举的两个例子的文章其实并不很完美，还有很多值得改进的地方。例如文字叙述，文章结构等。大家回去后，请仔细阅读这两篇文章，然后回答以下问题：

1.这两篇文章有何特色？优点在哪里？缺点在哪里？

2.提出你的改进意见；

3.你认为这样的题目应该怎么做。

以上3个问题就作为作业完成。

数学建模竞赛论文写作标准