2．3.1　平均数及其估计

1．平均数的概念

一组数据的总和除以数据的个数所得的商就是这组数据的平均数(或均值)，一般记为：＝.

[点睛]

(1)平均数反映了一组数据的集中趋势，它是一组数据的“重心”，是度量一组数据波动大小的基准．

(2)用样本平均数可估计总体平均数．

(3)用平均数可以比较两组数据的总体情况，如成绩、产量等．

2．平均数的计算

(1)定义法：已知x1，x2，x3，…，xn为某样本的n个数据，则这n个数据的平均数为＝.

(2)利用平均数性质：如果x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数是m＋a.

(3)加减常数法：数据x1，x2，…，xn都比较大或比较小，且x1，x2，…，xn在固定常数a附近波动，将原数据变化为x1±a，x2±a，…，xn±a，新数据的平均数为′，则所求原数据的平均数为′±a.

(4)加权平均数法：样本中，数据x1有m1个，x2有m2个，…，xk有mk个，则＝.

(5)频率法：一般地，若取值为x1，x2，…，xn的频率分别为p1，p2，…，pn，则其平均数＝p1x1＋p2x2＋…＋pnxn.

(6)组中值法：若样本为n组连续型数据，则样本的平均数＝组中值与对应频率之积的和．

1．(江苏高考)已知一组数据4,6,5,8,7,6，那么这组数据的平均数为________．

解析：＝＝6.

答案：6

2．若数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为2，则数据2x1－1,2x2－1,2x3－1，…，2xn－1的平均数为________．

答案：3

3．数据2,2，－4，－4，－4,3,3,3,3的平均数为________．

答案：

[典例](1)某班45名同学的年龄(单位：岁)如下：

141514161517161516161515

171314151616151415151415

161716151515161513161515

171415161615141515，

求全班的平均年龄．

(2)从高三年级中抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图所示的频率分布直方图．

试利用频率分布直方图估计高三年级学生的平均成绩．

[解](1)法一：利用平均数的公式计算．

＝×(14＋15＋…＋15)＝×684＝15.2(岁)．

法二：利用平均数的简化公式计算．

取a＝15，将已知各数减去15，得

－10　－11021011002　－2

－10110　－100　－101210

0010　－21002　－10110

－100

′＝×(－1＋0＋…＋0)＝×9＝0.2(岁)．

＝′＋a＝0.2＋15＝15.2(岁)．

法三：利用加权平均数公式计算．

＝×(13×2＋14×7＋15×20＋16×12＋17×4)＝×684＝15.2(岁)．

即全班的平均年龄是15.2岁．

(2)样本平均数是频率分布直方图的“重心”，即所有数据的平均数，取每个小矩形底边的中点值乘以每个小矩形的面积再求和即可．

故平均成绩为

45×(0.004×10)＋55×(0.006×10)＋65×(0.02×10)＋75×(0.03×10)＋85×(0.024×10)＋95×(0.016×10)＝76.2.

[活学活用]

1． 某医院的急诊中心的记录表明以往到这个中心就诊的病人需等待的时间的分布

如下：

则到这个中心就诊的病人平均需要等待的时间估计为________．

解析：＝2.5×0.2＋7.5×0.4＋12.5×0.25＋17.5×0.1＋22.5×0.05＝9.5.

答案：9.5

2．某班进行一次考核，满分5分，3分(包括3分)以上为合格，得1分，2分，3分，4分，5分的人数占该班人数的比例分别为5%,10%,35%,40%和10%，试求该班的平均得分．

解：由于本题没有给出该班同学的人数，故无法用定义法求解．而题中给出了相应分数及所占比例，故可用频率平均数公式计算．

＝1×0.05＋2×0.10＋3×0.35＋4×0.40＋5×0.10＝3.4，故该班的平均分数为3.4分.

[典例]　若x1，x2，…，xn的平均数为，数据y1，y2，…，yn的平均数为，求下列几组数据的平均数．

(1)2x1,2x2，…，2xn；

(2)kx1＋a，kx2＋a，…，kxn＋a；

(3)x1＋y1，x2＋y2，…，xn＋yn.

[解]据题意＝(x1＋x2＋x3＋…＋xn)，

＝(y1＋y2＋…＋yn)，

设第一组数据平均数为，第二组数据平均数为，第三组数据平均数为.

(1)＝(2x1＋2x2＋…＋2xn)＝2·(x1＋x2＋…＋xn)＝2，

(2)＝[(kx1＋a)＋(kx2＋a)＋…＋(kxn＋a)]

＝[k(x1＋x2＋…＋xn)＋na]

＝k·(x1＋x2＋…＋xn)＋a＝k＋a.

(3)＝[(x1＋y1)＋(x2＋y2)＋…＋(xn＋yn)]

＝[(x1＋x2＋…＋xn)＋(y1＋y2＋…＋yn)]

＝(x1＋x2＋…＋xn)＋(y1＋y2＋…＋yn)

＝＋.

[活学活用]

已知数据x1，x2，…，xn的平均数为，数据y1，y2，y3，…，yn的平均数为2，则数据2x1＋3,2x2＋3，…，2xn＋3的平均数为________，数据ax1＋by1，ax2＋by2，…，axn＋byn的平均数为________．

答案：4a＋2b

层级一　学业水平达标

1．已知1,2,3,4，a，b，c的平均数是8，则a＋b＋c＝________.

解析：据题意(1＋2＋3＋4＋a＋b＋c)＝8，

∴a＋b＋c＝46.

答案：46

2．已知2,4,2x,4y四个数的平均数是5，而5,7,4x,6y四个数的平均数是9，则xy的值是________．

解析：据题意解之得

∴xy＝6.

答案：6

3．在一次知识竞赛中，抽取40名选手，成绩分布如下：

则选手的平均成绩是________．

解析：＝(6×2＋7×5＋8×7＋9×11＋10×15)＝8.8.

答案：8.8

1． 一位同学种了甲、乙两种树苗各1株，分别观察了9次、10次后，得到树苗高度的数据的茎叶图如图(单位：厘米)．

则甲种树苗高度平均为________；乙种树苗的高度平均为________；甲、乙两种树苗高度平均为________．

解析：根据茎叶图可得，观察甲树苗9次得到的树苗高度分别为：14,20,21,23,24,30,32,33,37；观察乙树苗10次得到的树苗高度分别为：10,11,14,24,26,30,44,46,46,47，易得甲树苗高度平均为＝26，乙树苗高度平均为＝29.8，甲、乙两种树苗高度平均为(234＋298)＝28.

答案：2629.828

5．50名同学参加数学竞赛，成绩的分组及各组的频数如下：(单位：分)

[40,50)，2；[50,60)，3；[60,70)，10；[70,80)，15；[80,90)，12；[90,100]，8.

列出样本的频率分布表并求这50名同学的平均分．

解：频率分布表如下：

法一：总成绩约为

45×2＋55×3＋65×10＋75×15＋85×12＋95×8＝3 810(分)，

故50名同学的数学平均分约为3 810÷50＝76.2(分)．

法二：求组中值与对应频率之积的和．

45×0.04＋55×0.06＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.24＋95×0.16＝76.2(分)．

层级二　应试能力达标

1．某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是________．

答案：－3

2． 若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是________.

答案：91.5,91.5

3．一个企业，30%的员工年收入为1万元，65%的员工年收入为3万元，5%的员工年收入为11万元，则这个企业员工的年平均收入是________万元，年收入的中位数是________万元．

解析：年平均收入为1×0.3＋3×0.65＋11×0.05＝2.8，中位数为3.

答案：2.83

4．已知是x1，x2，…，x100的平均数，a是x1，x2，…，x40的平均数，b是x41，x42，…，x100的平均数，则下列各式正确的是________．(填序号)

①＝；②＝；③＝a＋b；

④＝.

答案：①

5．已知数据x1，x2，…，x8的平均数为6，则数据2x1－6,2x2－6，…，2x8－6的平均数为________．

答案：6

6．已知样本数据x1，x2，…，xn的平均数为h，y1，y2，…，ym的平均数为k，则把两组数据合并成一组以后，这组样本的平均数为____________．

答案：

7．一个高中研究性学习小组对本地区2014年至2016年快餐公司发展情况进行了调查，制成了该地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图(如图)，根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭________万盒．

解析：2014年：30×1.0＝30(万)，2015年：45×2.0＝90(万)，2016年：90×1.5＝135(万)，＝(30＋90＋135)＝85(万)．

答案：85

8．某餐厅共有7名员工，所有员工的工资情况如下表：

解答下列问题：

(1)餐厅所有员工的平均工资是________．

(2)所有员工工资的中位数是________．

(3)用平均数还是用中位数描述该餐厅员工工资的一般水平比较恰当？________.

(4)去掉经理的工资后，其他员工的平均工资是________，是否也能反映该餐厅员工工资的一般水平？________.(填“能”或“不能”)

解析：(1)平均工资为(3 000＋700＋500＋450＋360＋340＋320)÷7＝810.

(2)由表格可知中位数为450.

(3)用中位数描述该餐厅员工工资的一般水平比较恰当．

(4)去掉经理的工资后，其他员工的平均工资为(700＋500＋450＋360＋340＋320)÷6＝445.平均工资能反映该餐厅员工工资的一般水平．

答案：(1)810(2)450(3)中位数　(4)445　能

9．为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：

服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：

0．61.22.71.52.81.82.22.33.23.5

2．52.61.22.71.52.93.03.12.32.4

服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：

3．21.71.90.80.92.41.22.61.31.4

1．60.51.80.62.11.12.51.22.70.5

(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？

(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？

解：(1)设A药观测数据的平均数为，B药观测数据的平均数为.

由观测结果可得

＝×(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3，

＝×(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6.

由以上计算结果可得>，因此可看出A药的疗效更好．

(2)由观测结果可绘制如下茎叶图：

以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有的叶集中在茎2,3上，而B药疗效的试验结果有的叶集中在茎0,1上，由此可看出A药的疗效更好．

10．有一组数据：x1，x2，…，xn(x1<x2<…<xn)的算术平均数为10，若去掉其中最大的一个，余下数据的算术平均数为9；若去掉其中最小的一个，余下数据的算术平均数为11.

(1)求出第一个数x1关于n的表达式及第n个数xn关于n的表达式；

(2)若x1，x2，…，xn都是正整数，试求第n个数xn的最大值，并举出满足题目要求且xn取到最大值的一组数据．

解：(1)依条件得

由①－②得xn＝n＋9.又由①－③得x1＝11－n.

(2)由于x1是正整数，故x1＝11－n≥1⇒1≤n≤10，故xn＝n＋9≤19.当n＝10时，x1＝1，x10＝19，x2＋x3＋…＋x9＝80，此时，x2＝6，x3＝7，x4＝8，x5＝9，x6＝11，x7＝12，x8＝13，x9＝14.

2018-2019学年高中数学同步苏教版必修3学案：第2章 2.3 2.3.1 平均数及其估计 Word版含解析