与经济活动有关的中考试题选解

发布时间：2023-03-14 04:25:34

ＮＯ．６　２０１３　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｃｈｉｎｅｓｅ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ　２０１３年第６期　摘要：数学与人类发展和社会进步息息相关，随着现代信　庭的基本情况，加强学校、家庭之间的联系，梅灿中学积极组　息技术的飞速发展，我们生活的各个方面几乎都与“经济活动”　织全体教师开展“课外访万家活动”，王老师对所在班级的全体　有关．近年来各地的中考试题中，出现了很多以经济活动为背景　学生进行实地家访，了解到每名学生家庭的相关信息，现从中　的题目．现从中选择几例典型的题目加以分析与解答，以引起教　随机抽取１５名学生家庭的年收人情况，数据如表１所示　师们在教学中向学生进一步渗透数学与经济活动相关的思想．使　学生更好地理解“数学来源于生活”、“数学服务于生活”的观点．　关键词：经济活动；教学情境；数学活动　表１　『年收入（单位：万元）　２　２　５　３　４　家庭个数　ｌ　３　５　２　５　２　９　１３　ｌ　ｌ　（１）求这１５名学生家庭年收入的平均数、中位数、众数．　《义务教育数学课程标准（２０１１年版）》（以下简称《标堆　）　（２）你认为用（１）中的哪个数据来代表这１５名学生家庭年收　指出：数学与人类发展和社会进步息息相关，随着现代信息技　入的一般水平较为合适？简要说明理由．　术的飞速发展，数学更加广泛应用于社会生产和日常生活的各　分析：（１）从数据表中可以得到年收入是２万的家庭有　个方面．现从２０１２年全国各地的中考试题中选择部分与经济活　１个，是２．５万的有３个，是３万的有５个，是４万的有２个，　动有关的问题加以分析，以利于教师更好地把握　准》的这　是５万的有２个，是９万的有１个，是１３万的有１个．利用这　一阐述，从而把经济生活中的一些问题有机地渗透到日常的教　些数据根据平均数、中位数和众数的概念计算可得结果．（２）比较　学中去，让学生用数学知识加以解决．从而对学生进行“数学来　平均数、中位数、众数，看哪个数据更具有代表性．　源于生活”、“数学服务于生活”的教育．　角翠：（１）　＝（２×１＋２．５　Ｘ　３＋３　Ｘ　５＋４×２＋５×２＋９　Ｘ　１＋　一、合作医疗问题　１３　Ｘ　１）÷１５＝４．３（万元）．　例１　（海南卷）农民张大伯因病住院，手术费用为。元，　其他费用为ｂ元，由于参加了农村合作医疗，手术费用报销　（用代数式表示）．　中位数是３万元，众数是３万元．　（２）用中位数或众数代表这１５名学生家庭年收入的一般水　虽然平均数是４．３万元，但从表１中发现这ｌ５个家庭中年　８５％，其他费用报销６０％，则张大伯此次住院可报销——元　平较为合适．　解析：手术费用报销８５％ａ元，其他费用报销６０％ｂ元，　收入达到４－３万元的只有４个，大部分家庭的年收入没有达到这　一则张大伯此次住院可报销（８５％ａ＋６０％ｂ）元．　【启示】在中学阶段，学生的学习一般要经过多个转折，其　中第一个就是从算术到代数的转折．从算术到代数的过渡，其关　键是用字母表示数，这是中学阶段的第一次抽象，也是学生学　习的难点所在．从知识表面来看，此题从“农村合作医疗问题”　入手，考查学生用字母表示数的知识，属于“送分”的基础性　题目．从深处看，此题通过考查学生如何用代数式表述数量关系　入手，让学生体会“代数”的思想，逐步建立符号意识，可谓　水平，而中位数或众数为３万元是大部分家庭可以达到的水　平．因此，用中位数或众数比较合适．　【启示】统计主要是通过对现实生活中的数据进行收集、整　理、描述和分析，来帮助人们作出合理的决策．统计的知识在自　然、人文、管理、工程技术、经济管理等众多领域有着广泛的　应用．如，公司招聘、人口统计、财务管理等实际问题都可以用　统计的知识加以解决．此题素材选自具体的家庭收入问题，主要　“题小意义大”．另外，类似这样能体现党的惠民政策的问题，可　考查学生对统计量的理解。以及利用统计量对家庭收入问题进　以向学生进行爱国主义教育．这也是数学教育理应承担的责任，　行分析与推断．一方面，题目考查了学生对平均数、众数和中位　符合《标准》的理念要求．　二、家庭收入问题　数的求法；另一方面，题目考查了学生用统计量估计总体的思　想方法．需要注意的是平均数容易受极端数值的影响，在一组数　例２　（湖北・黄冈卷）为了全面了解学生的学习、生活及家　据中，如果个别数据对平均数影响较大，则选用中位数或众数　收稿日期：２０１２－１２一ｌ１　作者简介：李树臣（１９６２一），男，山东沂南人。中学高级教师，主要从事教学教育的理论与实践研究　３９　
作为数据的代表．　式，并写出它的定义域；　随着社会的不断发展，数据分析观念越来越重要，我们在　些能唤起学生学习兴趣的题材，把问题有机地融入到这些题　（２）当生产这种产品的总成本为２８０万元时，求该产品的生　（注：总成本＝每吨的成本×生产数量．）　分析：（１）观察图象可知，Ｙ是　的一次函数．可设Ｙ＝ｋｘ＋　教学中，应从生活实际出发，结合具体的教学内容，精心选取　产数量．　一材中，让学生在解答问题的过程中，学会“运用数据进行推断”　０，１０），（５０，６）代入，确定出　、ｂ的值即可．（２）利用　的思考方法，掌握一种普遍适用并且强有力的思维方式，从而　ｂ，把（１　养成对数据的来源、收集和描述数据的方法。以及由数据得到　ｘｙ＝２８０列方程求解．的结论进行合理质疑的良好习惯．　三、电费（水费、电话费）缴纳问题　例３　（山东・烟台卷）某市为了鼓励居民节约用电，采用分　段计费的方法按月计算每户家庭的电费．月用电量不超过２００度　时，按０．５５元／度计费；月用电量超过２００度时，其中的２００度　仍按０．５５元／度计费，超过部分按０．７０元／度计费．设每户家庭　月用电量为　度时，应交电费ｙ元．　（１）分别求出当０≤　≤２００和　＞２００时，ｙ与　的函数　表达式；　（２）小明家５月份交纳电费ｌ１７元，小明家这个月用电多　少度？　分析：（１）当０≤　≤２００时，用电　度应交电费０．５５ｘ元．　当　＞２００时，应交电费分为两部分：一部分，是２００度以内的　为０．５５×２００元；另一部分，是２００度以上的为０．７０×（　一２００）元．　（２）根据（１）的结果直接计算即可．　解：（１）当０≤　≤２００时，Ｙ与　的函数表达式是ｙ＝０．５５ｘ；　当　＞２００时，Ｙ与　的函数表达式是Ｙ＝０．５５×２００＋　０．７（　一２００），即Ｙ＝０．７ｘ一３０．　（２）因为小明家５月份的电费超过１１０元，　所以把Ｙ：１１７代入Ｙ＝０．７ｘ一３０中，得　＝２１０．　答：小明家５月份用电２１０度．　【启示】此题从家庭生活实际问题（电费缴纳）出发，考查　学生用一次函数的知识解答实际问题的能力．首先要求学生对实　际问题进行抽象概括，建立一次函数模型，然后利用一次函数　的性质进行解答．这类题目的解答过程恰好体现了《标准》关于　教材应按“问题情境一数学模型一求解验证”模式编排的要求，　同时还教育了学生遇到实际问题时，要学会用数学的知识进行　科学分析，提高了学生对“数学即生活”的认识．而且还体现了　国家有关用电的政策，有利于学生节约用电意识的形成．类似这　样的问题属于中考的热点题型．我们在教学中，要结合具体的学　习内容，注意综合利用有关的教育资源，多角度、多层次运用　所学的数学知识和方法解决生产、生活中所遇到的实际问题，　逐步培养学生的应用意识．　四、生产问题　例４（上海卷）某１一厂生产　一种产品，当生产数量至少为１０　吨，但不超过５０吨时，每吨的　成本Ｙ（万元／吨）与生产数量　（吨）的函数关系式如图１所示．　（１）求Ｙ关于　的函数解析　图１　４０　解：（１）设Ｙ与　的函数解析式为Ｙ＝ｋｘ＋ｂ，　由图象过点（１。，１。），（５。，６），￣僭Ｉｆｌ　Ｏｋ＋ｂ＝１０，　５＋６：６．ｆ　一　１　解得｛，Ｌ一１０’　【ｂ：１１．　所以ｙ一斋　＋１１（１０≤　≤５０）・　（２）根据题意，得ｘｙ＝２８０，　即　（～　１１）＝２８０・　整理，得　。一ｌｌＯｘ＋２　８００＝０．　解得　Ｊ＝４０，　２＝７０．　因为ｌＯ≤　≤５０，　所以　＝４０．　答：当生产这种产品的总成本为２８０万元时，该产品的生　产数量是４０吨．　【启示】方程是初中阶段重要的学习内容，通过建立方程模　型解答生产中的实际问题是《标准》向我们提出的重要任务之　一．此题是一道很简单的生产实际问题，主要考查学生用方程知　识以及函数知识解决实际问题的能力．此题固有的等量关系是　“产品的总成本＝每吨的成本×生产数量”，解答时不可忽视．　首先要求学生对实际问题进行抽象概括，建立一次函数模型和　方程模型，然后利用有关的知识进行解答．学生通过解答此题，　既可以学会用数学知识解决实际问题的一般方法，又可以体会　模型思想和数形结合思想的意义，符合《标准》提出的“在整　个数学教育的过程中都应该培养学生的应用意识”的要求．　五、污水处理问题　例５（重庆卷）企业的污水处理有２种方式：一种是输送到　污水厂进行集中处理；另一种是通过企业的自身设备进行处理．　某企业去年每月的污水量均为ｌ２　０００吨，由于污水厂处于调试　阶段，污水处理能力有限，该企业投资白建设备处理污水，两　种处理方式同时进行．１至６月，该企业向污水厂输送的污水量　Ｙ　（吨）与月份　（１≤　≤６，且　取整数）之间满足的函数关系　如表２所示　表２　Ｈ份　｜　１　２　３　４　５　６　　￡　｝Ｌ　输送的　亏水量Ｙ．／吨　ｌ２０００　６ｏ０Ｏ　４ｏｏＯ　３ｏ００　２４００　２【ｘ】Ｏ　７至１２月该企业ｆ１身处理的污水量ｙ２（吨）与月份　（７≤　≤１２，且　取整数）之间满足二次函数关系式为ｙｚ＝一　＋ｃ　
（。≠０），其图象如图２所示．１　至６月，污水厂处理每吨污水　的费用ｚ．（元）与月份　之间满　足函数关系式ｚＩ：　ｌ　，该企　业自身处理每吨污水的费用　ｚ　（元）与月份　之间满足函数关　１０　关于每月的污水量以及处理费用，需要通过仔细阅读才能找到．　１０　根据“今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加　”可　知，今年每月污水总量为１２　０００（１＋　），每吨的处理费用是在　１．５元的基础上，既有增加的部分，又有政府补助的部分，只有　明确了“增加（ａ一３０　”及“进行５０％的补助”的意义。才能正　确找出每吨的处理费用为１．５　Ｘ［１＋（（０—３０）％）×（１—５０％）］，　从而建立方程模型．　图２　系式ｚｚ＝｝　一　；７至１２月，　水的费用均为１．５元．　解：（１）＇，Ｉ＝旦　（１≤　≤６且　取整数）；　，污水厂处理每吨污水的费用均为２元，该企业自身处理每吨污　（１）试观察题巾的表格和图象，用所学过的一次函数、反比　例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出Ｙ。、Ｙ　与　之间的　函数关系式；　ｙ２＝　。＋１０　０００（７≤　≤ｌ２，且　取整数）．　（２）当１≤　≤６，且　取整数时，　＝ＹＩ’ｚＩ＋（１２０００一Ｙ１）　２　＝　・　ｌ　＋（１２　０００　一）・　一　）　（２）求ｍ该企业去年哪个月用于污水处理的费用　（元）最多，　＝一１　０００ｘ　＋１０００Ｏ　一３０００　＝一并求出这个最多费用；　（３）今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业　决定扩大产能，并将所有污水全部自身处理，估计扩大产能后　今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加ｎ％，同时每吨　１　０００（　一５）　＋２２０００．　所以当　＝５时，　取得最大值，　最大１直＝２２０００（元）．　当７≤　≤１２，且　取整数时，　：２（１２０００一＿ｙ２）＋１．５ｙ２　＝污水处理的费用将在去年１２月份的基础上增加（ｎ一３０）％，为鼓　励节能降耗，减轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行　５０％的补助．若该企业每月的污水处理费用为１８　０００元，计算　出ｎ的整数值．　２４　０００—０．５ｙ２　＝２４０００—０．５（　＋ｌ００００）　一＝０．５ｘ　＋１９０００．　显然，当　取最小值，即　＝７时，　取得最大值，　１８９７５．５（元）．　大＿　＝　（参考数据：、／２３１　ｌ５．２，ｘ／￣Ｎ４一２０．５，ｘ／Ｎｇ　２８．８４．）　分析：（１）要求函数的解析式，需要先设出其解析式，然后　比较可知，当　＝５，即去年５月用于污水处理的费用最多，　　代入其图象上某些点的坐标，求出待定的系数就可以．此题要求　最多费用是２２０００元．的两个函数的解析式中，第一个比较简单，根据图表中的信息　容易推出ｘｙ，：１２０００，由此可求出Ｙｌ：ｌ２　，（３）１２　０００（１＋。％）Ｘ　１．５×［１＋（（０—３０）％）Ｘ（１—５０％）］＝　１８０００．　其中ｌ≤　≤　为了计算方便，设ｔ＝　，　整理，得１０ｔ　＋１７ｔ一１３＝０．　解得￡＝—－１—７　￣　…ｘ／ｇｏ９￣．　６，且　取整数；第二个函数关系式，题目中已经告诉我们是　Ｙ２＝似　＋ｃ（ｎ≠０），并且给出了图象，显然（７，１０　０４９）和　（１２，１０　１４４）在图象上，所以把它们分别代入Ｙ２＝　且　取整数．　＋ｃ，　因为、／　一２８．４，　得ａ＝１，Ｃ＝１００００．所以Ｙ２＝　＋１０　０００，其中７≤　≤１２，　（２）在（１）的基础上，分段计算，无论哪一段，需要的等量　关系是“费用＝污水吨数×每吨的费用，总费用＝污水厂处理　费用＋自己处理费用”．正确找出污水吨数和每吨的费用是关键，　污水吨数比较简单，关键是找每吨的费用．当１≤　≤６，且　取整数时，每吨的费用隐含在“１至６月，污水厂处理每吨污水　的费用。．（元）与月份　之间满足函数关系式　ｌ＝　１一　，该企业自　一所以ｔ　０．５７，ｔ２一一２．２７（舍去）．　所以。一５７．　答：。的整数值为５７．　【启示】“数据分析观念”是《标准》强调的十个核心概念之　，教学中应予以重视．此题以大家普遍关心的“污水处理”问　题为背景，主要考查学生从表格和图象中获取信息、处理信息　以及分析数据的能力．解答时用到的知识点比较多，有反比例函　身处理每吨污水的费用ｚ：（元）与月份　之间满足函数关系式　数、二次函数、一元二次方程等知识，是一道综合性很强的压　轴题．此题的阅读量大，正确理解题意，读取信息是解题的关　ｚ：＝一｝　一一　”中．只有在充分阅读、理解题意的基础上，才　键．在解答第（２）小题时，需要先求出１至６月和７至１２月这两　斗　Ｉ　能列出　＝Ｙｌ・　】＋（１２　０００一Ｙ　Ｊ）Ｚ２；当７≤　≤１２，且　取整数　段的最大污水处理费用，然后通过比较确定答案．污水处理的费　时，比较简单，容易得出ＩＴ／＝２（１２　０００一ｙ２）＋１．５ｙ：．通过求以　用由两部分组成：一部分，是污水厂处理的费用；另一部分，　上两个关于　的函数的最大值，加以比较就可确定　最大值．　是自己处理的费用．这是同学们容易出错的地方．再就是求二次　（３）根据题意列出关于。的方程．此题中的等量关系是“每　函数最值时需要考虑自变量的取值范围，不可盲目套用公式．　月的污水量Ｘ每吨的处理费用：每月的污水处理费用１８０００元”．　阅读是人类社会生活的一项重要活动，是人类汲取知识的　４１　

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